部分建立数学模型.ppt

数学建模,1 从现实对象到数学模型2 数学建模的重要意义数学建模示例数学建模竞赛5 数学建模的方法和步骤6 数学模型的特点和分类7 怎样学习数学建模,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征,1、从现实对象到数学模型,我们常见的模型,数学建模：数学与实际问题的桥梁,实际问题,数学,Mathematical Modeling,你碰到过的数学模型“航行问题”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x=20y=5,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20,y=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,数学模型(Mathematical Model)和数学建模（Mathematical Modeling),1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到一个数学结构。,数学模型,数学模型(Mathematical Model)和数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,2 数学建模的重要意义,电子计算机的出现及飞速发展；,数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。,数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,信息时代的竞争本质是数学的竞争。,数学建模的具体应用,分析与设计,预报与决策,控制与优化,规划与管理,3 数学建模示例,1 椅子能在不平的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f(),g()是连续函数,对任意,f(),g()至少一个为0,数学问题,已知：f(),g()是连续函数;对任意，f()g()=0;且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)0，知f(/2)=0,g(/2)0.令h()=f()g(),则h(0)0和h(/2)0.由 f,g的连续性知 h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()g()=0,所以f(0)=g(0)=0.,评注和思考,建模的关键,假设条件的本质与非本质,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(),g()的确定,2 商人们怎样安全过河,问题(智力游戏),3名商人 3名随从,随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.,但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?,问题分析,多步决策过程,决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员,要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.,模型构成,xk第k次渡河前此岸的商人数,yk第k次渡河前此岸的随从数,xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk)过程的状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,S 允许状态集合,uk第k次渡船上的商人数,vk第k次渡船上的随从数,dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)u+v=1,2 允许决策集合,uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk dk,+(-1)k,状态转移律,求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).,多步决策问题,模型求解,穷举法 编程上机,图解法,状态s=(x,y)16个格点,允许决策 移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.,s1,sn+1,d1,，d11给出安全渡河方案,评注和思考,规格化方法,易于推广,考虑4名商人各带一随从的情况,允许状态,S=(x,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,3 如何预报人口的增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0,年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2020年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),4 数学建模竞赛,全国大学生数学建模竞赛是教育部明确认可的10个全国大学生竞赛中最具影响力的竞赛，其作用和效果得到广泛公认。,数学建模竞赛的由来,2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。,1985年开始由美国工业与数学学会举办数学建模竞赛(MCM),每个大学限4队.,1989年我国大学生开始参加MCM.,赛题和优秀答卷刊登于次年“数学的实践与认识”（2001年起刊登于当年“工程数学学报”）,等级：全国一等2%、二等 6%；赛区奖1/3,1992年，教育部高教司和中国工业与应用数学协会联合举办“中国大学生数学建模竞赛（CUMCM)”,我国CUMCM竞赛规模,（美国大学生）数学建模竞赛(MCM),1985年开始举办，每年一次(2月)；“国际竞赛”,我国(清华等校)1989年开始每年参加，英文答卷,MCM-2010有约14国(地区)2254队参赛，其中我国占82%;ICM-2010有356队参赛，其中我国占93%,每年赛题和优秀答卷刊登于同年 UMAP杂志,1999年起又同时推出交叉学科竞赛（Interdisciplinary Contest in Modeling ICM),网址：http:/,美国MCM+ICM竞赛规模,学生欢迎：“一次参赛，终身受益”研究生导师们的认同企业界的认同赞助教育改革同行的认同：“成功范例”国际同行的认同,竞赛的反响,IBM 中国研究中心-招聘条件Position title:Business Optimization(BJ)1Background in industrial engineering,operations research,mathematics,Artificial Intelligence,management science etc.2.Knowledge in network design,job scheduling,data analysis,simulation and optimization 3.Award in mathematical contest in modeling is a plus 4.Experience in industry is a plus 5.Experience in eclipse or programming model/architecture design is a plus-,竞赛的反响（一例）,IBM 中国研究中心:Business Analysis Optimization Job Requirements:1、PhD M.S.in mathematics,statistics,computer science,industrial engineering management science etc.2、Self-motivated,responsible,able to wk independently under tight deadline willing to wk under pressure.3、Skill in applied mathematics,including mathematical programming,statistics,data mining,simulation etc.4、Knowledge in supply chain logistics strategy modeling,simulation,planning optimization.5、Strong interest basic knowledge about industry trends,technologies,solutions in analytics optimization.6、Experience in ERP/SCM/CRM system SCM consulting practice is a plus.7、Award in highly regarded mathematical modeling contest is a plus.8、Experience in eclipse,Java,architecture design is a plus.