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数学基础知识,理论力学之,许杰,微积分,矢量,正交曲线坐标系,线性代数,微 积 分,基本初等函数求导,函数的基础求导方法,函数的最值,曲率与曲率半径,级数,微分,常系数微分方程,积分,微 积 分,基本初等函数求导,函数,说明：,极限的定义,的极限,（i）,，但不等于,越来越靠近,（ii）,的极限存在,极限唯一,左极限右极限,反之成立,左、右极限存在且相等,极限唯一,（iii）,不一定等于,连续（无断点）时，,函数,的极限,Given any,，there exist(),Such that,whenever,连续函数,函数,在,连续,在,没有断点,Given any,，there exist(),Such that,whenever,断点,Jump,Infinite,removable,，则导数定义为：,注:,若,的导数符号记为：,导数信息完整，但不够简洁,导数的定义,简洁但求导信息不完整，复合函数求导易错,若f(x)在a,b连续，在(a,b)可导，则称f(x)在a,b曲线平滑,函数,在,可导：,（i）,（ii）,（iii）,在,无间断点,在,无转角,在,无急转弯,（iv）,在,无剧烈振荡,不存在,函数可导,当,时，必须有,所以有：,导数,导数的几何意义,描述函数变化快慢,在几何上表示：,N点无限靠近M点时，割线变切线,横轴到切线的到角的正切（斜率）,有限次四则运算的求导法则:,(C为常数),常数和基本初等函数的导数:,函数的基础求导方法,函数的基础求导方法：,需牢记和深刻理解基本初等函数的求导公式,链式法则,替代法,盒子法,盒子法（）,所谓“盒子”，就是指“表达式”的“封装”，具有“整体性”,盒子相同（替代法）：,表达式一样,由基本初等函数构成,由基本初等函数构成,盒子,函数,如：,基本初等函数的求导公式用盒子法记忆,例如,记成,再如,记成,其它如法炮制,盒子不同（链式法则）：,表达式不一样,链式,链式,链式法则实质是乘以“1”,复合函数求导,在求导计算中“1”具有十分重要的地位,导出链式法则,例如对x求导：,(替代),例如对x求导：,(链式),(替代),(链式),微分dy的几何意义:,切线纵坐标的增量,微分和导数的运算基本相同,微分定义：,若,(A 为不依赖于x 的常数),则,微 分,差量y的几何意义:,割线纵坐标的增量,differentials,Initial error,Exact error,Approximate error,时，,线性逼近式,例：,求,令,，则,，,因,取,，,所以,同理求,时，,令,时，,令,用,的值替代,的值,要求,微元,非均匀,均匀,的实质：,例如：,非均匀电磁场时，取微元化成均匀场,受力曲线运动做功，取微元，化“曲”为“直”,运动学的角度看，就是“挪”了一个位置,曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,弧线段,曲线上P点的曲率,的平均曲率,曲率与曲率半径,若,，则曲率半径,曲率半径的几何意义：,化“曲”为“圆”,曲率的向量定义法：,若曲线,，位矢,曲率可写为：,弧线切向量,证：,Frenet-serret公式,满足一阶微分方程,是弧长,是曲率(curvature),是扭率(torsion),是弧的切向,是弧的主法向,是弧的副法向,利用Frenet-serret公式，曲率和扭率(弧长为参数)：,曲线C：,曲率,扭率,级 数,一元泰勒(Taylor)级数：,若,在,存在幂级数，,且,，,当,时，一元泰勒级数称为,Maclaurin级数,，且,则,不是一定等于泰勒展开式,例,因,同理,的泰勒展开式为0,于是,所以,函数展开时，常常借用几个中学学过的精确展开式,应用举例,直接型：,间接型,微分（可多次）,积分（可多次）,时,又,级数间增长的快慢程度：,Sterling 公式,二元泰勒(Taylor)级数：,若,在点,的某一邻域内连续且有直到,阶的连续偏导数,为此邻域内任一点,则有,Laulrent 级数：,若复数,是函数,的孤立奇点，以,为圆心，,，在,闭合曲线,，那么,间的区域是解析的，满足：,距离R为半径作圆,且,任意小半径作圆,，以,跟最近的奇点,之间的,和,之间任作一,周期为 2 的三角函数形式傅里叶级数(fourier)：,式中,周期延拓（-，）,傅里叶展开,f(x)是周期为 2 的周期函数,式中,周期为 2l 的三角函数形式傅里叶级数(fourier)：,f(x)是周期为 2l 的周期函数,周期延拓（-l，l）,傅里叶展开,式中,周期为 2l 的复数形式傅里叶级数(fourier)：,f(x)是周期为 2l 的周期函数,周期延拓（-l，l）,傅里叶展开,函数的最值(Absolut