高等数学(北大第二版)第01章习题课.ppt

第一章 求（证）极限的主要方法,极限知识是微积分学和其它高等数学内容和学科的基础，是 研究导数、各种积分、级数、复变函数、积分变换，等的基 本工具，既是学习的重点、又是难点，应充分重视.,一、内容小结,二、求极限的方法,2.利用极限的运算法则求极限；,1.用定义证明极限式；,3.利用极限存在准则证明极限的存在性；,4.用夹逼定理求极限；,5.利用“无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量”；,6.利用两个重要的极限；,7.利用“洛必达法则”，导数定义，定积分定义等求极限.,当,无穷小量,定义 若,时,函数,则称函数,例如:,函数,当,时为无穷小量;,函数,时为无穷小量;,函数,当,为,时的无穷小量.,时为无穷小量.,例1.求函数 的定义域.,(0,2),例2.已知,解 关键在于求出f(u)的表达式.,令,三、综合例题,例3 设,求,解:,例4 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数?为什么?,不是,是,不是,提示:(2),例5.求极限：,解,例6 求极限,解,则有,若,例7,因为,例8.求极限,解,本题可分子，分母同除以相同的因式后，再求极限.,例9.求极限,解 采用与通分相反的变形法-分解为简单分式（或部分分式），再用正、负相抵消变简单.,思考题 求下列极限：,(1),（2）,例11.求极限,解,例12 求,解 先有理化，后求极限,例13 已知,解,这类逆向思维的问题，需用分析法解之,思考题 设,解:,利用前一极限式可令,再利用后一极限式,得,可见,是多项式,且,求,故,例14 求,解,找出两边夹的式子，用夹逼准则求之,则有,即,例15 求,解:令,则,利用夹逼准则可知,思考题,解 这类由递推式表示数列通项的极限，须先用单调有界法则证明极限存在；然后才能对等式两边取极限，并用解方程的办 法去求极限,证,并求出该数列的极限.,对等式两边取极限，得,解方程，得,a=2 或 a=-1(舍去）,例16,例17,又 f(0)=a,要使f(x)在x=0处连续，由函数在一点连续的定义，有,即就是 a=b.,解 求分段函数分段点处的连续性，要考察左、右极限及分 段点的函数值.,例18,证,由零点定理，,即方程f(x)=0至少有一个实根，,f(x)=0的两个根，,例19,证,由闭区间上中间值存在一点,例20,解 当x=1时,f(x)无定义,且,习题解答 习题 1-3,证,根据数列极限定义，,虽有,反例：,要证明：,证,总有,习题 1-4,解(1),(2),并求出该数列的极限.,证,对等式两边取极限，得,解方程，得,a=2 或 a=-1(舍去）,习题 解答：习题1-3,9.证明,证,在前面讨论 的有界性时已经证明,于是,下面证明,（其中k为为任意固定的自然数）,若k为任意固定正数，则当nk时，有,取极限，得,将k换成n,得,于是,结合（*）得所证明.,