高等数学第九章(二重积分).ppt
,第九章 重积分,二 重 积 分,一、二重积分的概念,1定义：,2几何意义：,表示曲顶柱体的体积,3物理意义：,二、二重积分的性质,1线性性质：,2.可加性：,4.单调性：,3.区域 的面积：,若在 上,则,设,5估值性质：,6中值定理：,7.奇偶对称性：,是 的面积,0,D关于x(或y)轴对称,f(x,y)为y(或x)的奇函数,设函数 在闭区域 上连续,D关于x(或y)轴对称,f(x,y)为y(或x)的偶函数,则,三、二重积分的计算方法,1利用直角坐标计算,（1）X-型区域：,.,关键：选择积分次序,（2）Y-型区域：,2利用极坐标计算,四、二重积分的解题方法,计算二重积分主要应用直角坐标与极坐标两种方法,在,直角坐标系下进行计算的关键是首先判别区域 的类型(X-型,或Y-型),然后把二重积分转化为关于 和 的二次积分.而,应用极坐标进行计算，关键是判别被积函数 及区域,所具有的特点,如果被积函数 或积分区域是,圆域(圆域的一部分),则把二重积分转化为关于 和 的二次积分.,应用极坐标,应用直角坐标,No,Yes,Yes,No,No,Yes,No,Yes,-X型,D-Y型,D-X型,解题方法流程图,1,2,五、交换二次积分次序的方法,交换二次积分的次序，其实质是把二重积分化为二次积分的逆问题。改变积分次序应首先对给定的二次积分求出其对应的二重积分的积分区域,其次要判断 的类型,然后再根据 的类型,将二重积分化为另一次序的二次积分。,1解题方法流程图,改变二次积分的积分次序,由 分别确定,由 分别确定,Yes,Yes,No,No,D-Y型,D-X型,六、二重积分的应用,1几何应用,（其中）,2物理应用,（1）质量,（2）质心,（3）转动惯量,曲顶柱体的体积,解:积分区域如图所示.,2.典型例题,分析 由二重积分的性质可知，比较两个积分的大小,只需比较被积函数在积分区域上的大小即可。一般要考虑到所围成的区域 特点，二要恰当运用不等式证明的方法。,由二重积分的性质可知：,所以;又因为 内的点满足,解:积分区域如图所示.,故由二重积分的性质可知,即,亦即,由于在 上,分析 首先应画出区域 的图形,然后根据图形的特点选择适,当的坐标计算。本题可采用直角坐标计算，即框图中线路1,的方法。注意到 既是X-型区域,又是Y-型区域,但若用Y-,型区域计算，需把 分割成两个Y-型区域的和的形式.故,本题选择先对 积分后对 积分的次序计算比较简单.,解：积分区域如图所示.,将二重积分转化为先对 对后 的二次积分，得,注：若本题将二重积分转化为先对 后对 的二次积分,则计算相对复杂。,积分区域 为X-型区域，,【例4】计算二重积分 其中,注意到 既是 型区域,又是 型区域，而无论 型区域,或 型区域都不能用一个不等式组表出,均需要把 分割成,两个 型区域或两个 型区域的和的形式。不妨把 分成,解:积分区域如图所示.,将二重积分转化为先对 后对 的二次积分,得,因 其中,解:积分区域如图所示.,在极坐标系下，由于,将二重积分转化为极坐标系下先对 后对 的二次积分,得,分析 由于积分区域 为圆域，且被积函数呈现 的形式,故本题利用极坐标进行计算，即用框图中线路2的方法计算比较简便。,在极坐标系下，由于,解:积分区域如图所示.,将二重积分转化为极坐标系下先对 后对 的二次积分,得,注:若注意到积分区域 关于 轴对称,而被积函数,关于 为偶数,则利用对称性可得,（其中),这样在计算中就不会出现 的形势,也就避免了出现计算错误.,分析 由于被积函数 中含有绝对值,所以应首先,在给定的积分区域 内,求出 的解析表达式，,即去掉绝对值。利用曲线 将积分区域 分成两部分,型区域，且被积函数先对 积分比较容易,故在直角,和 则,而 和 均为,坐标系中将二重积分转化为先对 后对 的二次积分,然后分别计算即可.,则,解:积分区域如图所示.,解：积分区域 如图所示.,其中,分析 由于积分区域 关于 轴对称，故先利用二重积分的,化为二次积分进行计算即可。,关于 为奇函数，故,解：,分析 本题是二重积分的计算、变上限积分求导和求极限的综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限的函数，然后再利用洛必达法则求极限。,解：,型,型,分析 首先求出立体在 坐标面上的投影区域，然后利用二重积分的几何意义将所求立体的体积用二重积分来表示，再利用极坐标计算即可。,在 坐标面上的投影曲线方程为,故立体在 坐标面上投影区域为,由二重积分的几何意义，可知所求立体的体积为,【例12】改变 的积分次序。,分析 由于二次积分是先对 后对,故应按框图中线路2,的方法计算。首先将二次积分 与,还原成二重积分，由此找出积分区域,最后便可将给定的二次积分转化为先对 后对 的二次积分。,解:设,则,令，则,画出 的图形如图所示.,再把二重积分转化为先对 后对 的二次积分，有,可知 为 型区域;且,【例13】计算,分析 由于被积函数为 如果先对变量 积分,则会遇到,原函数 求不出的问题,所以计算二次积分的问题就归,结为改变积分次序的问题，即把二次积分化成先对 后对,的二次积分，亦即按框图中线路1的方法进行计算。,解：由于 可以表示成 型区域(如图),所以,（令),【例14】证明,分析 观察所要证明的等式的左右两边不难发现，等式左边是一个二次积分，可视作是一个二重积分化成的二次积分，而等式的右端是一个定积分。对于二重积分来说，若能够化为二次积分并积出一次便可化为定积分。因此，证明上式的关键在于将左边的二次积分交换次序。,于是有,把 表示为 型区域为:,