extreme),函数的单调性,若在区间,，恒有,，,则,单调递增,若在区间,，恒有,，,则,单调递减,，,则,单调递增，,，,则,单调递减，,凹向上,凸向上,f(x)弧线在切线上方,f(x)弧线在切线下方,若恒有,则,呈凹形,OR,若恒有,则,呈凸形,OR,若二阶导数为 0,两侧二阶导数不变号，凹凸性不变,若某点二阶导数为 0或不存在,两侧二阶导数异号，此点为拐点,函数的极值(local extremum),为函数f(x)的关键点(critical point),若,或,不存在，,函数f(x)的极值点一定是关键点,但函数f(x)的关键点却不一定是极值点,如：,但,非极值,不存在，,非极值,则称,多元函数的条件极值（Lagrange Multipliers）,无条件极值只有函数本身定义域限制,有条件极值函数本身定义域限制+条件限制,若函数,的限制条件为：,想法：,把函数,看成变化的等高曲线簇,而限制条件,则为固定的等高曲线,极值必定取在两曲线相切的地方,函数垂直于其等高曲线的梯度,同样想法可得函数,在限制条件,的极值,几何上就是,位于,所在的平面,也可利用线性空间基底线性无关的概念：,函数,有两个限制条件,函数取极值时,从而有：,这实际上也给出了有条件极值可化为无条件极值求解,此方法称为Lagrange Multipliers,可推广：,在限制条件,函数的最值,一维函数,函数在闭区间连续，函数才有最值,无最大值,无最小值,最值求法：,（i）,（ii）,找出关键点,比较函数在关键点和闭区间端点的函数值,的最值,或,不存在,查看关键点的二阶导数,极小值,极大值,（iii）,若,，且,方向导数,设,则,又,所以,于是,二元函数的最值,(i),找出关键点,或,不存在,(ii),查看关键点的二阶导数,若,函数在闭合定义域连续，二元函数才有最值,若,，另觅方法判断,若,，则有：,(1),(2),正定（,），,(3),为鞍点,为极小值,，,为极大值,，,X轴方向上凹向上,所有方向上凹向上,比较函数在关键点和定义域的边界点的函数值,（iii）,所以,时，,积 分,n等分，,Riemannn sum,若,表示小长方形的面积和,，则,对于连续函数,对于连续函数,如果,，那么,全微分的应用,积分中值定理,离散型求和,连续型求和,定积分：,定积分代数意义：,求和与平均,定积分几何意义：,曲线与积分区间变量轴所围成的面积(有正负),右手螺旋,定积分的性质：,若在,，有,，则,，则,，则,若,若,，则为偶函数，且,，则为奇函数，且,线性算符,计算n维物体的“体积”,2D,n维物体的体积,n-1维截面的体积,剩下的1维方向,n-1维,1维,例：右图的面积为：,3D,例：求球的体积,常取,为：,旋转体,水平截环状,竖直截柱状,积分是导数的逆运算，盒子法很方便,（C为任意常数）,不定积分,曲线簇,不定积分的性质：,且有,常数和初等函数的不定积分:,(k 为常数),续,续,第二类换元法,第一类换元法,盒子法,分部积分法：,OR,第一类换元法,(所谓的配元法或凑微分法）,若有,初等函数积分：,求,则,，自然会想到,，自然会想到,常用配元形式:,第二类换元法,(所谓的参数法),若有,初等函数积分：,若,难求，而化成另一种形式,时，易求,求,则,，自然会想到,，自然会想到,常系数微分方程,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,一阶微分方程 确定任意常数的条件：已知一点,二阶微分方程 确定任意常数的条件：,解微分方程实质是降阶,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,分类1:常微分方程,偏常微分方程.,分类2:,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,一阶微分方程有时也写成如下对称形式,（x与y对称）,可分离变量的微分方程,能化为,积分后得,求显式解只需解方程,或,称为隐式(通)解,表示成,若,，则称这方程为,齐次方程,分离变量,两端积分,还原变量,令,，即,，则,求出积分后，,代替u,齐次方程,再用,标准形式:,，上方程称为齐次的,，上方程称为非齐次的,一阶线性微分方程,当,当,1.线性齐次方程,分离变量法,齐次方程的通解为,2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,设,为,，则,即,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,实质:未知函数的变量代换,作变换,用新未知函数,可推出原未知函数,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,将y和y代入原方程得,即,非齐通解=齐通解+非齐特解,伯努利方程,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,解法:需经过变量代换化为线性微分方程,当n0，1 