-March 26,2009,http:/=1514,竞赛的反响（一例）,竞赛内容与形式,内容,赛题：工程、管理中经过简化的实际问题,答卷：一篇包含问题分析、模型假设、建立、求解(通常用计算机)、结果分析和检验等的论文,形式,3名大学生组队，在3天（东北赛7天）内完成的通讯比赛,可使用任何“死”材料(图书/互联网/软件等),但不得与队外任何人讨论（包括上网讨论）,宗旨,创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争,标准,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,数学建模竞赛的赛题,数学建模竞赛题设计要求参赛选手运用数学、计算机技术和问题背景学科等方面知识，解决极富挑战性的实际问题。竞赛的题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求预先掌握深入的专门知识，而具有较大的灵活性供参赛者发挥。通常竞赛题有A,B两题，各参赛队从中任选一题。,近年部分竞赛题目,05年：长江水质的评价和预测，DVD在线租赁；06年：出版社的资源配置，艾滋病疗法评价与疗效预测，煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制；07年：中国人口增长预测，乘公交看奥运，手机套餐优惠几何，体能测试时间安排08年：数码相机定位，高校教育学费标准探讨，地面搜索，NBA赛程的分析与评价09年：制动器试验台的控制方法分析，眼科病床的合理安排，卫星和飞船的跟踪测控，会议筹备 10年：储油罐的变位识别与罐容表标定，2010年上海世博会影响力的定量评估 11年：城市表层土壤重金属污染分析，交巡警服务平台的设置与调度，企业退休职工养老金制度的改革,数学建模竞赛的参赛形式,开卷形式的通讯比赛，可以使用任意图书资料和互联网，自由的收集资料、调查研究。由三名学生组成一队，各参赛队任选一竞赛题。在三、四天时间内，团结合作、奋力攻关，完成一篇数学建模全过程的论文。没有事先设定的标准答案，多名专家从以下几个方面来综合评定（1）问题分析及假设的合理性；（2）模型的正确性和创造性；（3）运算结果的正确性；（4）结论和讨论的科学性；（5）论文表达的清晰性等。,参加赛前培训,或选修、自学数学模型课2.了解和掌握常用数学软件的基本用法（Matlab/Mathematica,Lingo,）3.了解竞赛基本信息（竞赛章程，特别是纪律；论文写作规范；)4.参加各种类型的数学建模竞赛或模拟赛（校内赛，地区赛，全国赛，美国赛,),参赛前的准备,CUMCM评阅标准,清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份,创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理,假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性。,正确性：不强调与“参考答案”的一致性和结果的精度；好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的,合理性：关键假设(不欣赏罗列大量无关紧要的假设);要对假设的合理性进行解释，正文中引用,CUMCM评阅标准:一些常见问题,有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂,有的队罗列一系列假设或模型，又不作比较、评价，希望碰上“参考答案”或“评阅思路”，弄巧成拙,数学模型最好明确、合理、简洁：有些论文不给出明确的模型，只是根据赛题的情况，实际上是用“凑”的方法给出结果，虽然结果大致是对的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。,有的论文参考文献不全，或引用他人结果不作交代;参考文献应在正文中引用,数模竞赛能带来什么？,发展观察力、形成洞察力、培养想象力基础知识、数学方法动手能力科技论文写作交流和表达朋友,好工作考研优势毕业论文学分,数学建模的基本方法,机理分析,统计分析,以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。,以随机数学为基础，经过对统计数据进行分析，得到其内在的规律。如：多元统计分析,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。,系统分析,对复杂性问题或主观性问题的研究方法。把定性的思维和结论用定量的手段表示出来。如：层次分析法,5 数学建模的方法和步骤,数学建模的一般步骤,模型准备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,形成一个比较清晰的问题,1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模目的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征。有时需查资料或到有关单位了解情况等。,建模步骤,2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。,3）模型建立：分清变量类型，恰当使用数学工具；抓住问题的本质，简化变量之间的关系；要有严密的数学推理，模型本身要正确；要有足够的精确度。4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方法，计算机技 术（编程或软件包）。特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）。,6）模型检验：把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好。7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。,5）模型分析：结果分析、数据分析。变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制。,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,6 数学模型的特点和分类,模型的逼真性和可行性,模型的渐进性,模型的强健性,模型的可转移性,模型的非预制性,模型的条理性,模型的技艺性,模型的局限性,数学模型的特点,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计,表现特性,描述、优化、预报、决策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,1）按变量的性质分：,2）按时间变化对模型的影响分,数学模型的分类,3）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等。,4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。,5）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等。,6）按对模型结构的了解程度分白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等。灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等。黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等。,7 怎样学习数学建模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想像力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,参加各种形式的数学建模竞赛,参考书：,1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).高等教育出版社.2 沈继红等.数学建模.哈尔滨工程大学出版社.3 周义仓,赫孝良.数学建模实验.西安交通大学出版社.4 刘来福,曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社.5 陈义华.数学模型.重庆大学出版社.,用到哪些知识？,Step 1：分析历史数据（计算机知识）Step 2：建立数学模型（数学知识）Step 3：求解模型 解析解（数学知识）数值解（计算机知识）Step 4：结论分析（数学知识）Step 5：写出论文（写作技巧）,培训班学些什么？,基础知识：微积分、线性代数、概率论、微分方程 核心知识（基本方法）：规划、统计 编程工具：MATLAB、Java、C/C+数据分析工具：Excel、SPSS、R、SAS 优化工具：Lingo、MATLAB 基本算法：数学建模的十大算法,怎样组队？,关于组队 三个人中，一定要有一个人脑子比较活，善于思考问题，这个人，一般来说数学专业以及数学能力比较强的同学可以胜任；一定要有一个人会编程序，能够实现一些算法。这就够了，另外需要有一个论文写的比较好，多看一看别人的优秀论文，多用几次Word就成了。(强烈推荐多看一些优秀建模论文）。分工与合作 分工不用那么明确,竞赛中的群体思维方法,平等地位、相互尊重、充分交流杜绝武断评价不要回避责任不要对交流失去信心,竞赛中的发散性思维方法,借助于一系列问题来展开思路这个问题与什么问题相似？如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？极限情形（或理想状态）如何？综合问题的条件可得到什么结果？要实现问题的目标需要什么条件？借助于下意识的联想（灵感）来展开思路抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想综合所得到的联想和猜想，得到一些结论进一步思考找出新思路和方法,对赛题的把握和理解问题,认真仔细地识题明确条件和任务通过关键词捕捉关键信息分清是非，勿入陷井,