简明电路分析基础 第七章.ppt

第七章 一阶电路,本章主要内容：,1、RC、RL电路的零输入响应；,2、RC、RL电路的零状态响应；,3、一阶电路的全响应；暂态与稳态；,4、一阶电路的三要素法；,5、阶跃函数和阶跃响应；子区间分析法。,引言,一、什么叫一阶电路？,1）用一阶微分方程描述其变量的电路。,2）只含一个动态元件(C、L)的电路。,二、如何分析一阶电路？,电路变量依旧受到两类约束：元件约束 拓扑约束但有变化：动态元件的VAR为微积分方程。,7-1 分解的方法在动态电路分析中的应用,一、把一阶电路的动态元件分离出来，可以得到典型的一阶电路：,其中N为一般的线性含源单口网络。而N可以化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路，如图b）。这样一阶电路的分析问题，转化为图b）RC或RL电路的分析问题。,二、RC电路的分析,这是常系数非齐次一阶微分方程。RC电路的分析归结为该方程的求解。,代入:,1、布列微分方程,2、一阶微分方程的求解：,1）齐次方程通解：,2）非齐次方程特解：W=Q 常数*,3）K确定：,常系数非齐次一阶微分方程,由初始条件解出K,完全解为：,特解的形式：,3、RC电路微分方程的求解,初始条件代入（2）：,关于初始条件的说明。,三、利用置换定理，求解一阶电路其余变量。,这样一阶动态电路就转换为纯电阻电路，可以用纯电阻电路的所有分析方法，求电路余下的变量。这就是分解的方法在动态电路分析中的应用。,四、小结,利用分解方法分析一阶电路的方法：把电路分解为一个动态元件和一个单口网；把单口网络化为最简单的形式，得到RC或RL 电路；布列RC或RL电路的微分方程，解出状态变 量；用电压源或电流源置换动态元件，得到纯电 阻电路；分析纯电阻电路，求解余下变量。,以上方法可以处理所有一阶电路。,73 一阶电路的零输入响应,一、RC 电路的零输入响应,电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。,（输入为零）,图(a)所示电路，开关原来在1端，电容电压已经达到U0，在t=0时开关由1端转换到2端，如图(b)求：uC(t)；iC(t),t 0,t 0 充电,t=0 换路,t0 放电,1.定性分析,建立图(b)电路的一阶微分方程,其解为：,根据初始条件,齐次方程通解：,2.定量分析,最后得到电路的零输入响应为:,U0,0,2,3,4,uC(t),t(s),以 为例，说明电压的变化与时间常数的关系。,当t=0时，uC(0)=U0，当t=时，uC()=0.368U0由于波形衰减很快，实际上只要经过45的时间就可以认为放电过程基本结束。一般定义4为稳定时间。,0.368U0,换 路：电路由电源接入或断开，元件参 数或电路结构突然改变。,过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳 定状态过渡的过程。,时间常数：=RC它决定了uC 衰减的快慢,RC 大，表示衰减的慢;RC 小，表示衰减的快。,换路定律：,二、RL 电路的零输入响应,如图a)，求 iL(t),uL(t),t 0。,解：1.定性分析,t 0 储磁场能,t=0 换路,t0 衰减到零,列出KCL方程，得到微分方程,通解为,代入初始条件iL(0+)=I0求得,最后得到,三、结论：,RC电路（或RL电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。2 表达式：,X(0+)初始值 时间常数,二者零输入响应、时间常数具有对偶性。=RC,=GL=L/R,例1：电路如图(a)所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求t 0时uC(t)、iC(t)、iR(t)。,解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为,电阻中的电流iR(t)可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t),例2：,已知 uC(0+)=18V,求：uC(t),i1(t),t 0,例3：,已知i(0+)=2A,求：i(t),u(t),t 0,74 一阶电路的零状态响应,一、RC电路的零状态响应,已知：uC(0)=0，求 uC(t),i(t),t 0。,零状态响应:电路中动态元件的初始状态为零，电路只在外加激励作用下产生的响应。,解：1、布列微分方程：,2、解微分方程：,1）uC(t)的零状态响应是从零按指数规律 上升到它的稳态值 uC();,t,uC(),uC(t),O,2）当t4,uC()=Us是电容 C 开路时 uC 的值。,表示为iC=0，,3、分析：,uC(0)=0,Us,4,4、求电容电流：,解一：,解二：,二、RL电路的零状态响应,解：、布列微分方程：,已知：iL(0_)=0，求 iL(t),uL(t),t 0,2、解微分方程：,1）iL 的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值 iL()。