时，方程为非线性微分方程,当n=0，1 时，方程为线性微分方程,代入上式可得,求出通解后，将,令,，则,两端除以,，得,代入可得,利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法,如,齐次型、可化为齐次型、一阶线性方程、Bernoulli 方程等都是通过变量代换来求解方程的,将,变换为,也常可以考虑的,齐次方程,线性非齐次方程,伯努利方程,可令,可令,可令,步骤:,从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程,解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.,把已求得的函数带入原方程组,一般说来，不必经过积分就可求出其余的未知函数,常系数线性微分方程组的解法,1、,积分n次,可降阶的高阶微分方程,，,2、,特点：,右端不含,仅是 x 的函数,特点：,型的微分方程,不显含未知函数y及,令,则,那么原微分方程化为关于p的n-k阶方程,于是可解得p，将,连续积分k次可得通解。,型的微分方程,特点：,3、,型的微分方程,右端不显含自变量x及,设,则,代入原方程得到新函数,的n-1阶微分方程,可求其解为,分离变量便可求出其通解,若一方程既属于不含 x 型又属于不含 y 型,一般而言若两边可消去 p作为不含 x 型（类型3）解较简单,若两边不可消去p 作为不含 y 型（类型2）解较简单,4、,型的微分方程,特点：,方程一端恰好可化为某一函数,降阶求解,把方程一端化为某一函数时，具有很强的技巧，需积累,5、,型的微分方程,特点：,k阶齐次函数,令,则,，,，,代入原方程并消去,可得到关于,的n-1阶方程,于是化为类型2,例：,解：,，代入原方程,得,原方程通解为,求方程,的通解,求得通解为,例：,求方程,的通解,解：,设,，代入原方程，得,求得通解为,原方程通解为,设,高阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式为,若方程右端 f(x)0时 方程称为齐次 否则称为非齐次,线性微分方程的解的结构,高阶线性微分方程,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程y P(x)y Q(x)y0的两个解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数,对于两个函数 如果它们的比恒为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关,判别两个函数线性相关性的方法,函数的线性相关与线性无关,设y1(x)y2(x)yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2 kn 使得当xI 时有恒等式 k1 y1(x)k2 y2(x)kn yn(x)0那么称这n个函数在区间I上线性相关 否则称为线性无关,如果y1(x)y2(x)yn(x)是方程y(n)a1(x)y(n1)an1(x)y an(x)y 0 的n个线性无关的解 那么 此方程的通解为 yC1y1(x)C2y2(x)Cnyn(x)其中C1 C2 Cn为任意常数,推论,如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,定理2(齐次方程的通解的结构),定理3(非齐次方程的通解的结构),设y*(x)是方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解 Y(x)是方程y P(x)y Q(x)y0的通解 那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解,定理4(非齐次方程的解的叠加原理),设y1*(x)与y2*(x)分别是方程y P(x)y Q(x)y f1(x)与 y P(x)y Q(x)y f2(x)的特解那么y1*(x)y2*(x)是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)的特解,二阶常系数齐次线性微分方程,方程y py qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,把此特解代入二阶常系数微分方程,得,故有,特征方程,特征根,特点:,未知函数与其各阶导数的线性组合等于0,即函数和其各阶导数只相差常数因子,猜想,有特解,因,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1,2 i,方程y py qy0的通解,方程r2 pr q 0的根的情况,有两个相等的实根 