非齐线性微分方程组.ppt

非齐线性微分方程组,(5.14),性质1,是(5.14)的解，,是(5.14)的解。,方程组(5.15)的解，则,如果,是对应齐次,性质2,是(5.14)的任意两个解，,是(5.14)对应齐次线性方程组,如果,则,(5.15)的解。,都可以,定理7,设,是(5.15)的基解矩阵，,是,(5.14)的某一解，则(5.14)的任一解,这里 c 是确定的常数列向量。,(5.23),是(5.14)的任一解，,是齐次方程组(5.15)的解，因此存在常列向量 c，,使得,证明,表示为:,已知(5.15)的基解矩阵，则可用常数变易法求,的解，则,(5.25),为了寻求(5.14)的通解，只要知道(5.14)对应齐的,齐线性方程组(5.15)的基解矩阵和自身的一个解即可。,假设(5.14)存在形如,(5.14)的特解,而,(5.24),这样，(5.24)变为,如果(5.14)有一个形如(5.24)的解,则,(5.26),由(5.26)决定。,反之易证明由(5.26)决定的向量函数,一定是(5.14)的解。,(5.26),一定是(5.14)的解。,反之易证明由(5.26)决定的向量函数,定理8,是(5.15)的基解矩阵，则向量函数,(5.27),如果,是(5.14)的解，且满足初始条件,(5.14)满足初始条件,的解是,(5.26),(5.14)通解,例2,试求下面初值问题的解,解,基解矩阵,课堂练习：,试求下面初值问题的解,分析常数变易法/Analytic of Unknown Function Method/,(5.25),是(5.14)的满足,的解。,推论3,是区间,上的连续函数，,是对应齐次方程,的基本解组，那么，非齐次线性方程（5.28）,(5.21),(5.28),如果,满足初始条件,的解为,应用到n阶线性方程,(5.29),(5.28)的常数变易公式是,(5.28)的通解可以表示为,思考,1 推论3的推导过程2 到目前为止 n 阶线性方程求特解的方法有多少？,当n=2时，公式(5.29)就是,因此，当n=2时常数变易公式变为,而通解就是,这里 任意常数。,(5.31),(5.32),利用公式(5.31)来求方程的一个解，,例3,解,的一个特解。,试求方程,易知对应的齐线性方程,的基本解组为,注意，因为sint是对应的齐线性方程的解，所以函数,也是原方程的一个解。,作业,P.202,第6,8，9(a)题。,求齐次线性方程组的解的另一方法：消元法,保留一个未知函数 x1，消掉另一个未知函数 x2,求非齐次线性方程组的另一方法：消元法,保留一个未知函数 x1，消掉另一个未知函数 x2,利用消元法，求下列方程组的通解,练习：,