当t4，iL（t）接近稳态值。iL()=IS,是电感短路时的值。,2）iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间 常数（=L/R）。越小，上升越快。,3、分析：,4,解一：,解二：,4、求电感电压：,三、结论：,uC(t)和iL(t)的零状态响应是从零按指数 规律上升到它的稳态iL()；iC(t)和uL(t)是按指数规律衰减到零。2.状态变量：,X()稳态值;时间常数,3.非状态变量：iC(t)和 uL(t)。,求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。,例1 电路如图(a)，已知 uC(0-)=0。t=0 打开开关，求：t0的uC(t)，iC(t)及电阻电流 i1(t)。,解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到,将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图(b),电路的时间常数为,当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得,根据图（a）所示电路，用KCL方程得到,例2 电路如图(a)所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求：t0的iL(t)，uL(t)，i(t)。,解：电感电流不能跃变，即,将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图(c),75 线性动态电路的叠加定理,一、RC电路的完全响应：由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响应，称为完全响应。,例：已知电路如图(a)所示，uC(0-)=U0，t=0 时开关倒向2端。求：uC(t),t 0。,以电容电压uC(t)为变量，列出图(b)电路微分方程,其解为,代入初始条件,求得,于是得到电容电压表达式：,第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应。将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为暂态响应。,第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律与输入相同，称为强制响应。当 t时uC(t)=uCp(t)也称为稳态响应。,固有响应：与输入无关，由电路本身决定。,暂态响应：在过渡过程(0-4)的响应。,强制响应：与外加激励有关。,稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。,注意,线性动态电路中任一支路电压或电流的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。,二、线性动态电路的叠加定理：,uC(0+),三、完全响应的三种分解方式：,1.完全响应=零输入响应+零状态响应,线性动态电路的叠加定理说明：,2.完全响应=暂态响应+稳态响应,3.完全响应（完全解）=通解+特解,1）适用于任意线性动态电路,2）电路中储能元件的等效叠加,四、线性动态电路叠加定理与线性电阻电路叠加定理的关系,若把动态元件的初始值也看成一种输入，则线性动态定理叠加定理与线性电阻定理叠加定理是一致的。,线性动态电路的叠加定理告诉我们：叠加的方法同样可以用来分析动态电路。,例1 下图所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关断 开，求t0的电感电流iL(t)和电感电压uL(t)。,iL(0+)=0.25A,解：在t0时，电阻R1被开关短路，电感电流的初始值为,在t0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程为,其全解为,式中,代入上式得到,代入初始条件,其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过(45)的时间，即经过(810)ms 的过渡时期，就达到了稳态。,于是,可以得到,电感电流iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电流iL(t)的零输入响应为,电感电流iL(t)的零状态响应为,iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和,电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求得,例2 电路如下图(a)所示。已知 uC(0-)=4V，uS(t)=(2+e-2t)V，求电容电压uC(t)的全响应。,解：将全响应分解为(零输入响应)(2V电压源引起的零状 态响应)(e-2t电压源引起的零状态响应)。现在分别计 算响应的几个分量然后相加得到全响应。