r1 r2,特征方程的根与通解的关系,n阶常系数齐次线性微分方程,方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2)pn1y pny 0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数,引入微分算子D及微分算子的n次多项式 L(D)Dn p1Dn1 p2 Dn2 pn1D pn,则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn p1Dn1 p2 Dn2 pn1D pn)y 0 或 L(D)y0,注 D0y y，Dy y，D2y y，D3y y，Dny y(n),同样令y erx 则,L(D)y L(D)e rx,(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erx,L(r)erx,故有,特征方程,因,L(r)=(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erx=0,单实根r,n阶微分方程的通解,方程L(r)0的根的情况,一对单复根r1 2 i,n阶微分方程特征方程的根与通解的关系,ex(C1cosx C2sinx),k重实根r,erx(C1C2x Ckxk1),一对k重复根r1 2 i,ex(C1 C2x Ck xk1)cosx(D1 D2x Dkxk1)sinx,n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各含一个任意常数.,实重根,复单根,复重根,实单根,几种情况,每个根对应通解中的一项,其写法与二阶方程的情形完全类似,具体分为,小结:,常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程（2）求出特征根（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解,二阶常系数非齐次线性方程,对应齐次方程,常见类型,难点：如何求特解？,方法：待定系数法.,自由项f(x)为如下四种形式:,二阶常系数非齐次线性微分方程,通解为：齐次方程的通解+非齐次方程的特解,(同幂系数比较法),欧拉公式：,自由项f(x)的四种形式可归结为一种形式,当=0，=0时，,当=0时，,当=0时，,取虚部为,取实部为,所以f(x)的四种形式归结为求,设非齐方程特解为,代入原方程可得：,型,(1)若r不是特征方程的根,可设,，,考察,其中,，,，,系数可通过*式比较同幂系数相等而全部获得,*式左端最高次幂由,决定，与,最高次幂相同,(2)若r是特征方程的单根,可设,，,系数可通过*式比较同幂系数相等而全部获得,*式左端最高次幂由,决定，要保持与,最高次幂相同，就必须设,的,可设,，,(3)若是特征方程的重根,可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数),可设,，,由非齐次方程的解的叠加原理可知，对于二阶常微分方程,设y1*(x)与y2*(x)分别是方程y P(x)y Q(x)y f1(x)与 y P(x)y Q(x)y f2(x)的特解那么y1*(x)y2*(x)是方程 y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)的特解,不管,采用下面哪四种形式,或是它们的叠加形式，求法都是一样，是叠加的，分开求，利用解的叠加，得到总的通解即可,非齐次方程的解的叠加原理,矢 量,加法,减法,数乘,点乘,叉乘,混合乘,矢量相关的一些量,矢量的计算,矢量的导数,矢量的积分,标量（scalar）,只用数值（包括大小与正负）即可描述的量,如：时间t、路程s、质量m、能量E、电量q、电流I 等,标量的计算,遵循各种数字运算法则，如：+-,矢量相关的一些量,矢量（vector）,具有大小和方向，并且加法遵从平行四边形法则的量,如:力F、速度v、加速度a、角速度、电场强度E 等,印刷体通常用黑体字母，手写体通常用字母并在头顶上一个箭头,也称平行四边行法则为三角形法则,矢量模,矢量的大小，,模为0的矢量，,单位矢量,矢量模为1的矢量，,等表示,零矢量,矢量相等,矢量的模相等且方向一致,矢量计算化标量计算的重要依据,或,负矢量,与原矢量的模相等，但方向相反,表示为,常用,记作,矢量的加法,号是因平移导致角度为补角的关系,矢量,满足,，则,平行四边形法则,三角形法则,矢量的计算,交换律,结合律,多边形法则,矢量加法性质：,n边形亦是如此,封闭性,矢量的减法,矢量的减法是加法的逆运算,为矢量,矢量的数乘,矢量数乘后仍是一个矢量，,同向,模伸长,为矢量，,为实数,矢量的数乘：,与,反向,与,零矢量,较,模缩短,较,与,模相同,且,矢