积分期末复习经典.ppt

,一、求积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,微积分II总复习,三、二重积分的计算,四、级数的敛散性与求和,五、求解微分方程,2010级20110607,一、求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第六章,一、求不定积分的基本方法,1.直接积分法,通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.,2.换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换:),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.分部积分法,使用原则:,1)由,易求出 v;,2),比,好求.,一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为,计算格式:列表计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多次分部积分的 规 律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,快速计算表格:,特别:当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便.,例1.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例3.求,解:,原式,分部积分抵消,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设,解:,令,求积分,即,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.求,解:取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:此法特别适用于,如下类型的积分:,例7.设,证:,证明递推公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.求,解:,设,则,因,连续,得,得,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即,因此,故,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,1.一般积分方法,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.需要注意的问题,(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合,使用各种基本积分法,简便计算.,因此不一,定都能积出.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,例10 求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11 求,解:令,比较同类项系数,故,原式,说明:此技巧适用于形为,的积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.,解：,因为,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,求不定积分,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、与定积分概念有关的问题的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,第七章,一、与定积分概念有关的问题的解法,1.用定积分概念与性质求极限,2.用定积分性质估值,3.与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 求,解:因为,时,所以,利用夹逼准则得,例2,估计下列积分值,解:因为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 证明,证:令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,明对于任何,例5,解：,且由方程,确定 y 是 x 的函数,求,方程两端对 x 求导,得,令 x=1,得,再对 y 求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例6,求可微函数 f(x)使满足,解:等式两边对 x 求导,得,不妨设 f(x)0,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意 f(0)=0,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7 求多项式 f(x)使它满足方程,解:令,则,代入原方程得,两边求导:,可见 f(x)应为二次多项式,设,代入 式比较同次幂系数,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2.注意特殊形式定积分的计算,3.利用各种积分技巧计算定积分,4.有关定积分命题的证明方法,思考:下列作法是否正确?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8 求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10 选择一个常数 c,使,解:令,则,因为被积函数为奇函数,故选择 c 使,即,可使原式为 0.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12 若,解:令,试证:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,对右端第二个积分令,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13 证明恒等式,证:令,则,因此,又,故所证等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,证明:令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0,从而不变号,因此,故所证等式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知,存在一点,思考:本题能否用柯西中值定理证明?,如果能,怎样设辅助函数?,提示:,设辅助函数,例15 目录 上页 下页 返回 结束,例15,设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,(1)在(a,b)内 f(x)0;,(2)在(a,b)内存在点,使,(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:(1),由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.,所以f(x),在(a,b)内单调增,因此,(2)设,满足柯西中值定理条件,于是存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,(3)因,在a,上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例16 设,证:设,且,试证:,则,故 F(x)单调不减,即(*)成立.,(*),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.定积分的几何应用,平面图形面积、,旋转体体积,2.基本方法:,微元分析法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的应用,第七章,例1 求抛物线,在(0,1)内的一条切线,使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x,y 轴的交点分别为,所指面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且为最小点.,故所求切线为,得 0,1 上的唯一驻点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1)求函数,(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体,解:(1),由方程得,面积为 2,体积最小?,即,故得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,(2)旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时 V 取最小值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,一、基本概念,连续性,偏导数存在,可微性,1.多元函数的定义、极限、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2.几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 已知,求出 的表达式.,解法1 令,即,解法2,以下与解法1 相同.,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1.分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数=变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2.正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3.利用一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导,得,有一阶导数或偏导数,求,(99 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,方程两边求微分,得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 设,有二阶连续偏导数,且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,1、设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、设,求,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解出 du,dv：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入即得,代入即得,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,(2001考研）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.设,三、多元函数微分法的应用,极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法(消元法,拉格朗日乘数法),求解最值问题,最小二乘法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则 P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、二重积分计算的基本方法,二、二重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八章,二重积分的计算及应用,一、二重积分的累次积分法,1.选择合适的坐标系,使积分域成为由平面曲线围成的区域;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2.选择易计算的积分序,积分域分块要少,累次积分易算为妙.,图示法,列不等式法,(从内到外:面、线、点),3.掌握确定积分限的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、计算二重积分,其中D 为圆周,所围成的闭区域.,提示:利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,2、,计算积分,其中D 由,所围成.,提示:如图所示,连续,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1.交换积分顺序的方法,2.利用对称性简化计算,3.消去被积函数绝对值符号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、证明:,提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,例1 计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 计算二重积分,在第一象限部分.,解:(1),两部分,则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)提示:,两部分,说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、二重积分的应用,1.几何方面,面积(平面域),证明某些结论等,2.其它方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,证明,证:左端,=右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数的收敛、求和与展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十章,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,时为数项级数;,时为幂级数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、判别下列级数的敛散性:,提示:(1),据比较判别法,原级数发散.,因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,利用比值判别法,可知原级数发散.,用比值法,可判断级数,因 n 充分大时,原级数发散.,用比值判别法可知:,时收敛;,时,与 p 级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛.,时发散.,发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、设正项级数,和,也收敛.,提示:因,存在 N 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛,证明级数,当n N 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),P 1 时,绝对收敛;,0 p 1 时,条件收敛;,p0 时,发散.,(2)因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛.,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,单调递减,且,但,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz判别法知级数收敛;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,所以原级数绝对收敛.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径 R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,求下列级数的敛散区间:,练习:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:(1),显然 x=0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然 x=0 时,和为 0;,根据和函数的连续性,有,x=1 时,级数也收敛.,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:原式=,的和.,求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.将函数,展开成 x 的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.函数的幂级数展开法,2.设,将 f(x)展开成,x 的幂级数,的和.(01考研),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第九章,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,(1)变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,(2)积分因子法 选积分因子,解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法 1 这是一个齐次方程.,方法 2 化为微分形式,故这是一个全微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 求下列方程的通解:,提示:(1),令 u=x y,得,(2)将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令 y=u t,(齐次方程),令 t=x 1,则,可分离变量方程求解,化方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(03考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,练习题:,1、求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,2、求下列微分方程的通解(只考虑方法及步骤):,提示:令 u=x y,化成可分离变量方程:,提示:这是一阶线性方程,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:可化为关于 x 的一阶线性方程,提示:为全微分方程,通解,微分倒推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示:令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程,利用个性确定定解条件.,关键问题是正确建立数学模型,要点:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:能否根据草图列方程?,练习题:,1、已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,提示:设曲线上的动点为 M(x,y),令 X=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第九章,一、两类二阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、求以,为通解的微分方程.,提示:由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,2、求下列微分方程的通解,提示:(1)令,则方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若(2)中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、求解,提示:令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根:,例1 求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解:,代入方程定 A,B,得,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:设,提示:对积分换元,则有,解初值问题:,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)试将 xx(y)所满足的微分方程,变换为 yy(x)所满足的微分方程;,(2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解:,上式两端对 x 求导,得:,(1)由反函数的导数公式知,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原微分方程得,(2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,题 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,补充题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解.,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,再积分得通解,复习:一阶线性微分方程通解公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,(1)验证函数,满足微分方程,(2)利用(1)的结果求幂级数,的和.,解:(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(02考研),所以,(2)由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入初始条件可得,故所求级数的和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,