闭区间上连续函数性质(IV).ppt

2023/9/29,1,第十节 闭区间上连续函数性质,一、最值定理,二、介值定理,三、关于连续函数知识点总结,四、典型例题,第一章,2023/9/29,2,1、定义:,例如,一、最值定理,类比：没有最小的正数；没有最大的负数；但是有最小的正整数1和最大的负整数-1。,2023/9/29,3,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,2、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,2023/9/29,4,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,注2.闭区间上函数有间断点不成立.,注1.将闭区间改为开区间不一定成立.,注3.最大值、最小值可能相等。最值点可能不唯一。,2023/9/29,5,推论.,由定理1可知有,证:设,上有界.,二、介值定理,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,零点：如果有 f()=0,则称 为 f(x)的零点。,2023/9/29,6,定理2.(零点定理),至少有一点,使,(证明略),且,几何解释:,例1.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,即,在区间,内至少有,使,2023/9/29,7,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,2023/9/29,8,上连续,且恒为正,例2.设,在,对,必,证:,使,令,则,使,故由零点定理知,即,当,时,取,或,则有,证明:,2023/9/29,9,另例:,证,由零点定理,2023/9/29,10,内容小结,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,2023/9/29,11,证明至少,使,提示:令,则,易证,1.设,作业 P73 题 2;3;4,思考与练习,2023/9/29,12,下述命题是否正确？,