量的数乘性质：,分配律,结合律,单位元素,为矢量,为实数,矢量的点乘,表示由,到,的到角,矢量点乘结果：标量,若,，则,若,垂直,与,若,上的投影,在,上的投影,在,的几何意义,同理,矢量点乘性质：,交换律,分配律,结合律,非负性,正交分量,正交基,矢量计算,标量计算,矢量相等,矢量正交分解,点乘的几何意义:投影,矢量的正交分解,如果,且,则,任一矢量，皆可唯一地分解成两正交矢量,例：,矢量点乘的一些用途,最简当属=0,坐标系的选取,取特殊值时,形式简化,坐标轴取在,上,旋转矢量法,以匀角速度,旋转，,则,几何与矢量代数联系起来,涉及矢量计算时,与矢量成特殊角的正交坐标系,原则上要尽可能地选取坐标轴,Gram-Schmit正交化,已知一组线性独立的向量,则,构成一组彼此正交向量,矢量的叉乘,表示由,到,的到角,矢量叉乘结果：矢量,矢量叉乘后的方向满足右手螺旋,四指由第1个叉乘因子转向第2个叉乘因子,大拇指的方向为叉乘后的方向,右手螺旋,和,所在的平面,任意正交单位矢量间叉乘满足右手螺旋,直角坐标系中，对应于,正,负,正,负,在线性代数中,矢量常用基矢矩阵乘以坐标矩阵来表示,矢量的叉乘在直角系中可表示为：,满足右手螺旋取正,否则取负,基矢分量方向,第一位叉乘因子分量方向,第二位叉乘因子分量方向,例如:,取一”号,按如下顺序(各分量方向不能重复):,取+”号,取一”号,的几何意义,平行,与,若,若,和,所在的平面,构成的平行四边形面积（有方向）,与,若,，,则,矢端到,的距离,构成的平行四边形面积,与,计算,的三个顶点坐标为：,若,则,由矢量叉乘定义易得：,不能交换,分配律,结合律,与括号外越近两者相乘为负,Jacobi 等式,矢量的混合积（triple product）,若,共面,若,构成的平行六面体的体积（有正负）,混合积结果:标量,矢量混合积,遵循右手螺旋,中，,几何意义,四指由第1个叉乘因子转向第2个叉乘因子,大拇指的方向为靠近点乘因子的方向,混积的右手螺旋,正,负,保持,顺序，任取相邻三个，点乘和叉乘符号可交换,矢量混合积,遵循右手螺旋,中，,构成的平行六面体的体积,计算,的四个顶点坐标为：,若,则,矢量混合积的性质：,矢量的导数,C is constant vector,矢量的积分,行列式,矩阵,空间,线性代数,线性方程组,行 列 式,n阶行列式的定义,n阶行列式的几何意义,一些重要的行列式,行列式的性质,余子式,n阶行列式,用,可看作是由,确定的函数,满足：,多线性,反对称性,规范性,今后我们用符号,表示以,为元的n阶行列式,在不混淆时，,等记号表示n阶行列式,表示对,的一切排列取和,也常用,n阶行列式的几何意义,n维空间中的多面体的“体积”,二阶行列式,三阶行列式,高维中，不再直观，但理论上推之,三阶行列式的对角线法则,行列式值为主对角线上三元素之积-副对角线上三元素之积,一些重要的行列式,右上三角形行列式,右下三角形行列式,范达蒙德(Vandermonde)行列式,其中,是连乘号，右端表示下面各行的乘积,行列式的行与列顺次互换，其值不变,上式中的两个行列式互称为转置行列式,行列式,的转置行列式记为,或,对行成立的性质对列也成立，反之亦成立,行列式中行与列的地位是对称的，平等的,行列式的性质,行列式的两行(或两列)的位置互换，值改变正负号,行列式中某行(列)的元有公因子K，则K可提到行列式外边,若行列式中某行(如第i行)的元均可表为两项之和,则此行列式等于两个行列式之和,(i)行列式某行(列)的元全为零,若下述条件之一成立，则行列式的值为零,(ii)行列式的两行(列)完全相同,(iii)行列式的两行(列)的元成比例，,若把行列式某行(列)倍后加到另一行(列)上,即将某行(列)的元倍后加到另一行(列)的对应元上,则行列式的值不变,元素,所在的第 i 行和第 j 列划去后余下的 n1 阶行列式,每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式,元素,的,余子式,(记为,),元素,的,代数余子式,任一行(列)的各元与其代数余子式乘积之和,n 阶(n 2)行列式的值,任一行(列)中各元与另一行(列)对应元的代数余子式乘积之和为零,在n 阶行列式中，任意指定r个行与r个列(1rn),位于这些行列交点处的r2个元构成的r阶行列式M,称为原行列式的一个r阶子式。在n 阶行列式中，,划去某个r阶子式M所在的行与列后，剩下的n-r个,行与n-r个列上的元也构成一个n-r阶子式N,称这一对子式M与N互为余子式,与,就互为余子式,子式互为余子式,设r 阶子式M是由行列式中第i1，i2，ir行和,第j1，j2，jr列相交处的元构成的.且N是M的,余子式.