高等数学电子教案(I V).ppt
第五节 平面及其方程,空间直线的方程.,一 平面的点法式方程,量n=A,B,C已知时,平面的位置就确定了.,本节和下一节里,我们用向量作为工具,在空间直角坐标,系中讨论最简单的空间图形-平面和直线.建立平面和,如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的,法线向量.简称法向量.由于法向量与平面垂直,所以法向量,与平面上的任一向量都垂直.,我们知道,过空间一点可作而只能作一个平面垂直于一已知,直线,所以,当平面上的一点M0(x0,y0,z0)和它的一个法向,它和平面的法向量垂直.nM0M=0 即 nM0M=0,方程(1)是平面上一点所满足的方程.,M(x,y,z)是平面上的一点,向量M0M是平面上的一条直线,解:由平面方程(1),所求的平面方程为,解:由于过已知三点的平面法向量n和M1M2,M1M3都垂直,而,反之,如果M(x,y,z)不在平面上,则它不能满足方程(1),式.所以方程(1)就是过点M0(x0,y0,z0),而以n=(A,B,C)为法,向量的平面方程,称为平面的点法式方程.,例1 求过点(1,-2,0),且以n=6,-4,3为法向量的平面方程.,例2 求过三点M1(0,4,-5),M 2(-1,-2,2),M3(4,2,1).的平面方程,整理发布,样的.,这里的M0可以为上面三点中的任意一点,其平面方程是一,二,平面的一般方程,平面方程.,平面的点法式方程是x,y,z的三元一次方程,由于任一平面,都可以 用它上面的一点及它的法向量来确定,所以任一平,面都可以用三元 一次方程来表示.,设有一个三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(2)其中A,B,C不,同时 为零.我们取满足方程(2)的一组数 x0,y0,z0.即该点在,平面上.Ax0+By0+Cz0+D=0(3),由(2)式减去(3)式得到,A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(4),这就是通过点M0(x0,y0,z0),且以n=A,B,C为法线向量的,代入,即满足其方程.,又由于方程(4)和方程(2)同解,所以方程(2)表示一个平面.,方程(2)叫做平面的一般方程.其中 n=A,B,C为该平面的,法线向量.,例如:3x-4y+z-9=0为平面方程,则n=3,-4,1为该平面的一,个法线向量.,2.对于一些特殊的三元一次方程,应该熟悉它们的图形,特点,例如,(1)D=0,方程 Ax+By+Cz=0,表示一个通过坐标原点的平面.用坐标原点的坐标(0,0,0),于y轴,x轴的平面.,缺少x,y,z中的那一项,缺就表示平面平行于那个轴,(2).C=0,方程Ax+By+D=0,表示一个平行于z轴的平面.这是因为C=0,即平面的法向量,n=A,B,0.在z轴上的投影为0,这个法向量就垂直于z轴.,所以这平面就平行于z轴.,同理可知,B=0,方程 Ax+Cz+D=0,A=0,方程 By+Cz+D=0.,平面的法向量分别是n=A,0,C和n=0,B,C它们分别平行,平面.(如果D=0,表示重合于xOy平面),这表示缺少常数项和x,y,z中的那一项,平面就通过那一轴.,(3).C=0,D=0 方程Ax+By=0 表示通过z轴的平面.,B=0,D=0方程Ax+Cz=0表示通过y轴的平面.,A=0,D=0方程By+Cz=0 表示通过x轴的平面.,(4)A=0,B=0方程Cz+D=0,表示一个平行于(含重合于)XoY的平面.,这是因为A=B=0,法向量为n=0,0,C表示平面的法向量在x,轴和y轴上的投影为0,这法向量必定同时垂直于x轴和y轴.,因此,方程所确定的平面平行于x轴和y轴,也就是平行于xOy,的平面.,例3 指出下列各平面的特殊位置,并画出各平面.,同理方程Ax+D=0和By+D=0分别表示平行(含重合于)yOz,平面和xOz平面的平面.,方程缺少x,y,z中的那两项,平面就平行于缺少的轴所组成,y=0,x=3,分析:(1)x=0,即是yoz平面.(缺少,y,z,D,表示通过原点的平行y,z,轴的平面),(2)3y-1=0即y=1/3 平行于xOz,平面.且离xOz平面的距离为1/3.,(3)2x-3y-6=0 这是平行于z轴的,平面.且在两坐标轴上的交点,是(3,0,0)(0,-2,0)即x=0,y=-2.,x-2z=0,它的法向量为6,5,-1,(4)平行于z轴.且过原点.是过z轴的平面,在xoy面上投影为,(5)y+z=1.这是平行于x轴的,在yOz平面,上的投影为直线y+z=1,x=0,(6)x-2z=0 这是平行于y轴的,过坐标,原点即过y轴.在xOz平面的投影为直线:,(7)6x+5y-z=0.这是过原点的平面.,A,C不同时为0.假设A0,方程为,d=4/3-3=-5/3,平面方程为,例4 求平行于y轴且通过点P1(1,-5,1),p2(3,2,-2)的平面方程.,解:由于平面方程平行于y轴.其方程为 Ax+Cz+D=0.因为,把p1,p2的坐标代入上式,得到1+c+d=0,3-2c+d=0,即 c+d=-1,d=2c-3.解方程组得到c+2c-3=-1,3c=2.所以c=2/3,代入,解之得,b,c分别为y,z轴上的截距.,例5 求通过三点p(a,0,0),q(0,b,0),r(0,0,c)的平面方程,其中,a,b,c都不为0.,解:所求的平面方程为Ax+By+Cz+D=0,由于p,q,r三点都在,这平面上应该满足此方程.有aA+D=0.bB+D=0,cC+D=0.,此方程叫做平面的截距式方程,其中,的a,b,c分别叫做平面在x,y,z轴上的,截距.其中a为平面在x轴上的截距.,三 两平面的夹角,按两向量夹角的余弦公式,得到,平面n1,n2互相平行的充分必要条件为,1,定义:两平面法向量所夹的锐角称为两平面夹角.,2,求法:n1;A1x+B1y+C1z+D1=0 n1=A1,B1,C1,n2;A2 x+B2 y+C2 z+D2=0 n2=A2,B2,C2,n1,n2互相垂直的充分必要条件从两个向量垂直,平行的,条件可得到下列结论:平面为 A1A2+B1B2+C1C2=0,解:由公式(5)可得到,当,例6 求平面4x-5y+3z-1=0,x-4y-z+9=0的夹角.,1,1,-1,例7 一平面通过两点M1(1,1,1),M2(2,2,2),且垂直于平面,x+y-z=0.求它的方程.,解:设所求的平面方程为:A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0(点法式,方程),其中一个法向量为n=A,B,C,因为M1M2=2-1,2-1,2-1,=1,1,1在所求的平面内,所以向量M1M2必定垂直于法,向量n.我们有A1A2+B1B2+C1C2=0即A+B+C=0(6),又所求的平面垂直于平面x+y-z=0.该平面的法向量是,到这平面的距离.,我们有A+B-C=0(7),由(6),(7)式,(6)+(7)=2(A+B)=0,A=-B,(6)-(7)=2C=0,得到c=0,A=-B(8),由(8)式得到-B(x-1)+B(y-1)=0即,x-y=0 就是我们所求的方程.,例8 设p0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外的一点,求p0,p1p0在法向量上的投影为所求的距离.,解:在平面上取一点p1(x1,y1,z1),则向量,过p0作平面的法向量n=A,B,C可知,由此可见,点p0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为,便得到,由此可见,点p0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为,例 求一点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离.利用公式(9),
