迭代法的收敛性.ppt

课程回顾,迭代法的原理；迭代法的构造；迭代法的关键问题；分形迭代法解线性方程组：最简单方法最有效方法Jacobi方法Gauss-Seidel方法SOR方法问题：如何评价不同迭代方法的优劣？,第三章 线性方程组求解的数值方法,第五节 迭代法的收敛性,迭代法收敛性,收缩映射原理（Contraction Principle）：,证明：,收缩映射,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,第1步迭代与第k步迭代关系。,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,线性方程组迭代法收敛性,迭代法收敛性：,迭代法收敛性：,迭代法收敛性：,SOR迭代收敛性：,特殊矩阵收敛性的判定：,Gauss-Seidel迭代收敛性：,注：Gauss-Seidel法为SOR法的特例。,Gauss-Seidel迭代收敛性：,Gauss-Seidel迭代收敛性：,三种算法收敛性各有优劣。,Gauss-Seidel迭代收敛性：,Gauss-Seidel迭代收敛性：,线性方程组迭代法收敛速度,线性方程组迭代法收敛速度,线性方程组迭代法收敛速度,线性方程组迭代法收敛速度,迭代法收敛速度,迭代法算法结构-Matlab,注意：L、U 前有负号,迭代法算法结构-Matlab,上述两种算法计算M矩阵过程运算量小于矩阵A求逆。,迭代法算法低级语言实现,Jacobi算法：,迭代法算法低级语言实现,Gauss-Seidel算法：,迭代法算法低级语言实现,SOR算法：,Matlab语言实现和低级语言实现比较,高级语言中需要进行求逆运算、计算谱半径，实际工程中可能找不到相关库函数。低级语言实现无需计算矩阵求逆，但是无法事先判断迭代是否成功，另外迭代终止条件存在误差,迭代过程中计算量较大。,习题,习题,A=2,1;1,2B=eye(2)for iii=1:1000 a=iii/500;a=a-0.5;M=B-a*A;p=eig(M);QQ(iii)=max(abs(p);end x=1:1000;x=x/500;x=x-0.5;plot(x,QQ),解法二：数值求解,习题,总结：,线性方程组解法：直接法：Gauss法、全主元、列主元、LU，Cholesky法范数向量范数概念，1、2、范数计算；矩阵范数的概念；算子范数的概念，1、2、范数计算、相容性等性质。病态问题概念，与算法稳定性的关系；系数误差和解误差的关系；条件数：概念、计算；,总结：,迭代法解线性方程组：迭代法的概念；迭代法解方程的原理；Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法：写出迭代公式迭代法收敛性-压缩映射原理、线性方程组迭代方程收敛的充分必要条件特殊矩阵的收敛性收敛速度迭代性分析方法迭代法程序结构。,作业：,课后作业：思考题：1，2，4，8习题：4，6，7实验题：4,