则称带有正或负号,的余子式N,即,为M的代数余子式,子式的代数余子式,在n 阶 行列式中任意选定k 个行(列)(1kn),则n 阶 行列式等于位于这k个行(列)中的一切k,阶子式 Mi(i=1,2,Cnk)与其对应的代数,余子式Ai乘积之和,拉普拉斯定理,显然，这里k=1时，,矩阵,一些重要的矩阵,分块矩阵,矩阵的乘法,可逆矩阵,矩阵相抵,矩阵的导数,分块矩阵打洞,矩阵的初等变换,由m n个实数(或复数),排成m个横行n个竖列的阵式,称为m行n列矩阵(或m n矩阵)，简称矩阵,数,称为矩阵的元,矩阵,矩阵表示法：A、B、；A m n；(aij)m n；(aij),如果矩阵A与矩阵B有相同的行数与相同的列数，,则矩阵A和B,称为同型矩阵,矩阵相等,如果A(aij)与B(bks)是同型矩阵(i=k,j=s),并且它们的对应元相等 即aij bks,则称矩阵A与矩阵B相等 记作 A B,同型矩阵,行列式与矩阵的区别,行列式是算式，矩阵是数表,行列式的行数与列数相同,矩阵的行数和列数可不同,对行数和列数相同的矩阵，可求它的行列式.,记为,行列式与矩阵的主对角线和副对角线的定义一样,一些重要的矩阵,得到的nm矩阵,矩阵A的转置矩阵，记为,或,转置,转置矩阵,设A是一个mn矩阵，将A的行顺次改成列,由转置矩阵的定义可知：,若A是可逆矩阵，则,(为数),对称矩阵,若n阶实矩阵A满足条件 AT=A，,则称A为,实对称矩阵,矩阵元素沿主对角线呈轴对称,若A，B都是n阶实对称矩阵,则A+B，A，B都是n阶实对称矩阵,但AB或BA则一般不是对称矩阵,若矩阵A为mn矩阵，,因,则AAT，ATA也是对称矩阵,反对称矩阵,若n阶矩阵A满足条件 AT=A，,则称A为,反对称矩阵,主对角线上元素全为0，主对角线,两侧对称的元反号,奇数阶反对称矩阵的行列式必为0,因,对角形矩阵,n阶矩阵A主对角元素不全为零，其余元素都为零,若A，B都是n阶对角形矩阵，则A+B，A，A1,仍是对角矩阵，且AB BA,A1主对角线上的元恰为A中对应元的倒数,正交矩阵,若n阶矩阵A满足条件 AT AE，,则称A为正交矩阵,正交矩阵每一行（列）各元平方和等于1,正交矩阵不同行（列）对应元相乘之和等于0,即,或,因,且A1也为正交矩阵,若A，B都是n阶正交矩阵，易得：,有限多个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵,AB和BA仍是n阶正交矩阵,A+B一般不是n阶正交矩阵,因,共轭矩阵,若n阶矩阵A(aij)nn的元aij都是复数（包括实数），,且,，则称A为,若A，B都是n阶复矩阵，下列等式成立,（为复数）,若A是n阶可逆矩阵，,也是可逆矩阵，,显然，,全为实数时，,则,且,共轭矩阵,轭米特矩阵,若n阶矩阵A(aij)nn满足,，则称A为,轭米特矩阵,显然，,全为实数时，,，轭米特矩阵就是对称矩阵,轭米特矩阵特点：,当i=j时，,，即主对角线上的元全为实数,若A，B都是n阶轭米特矩阵，,若A是n阶可逆矩阵，,仍为n阶轭米特矩阵，为实数,也是n阶轭米特矩阵,为实数,则,则,酉矩阵,若n阶矩阵A(aij)nn满足,(或,)，,则称A为,酉矩阵,称为A的共轭转置矩阵,酉矩阵应满足条件,酉矩阵每一行（列）各元平方和等于1,酉矩阵不同行（列）对应元相乘之和等于0,即,或,其中,显然，,全为实数时，,，酉矩阵就是正交矩阵,若A，B都是n阶酉矩阵，则,仍为n阶酉矩阵,有限多个酉矩阵的乘积仍是酉矩阵,酉矩阵的行列式一般为复数，其模为1,单位矩阵,对角矩阵,零矩阵,方阵的迹,行矩阵,只有一行的矩阵(1n)，,称为行矩阵(n维行向量),对于任意矩阵(mn)，都可写成n维行向量,式中,列矩阵,只有一列的矩阵(n1)，,称为列矩阵(n维列向量),对于任意矩阵(mn)，都可写成n维列向量,式中,分块矩阵,回想行矩阵，列矩阵，增广矩阵的形式,分块矩阵,对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，,采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算,具体做法是：,将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小,矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块,为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵,例,的若干分块方式,分块1,分块2,分块3,分块3,分块,分块矩阵的运算,一个矩阵可以根据不同的需要划分成不同的子块,构成不同的分块矩阵，把分块矩阵看成新矩阵的,元就可以象未分块的矩阵那样运算，唯一需要注,意的是矩阵运算的规则,设A和B是同型矩阵 采用相同的分块法 