闭区间上连续函数的性质(72).ppt

第十节,一、最值定理,二、介值定理,闭区间上连续函数的性质,一、最值定理,(证明略),例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论.,由定理 1 可知有,证:设,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,上有界.,二、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),若 上连续,则,曲线 y=f(x)是连续曲线,f(a),f(b)异号,两端点 A(a,f(a),B(b,f(b)在 x 轴,上下侧,连接A,B 的连续曲线,一定与 x 轴相交,此,交点即为f(x)的零值点.,A,B,几何解释:,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:不妨设A C B,作辅助函数,则,且,由定理至少有一点,使,即,使,至少有,推论:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,在区间,内至少有,例如.证明方程,一个根介于1,2之间.,证:显然,例2,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,则,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,1.设,一点,2,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,3.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,