,首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件,图8-19,1.求电路的零输入响应见图(b)电路,求得,列出齐次微分方程和初始条件,2.求2V电压源引起的零状态响应见图(c)电路,由此求得,列出微分方程和初始条件,3.求2e-2tV电压源引起的零状态响应见图(d)电路,其解为,图8-19,列出微分方程和初始条件,由此求得,代入上式,代入初始条件，t=0时，,最后求得零状态响应,由此得到K=1,设，并将它代入到式821所示微分方程中可以得到,4.最后求得全响应如下,其实本题最简单的解法是？,7 6 三要素法,一、问题的提出,当一阶电路的输入为直流电压或电流时，电路的分析有简单的方法三要素法。,任何一阶电路可化为图(a)的形式，在简化为(b)的形式。当uoc=U为直流时，其完全解为：,其中uc(0)为电容电压的初值，uc(）为电压的终值。因此完全解uc(t)取决于三个要素，即初值uc(0)，终值uc(）和时间常数。,当动态元件为电感时，典型一阶电路如(b)，其完全响应如右式。可见电感电流的完全响应也取决于三个要素：初值iL(0)，终值iL()和时间常数。,除状态变量的完全解有这样的形式外，其它变量的完全解是否也有这样的形式，即取决于三个要素？,二、三要素法：,对于直流激励下的一阶电路，各支路的电压或电流的完全响应x(t)取决于如下三个要素：,初始值,稳态值,时间常数,即：,Note here！,三、三个要素的求法,1.初始值 x(0+),1）求出电路的状态变量uc(0)和iL(0)；2）用电压为uc(0)的电压源或电流为iL(0)的电流源置换电路中的电容或电感，得到直流电阻电路，可求得x(0+)。,2.求稳态值 x(),画 t=时的等效电路：将 t 0 时电路的电容开路，或电感短路，作直流分析，求出 x()。,3.求时间常数,先求输出电阻R0，,=R0C,先求 R0,例1：已知 t 0 时电路已处于稳态，求 uC(0+),i1(0+),i2(0+)。,2.再求 i1(0+),i2(0+)：,画t=0+等效电路,解：1.先求 uC(0)：,画t=0等效电路,例2,已知 t 0 时电路已处于稳态，求 i1(0+),iL(0+),uL(0+)。,1,4,t=0,iL,+,_,uL,i1,+,_,10V,0.1H,解：1.先求 iL(0)：,推知 iL(0+)=iL(0)=2A,2.再求 i1(0+),uL(0+),例3 图(a)所示电路处于稳定状态。t=0时开关闭合，求：t0的电容电压uC(t)和电流i(t)，并画波形图。,解：1.求uC(0+),2.求uC()，电容开路，运用叠加定理求得,3.求：计算与电容相连接的电阻单口网络ab 的输出电阻，它是三个电阻的并联：,a,b,4.代入三要素一般表达式,求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得,也可以用叠加定理分别计算2A电流源，10V电压源和电容电压uC(t)单独作用引起响应之和,由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到,值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是t0，而不是t0。,电阻电流i(t)还可以利用三要素法直接求得,例4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关S由1端接至2端，求：t0时的电感电流 iL(t)，电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压uL(t)。,解：1.求iL(0+)：开关转换前，电感相当于短路,2.求iL()：,3.求：,4.计算iL(t)，uL(t)，i2(t)和i3(t)。,例5：图(a)所示电路，在t=0时闭合开关，求：电容电压 uC(t)和电流i2(t)的零状态响应。,解：开关闭合后，与电容连接的单口网络用图(c)所示的戴维南等效电路代替，其中,用外施电源法求图(b)单口网络的输出电阻Ro,时间常数为,代入三要素公式得到,从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t),本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一阶电路，可以用三要素法来计算。对于这一类电路，我们可以按照开关转换的先后次序，从时间上分成几个区间，分别用三要素法来求解电路的响应。这就是所谓的子区间分析法。,7-8 子区间分析法,例1 下图（a）所示电路中，电感电流iL(0-)=0,t=0时，开关S1闭合，经过0.1s，再闭合开关S2，同时断开S1。试求电感电流iL(t)，并画波形图。,解：1.在0t0.1s时间范围内响应的计算 S1闭合后，iL(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解,2.在t0.1s时间范围内响应的计算,此后的电感电流属于零输入响应，iL()=0。,仍然用三要素法，先求t=0.1s时刻的初始值。