积分与其路径的无关性.ppt

1,例：求 其中 为整数解：的参数方程为：，于是 有,2,解,例 5,(1)积分路径的参数方程为,y=x,3,(2)积分路径的参数方程为,4,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,5,注意1,这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系？,6,观察上一节最后两例题后发现：有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分路径的形状还有关前一类函数是解析函数知道 f(z)=1也是解析函数，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关由此，我们可提出猜想：解析函数的积分只依赖于积分路径的起点与终点，而与积分路径的形状无关,7,3-2 积分与其路径的无关性,一、复积分与其积分路径无关的条件二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用三、复闭路定理和闭路变形原理,8,命题1 设 和 在单连域D内连续，积分路径C在D内，且记，则该积分与在D内的积分路径无关的充要条件为对D内的任何闭路C其积分值I=0。,9,命题2 设 和 在单连域D内具有连续的一阶导数 和，且满足条件则对D内的任何简单闭路C有,10,1.Cauchy积分定理,首先介绍高等数学中的Green定理:,11,柯西积分定理,说明：该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；它是复变函数理论的基础。,12,试着证明 Cauchy 积分定理:,由Green公式,该定理的证明如此简单？,13,改进的Green定理:,1925年 Cauchy 建立该定理时，对 u,v 加了导数连续性条件；Gaursat 去掉了导数连续性的假设。,14,Cauchy 积分定理的证明:,由改进的Green公式,15,注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界,注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.,16,注意3 定理的条件必须是“单连通区域”.,注意4 定理不能反过来用.,17,解,例 1,根据Cauchy积分定理,有,18,例 2,解,根据Cauchy积分定理得,19,20,一、复积分与其积分路径无关的条件,定理1 Cauchy积分定理,若函数 在简单闭曲线C上及其内部解析，则一定有,Cauchy-Goursat基本定理,若 在单连域D内解析，则对D内的任何闭路有,21,定理2 复积分与其积分路径的无关性,若函数 在单连域D内解析，则它在D内从定点z0到动点z的积分值与在D内所取路径无关，而只与动点z有关。,D内积分值为z的单值函数,可简记为：,(3-2-1),22,例 计算积分,解 因为 均在复平面上解析，所以，它们的和在一包含积分路径 的单连通区域G内解析，而积分路径 是围线，所以，由定理得,显然，该例所用方法是最简单的,23,1.原函数的概念,原函数之间的关系:,二、解析函数的原函数和在积分计算中的应用,24,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:,证,25,类似于高等数学的结果，可以得到,由此结论可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,即：,26,27,28,2.Newton-Leibniz 公式,说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算.,29,证,根据 Cauchy 积分定理,30,例1,解,例2,解,31,例3,解,32,例4,解,利用分部积分法可得,33,三、复闭路定理和闭路变形原理,问题：如果G是复连通区域，那么，定理是否仍然有效？,34,那末,35,证明,36,37,当 n 为其它值时，可同样证明。,38,特殊情况：闭路变形原理,由复合闭路原理,这就是闭路变形原理,39,解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,在变形过程中曲线不经过函数 f(z)的不解析的点.,说明：,40,意义,1.揭示了解析函数的一个性质在一定条件下，解析函数沿复连通区域边界的积分等于零；2.提供了一种计算函数沿围线积分的方法,闭路变形原理：解析函数积分的积分路径作不经过被积函数奇点的连续变形，其积分值保持不变。,41,3.典型例题,例1,解,依题意知,42,根据复合闭路原理,43,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合原理,44,例3,解,45,故,这一结果很重要。,46,先观察等式 与 的左端与右端的特征，再寻找将它的变形后的等式的左端与右端的联系后，发现，它们均满足 于是，我们可提出下面的问题来研究：等式 对于 来说，是否是必然规律？积分基本公式对此作了回答,