有,其中Aij与Bij为同型分块矩阵，,(i),分块矩阵的加法运算,对应的分块矩阵相加,设,(ii),分块矩阵的数乘运算,，为实数,则,(iii),分块矩阵的乘法运算,矩阵相乘时，须前一个矩阵的列数等于被乘矩阵的行数,故不但要求分块矩阵满足这个条件，子块相乘也要满足,从而分块矩阵在分块时，就会出现不同的分法,若Amn和Bns分块时，Aij的列数等于Bij的行数，则,，Aij与Bij子块矩阵的相乘正是前面所学的矩阵相乘,(iv),分块矩阵的转置,设,则,(v),准对角形矩阵,A为方阵，分块后，主对角线上的子块也为方阵,除主对角线以外的子块都为0方阵,显然有,准对角形矩阵的性质,两个同型准对角形矩阵，子块也同型，那么,它们的乘积仍是准同型对角形矩阵,准对角形矩阵A可逆的充分必要条件是,对角线上的子块矩阵Ai均为可逆矩阵，且,自已证明,分块矩阵“打洞”,初等行变换,初等列变换,矩阵的加法,矩阵的数乘,一般情形下，行列式,设,，,，则乘法定义为,其中,矩阵的乘法,要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数,矩阵相乘的性质,混乘,结合律,分配律,转置,，,单位矩阵,或,，且,，则,，,如：,，但,A满秩矩阵时，上面结论成立,当m n时，,对于任意矩阵,和矩阵,是m阶方阵,是s阶方阵,当m=n时,一般情况下，纯量矩阵I与其它同阶矩阵相乘时，可交换,当,时，,，交换律不再成立,若A，B是n阶矩阵，则,对于任意n阶矩阵,，则有限个A的乘积,有意义,规定,k个,(k为自然数),易得,(k，l为自然数),(k为自然数),只有当A与B可交换时 才有,(AB)kAkBk(AB)2A22ABB2(AB)(AB)A2B2,设A是一个n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I,则称,A是可逆矩阵，,记B=A-1,，即 AB=AA-1=A-1A=I,B是A的逆矩阵,可逆矩阵,A*称为n阶矩阵A的伴随矩阵,为代数余子式,矩阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵(|A|0),且当A可逆时，A的逆矩阵为,若A，B为n阶可逆矩阵，则AB也为 n阶可逆矩阵,设,皆为n阶可逆矩阵，,也是一个n阶可逆矩阵，,则乘积,且,若(0)是一个数，A是n阶可逆矩阵，,则,且,设A是n阶可逆矩阵，那么对任意的B=Bnm(或B=Bmn),矩阵方程AX=B(或XA=B)有唯一解X=A-1B(或X=BA-1),Cramer(克莱姆)法则,如果n元线性方程组,的系数行列式,时，,其中Dj是把系数行列式D中第j列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式,存在唯一解,(2)用非零常数乘矩阵的某一行(列)的所有元素,(1)对调矩阵的两行(列)的位置,(3)将矩阵的某一行(列)所有元素乘以非零常数k后,加到另一行(列)对应元素上,对矩阵的行(列)实行下列三种变换之一：,矩阵的初等行(列)变换,矩阵的初等变换,，记为 A B,对换变换,倍乘变换,倍加变换,统称,表示A的第i行与第j行对换,表示A的第i列与第j列对换,表示A的第i行乘k,表示A的第i列乘k,表示A的第j行乘k 加到第i行上,表示A的第j列乘k 加到第i列上,矩阵初等行变换,矩阵初等列变换,可逆矩阵可以经过若干次初等行(列)变换化为单位矩阵,可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,n2n,n2n,求解方程组 AX=B 的一种方法 X=A-1B,等价关系的性质：,两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组相抵(等价),如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B相抵，,反身性,对称性,传递性,记作,(同型、等秩),矩阵的导数,标量函数对变量的偏导数,例,例,线性方程组,向量的线性性,矩阵的秩,非齐次线性方程组求解,行阶梯形矩阵,如果有n 维向量,的对应分量都相等，,就称这两个向量相等，,向量加法,如果有n 维向量,则,向量相等,即,记为,给定向量组,，对于任何一组实数,向量,称为向量组的一个线性组合,称为这个线性组合的系数,给定向量组,和向量，,，使得,则称向量是向量组的线性组合,或称向量能由向量组线性表示,如果存在一组实数,线性方程组的矩阵表示和向量表示,向量可由向量组,线性表示的,充分必要条件,为系数列向量，,其中的一个解就是线性表示的系数,即,以为常数项列向量的线性方程组有解,是以,即,如果向量组,中的每一个向量,都可以由向量组,线性表示，,就称向量组可以由向量组线性表示,若同时向量组 也可以由向量组线性表示，,就称向量组与向量组等价,那么,如果向量组,，使,，且存在不全为零,的实数,称向量组线性相关，,向量组中至少有一个向量可由其余,m-1 个向量线性表示，,向量组中任何一个向量都不能由其余m-1 