,根据三要素公式（825）得到,在此时间范围内电路的时间常数为,电感电流iL(t)的波形曲线如图(b)所示。在t=0时，它从零开始，以时间常数1=0.1s确定的指数规律增加到最大值0.316A后，就以时间常数2=0.0667s确定的指数规律衰减到零。,图8-25,例2 下图(a)所示电路中，开关断开已经很久，t=1s时 开关S闭合，t=2s时开关S重新断开，试求t0电容电 压uC(t)和电阻电压uo(t)。,图8-26,解：本题要求计算电容电压和1.6k电阻电压，先将电路 其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关S断开和 闭合时的等效电路如图826(b)和(c)所示，再从时间 上分段计算。1.1st2s区间内响应的计算 根据,得到电容电压为,2.t2s区间内响应的计算,得到,用三要素法也可以求出电压uo(t)，读者可以检验以下计算结果是否正确。,画出uC(t)和uo(t)的波形如图(d)和(e)所示。,例3 电路如图(a)所示，独立电流源的波形如图(b)所示，求电感电流的响应，并画出波形曲线。,解：按照波形的具体情况，从时间上分三段用三要素法求 电感电流的响应。,1.t0,iS(t)=0，由此得到,(2)计算稳态值iL(),(3)计算时间常数,(4)利用三要素公式得到,2.0t1ms,iS(t)=10mA,图8-29,(1)计算初始值iL(0+),3.1mst,iS(t)=0,(2)计算稳态值iL(),(3)时间常数相同，即,(4)根据三要素公式得到,图8-29,(1)计算初始值iL(1ms+),解：(一)当 T 时,例4：已知 uC(0)=0 和uS(t),求 uC(t),t 0,(二)当 T 或 T 时,7 7 阶跃函数和阶跃响应,二、阶跃函数的作用：1)代替开关,2)分段常量信号可表示为一 系列阶跃信号之和,三、阶跃响应,定义：电路在阶跃信号作用下的零状态响应。,=RC,四、阶跃响应的应用,对于线性时不变系统（电路），具有以下性质：1）比例性：设系统的输入为x(t)，输出为y(t)，即：x(t)y(t)，则：x(t)y(t)，为常数；2）叠加性：若：x1(t)y1(t)，x2(t)y2(t)，则：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)3)时移不变性：x(t-t0)y(t-t0)。,比例性的表现,US,时移不变性的表现,对于线性时移不变电路，当其激励为直流或分段直流时，可以表示为：,则电路的零状态响应为：,其中u(t)为电路的阶越响应，即：,例1：已知电路的激励波形p(t)，求响应uC(t)。,解一：uC(0)=0 0-t0 充电 t t0 放电,p(t),o,t0,t,US,例2 已知：uS(t)=5(t2)V，uC(0)=10V,t 0,求：uC(t),i(t),t 0,解：,零输入响应：,us(t),t(s),2,3.68,零状态响应：,完全响应：,小结与习题课：,1、一阶电路分析的根本方法分解的方法：把电路分解为动态元件纯电阻单口网络；把纯电阻单口化为最简的形式；布列化简后一阶电路的状态变量的微分方程，并解出状态变量；利用置换定理求其它变量。,本方法对输入输出无要求。,2、一阶电路分析的三要素法：电路响应的形式均由三个要素决定：,初始值,稳态值,时间常数,即：,当电路的激励为直流时才可以用三要素法。,3、一阶电路分析的子区间分析法：当电路的激励为分段直流时，可用子区间分析 法；按激励的情况分段处理，每段用三要素法处理。,4、利用阶跃响应求电路的零状态响应：当电路的激励为分段直流时，可用本方法。,例1 已知 NR 是只含电阻的电路，并知 uC的单位阶跃响应为：,V,求：在同样的激励情况下，若 uC(0)=2V 时的 uC(t)和 uR(t)。,V,例2 图示RC分压器电路模型，试求输出电压 uC2(t)的阶跃响应。,解：由于将图(a)电路中的电压源用短路代替后，电容C1 和C2并联等效于一个电容,现在计算初始值uC2(0+)。在t0时，(t)=0，电路处于零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。在t=0+时刻，两个电容电压应该满足以下KVL方程,上式说明电容电压的初始值要发生跃变。为了计算出uC2(0+)，需要应用电荷守恒定律，即在跃变的瞬间一电容所失的电荷必为另一电容所得,在t0时，该电路是由1V电压源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。当t电路达到直流稳态时，电容相当开路，输出电压的稳态值为,用三要素公式得到输出电压的表达式为,由上可见，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我们改变电容C1可以得到三种情况：当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿；当R1C1R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿。,