个,向量线性表示，,否则称向量组线性无关,等价表述为,称向量组线性相关,称向量组线性无关,向量组,线性相关,，有非零解,线性无关,，只有零解,向量组,线性相关的几何意义：,两向量线性相关：,三向量线性相关：,两向量共线,三向量共面,设向量组,线性相关，,同维向量之后，,也必线性相关,则任意添加上若干个,得到的向量组,(部分相关则整体相关),设向量组,线性无关，,干个向量之后，,也必线性无关,其中,，且,得到的向量组,则从中任意取出若,(整体无关则部分无关),n维向量组,线性无关，,的维数增加后，,n维向量组,线性相关，,的维数减少后，,(向量无关则增维无关),(向量相关则降维相关),把每个向量,把每个向量,得到的新向量组仍线性无关,得到的新向量组仍线性相关,设向量组,线性无关，,线性相关，,线性表出,而向量组,则必可经,n阶行列式|A|=det(aij)=0 的充要条件是：,它的n个行(列)向量线性相关,若向量组的一个子组线性无关，但将向量组中任何,一个向量添加到这个线性无关子组中，得到的都是,线性相关的子组，则称该线性无关子组为,向量组的极大线性无关组,一个给定的向量组的一切极大线性无关组等价，,且所含向量的个数相同,一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数,称为该向量组的秩,单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关,包含零向量的任何向量组线性相关,基本向量组e1，e2，e3线性无关,有两个向量相等的向量组线性相关,n维向量空间任一线性无关组最多只能包含n个向量,n维向量线性相关，则其行列式必定为0,n维向量线性无关，则其行列式必定不为0,任何含有非零向量的n维向量的向量组(含有限或,无限个向量)，必有线性无关子组,只含零向量的向量组没有极大线性无关组,一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是其本身,一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示,一个向量组的极大线性无关组一般不是唯一的,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价,一个给定的向量组的一切极大线性无关组等价，,且所含向量的个数相同,零向量组的秩为0,向量组,线性无关,向量组,线性相关,如果向量组,可以由向量组,线性表示，,等价的向量组必有相同的秩,两个有相同的秩的向量组不一定等价,两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以,被另一个线性表示，则这两个向量组等价,向量组,的秩为r，则大于r个向量线性相关,则,矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩,矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩,矩阵,n维行向量,m维列向量,在矩阵A中，任取k行k列，交叉处的元素保持原来的,相对位置不变而构成的k阶行列式,取k阶,其中,称为矩阵A的一个k阶子式,矩阵A的行秩等于A中一切非零子式的最高阶数,矩阵的行秩等于列秩，它们都等于矩阵中,非零子式的最高阶数,矩阵A的行秩，,称为,矩阵A的秩,记为rA,若矩阵A中有某个s阶子式不为0，,若A中所有t 阶子式全为0，,若A为mn矩阵,转置矩阵的秩不变，r(AT)r(A),对于n阶矩阵A,可逆矩阵为满秩矩阵,则0 rA minm n,则rA s,则 rA t,当|A|0时,rA n,当|A|0时,rA n,矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩rAB min(rA，rB),任何矩阵乘上可逆矩阵后，其秩不变,(可逆矩阵为满秩),初等变换不改变矩阵的秩,(初等变换相当于左、右乘可逆矩阵),求矩阵秩的方法：,化成行阶梯形矩阵,设,且,的充分必要条件是,存在可逆矩阵,和,使得,行阶梯形矩阵的特点：,可划出一条阶梯线，线的下方全为零,台阶数即是非零行的行数，,阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，,每行的非零首元必在前一行非零首元的右方,(每个台阶只有一行),行阶梯形矩阵,阶梯形矩阵的秩非零行向量的个数r,因至少有一个 r 阶子式不为0，r+1 阶子式(如存在),(或非零行的行数),都含有一个零行向量，因而都等于0,矩阵可经多种初等变换成阶梯形矩阵,对同一矩阵，不同的初等变换可得到不同的阶梯形矩阵,初等变换不改变矩阵的秩，所以秩不变,在化阶梯形矩阵时，即可用初等行变换，亦可用初等列变换,非齐次线性方程组有解的充要条件是：,系