概率论课件第六章.ppt
希腊字母,第六章,样本及抽样分布,二、抽样分布,一、随机样本,100个样品进行强度测试，于是面临下列几个问题：,1、估计这批合金材料的强度均值是多少?,(参数的点估计问题）,2、强度均值在什么范围内？,(参数的区间估计问题）,3、若规定强度均值不小于某个定值为合格，那么这,批材料是否合格？,(参数的假设检验问题）,4、这批合金的强度是否服从正态分布？,5、若这批材料是由两种不同工艺生产的，那么不同,(分布检验问题）,例如某厂生产一型号的合金材料，用随机的方法选取,的工艺对合金强度有否影响？,若有影响，那一种工艺,生产的强度较好？,(方差分析问题）,6、若这批合金,由几种原料用不同的比例合成，那么,如何表达这批合金的强度与原料比例之间的关系？,(回归分析问题）,我们依次讨论参数的点估计、区间估计、假设检验。,下面首先引入一些数理统计中的基础知识。,随 机 样 本,第六章,第一节,一、总 体,二、样 本,一、总体,研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。,总体中每个研究对象(元素)称为个体(样品)。,一个统计问题总有它明确的研究对象。,例如：测试矿大全体男生的身高；,总体,有限总体,无限总体,总体可以用一个随机变量 X 及其分布来描述。,此总体就可以用随机变量X 或其分布函数,例如，研究某批灯泡的寿命时，,这批灯泡中每个,灯泡的寿命是我们所关心的指标.,表示.,二、样本,样本：在总体中抽取的部分个体。,样本容量：样本中所含个体的数目n。,定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：,代表性：样本的每个分量,与总体X 有相同的,分布函数；,独立性：,为相互独立的随机变量，,满足以上条件的样本,称为来自总体,X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。,样本的一次具体实现,称为样本值。,联合分布函数为,联合概率密度为,例题：设X1,X2,X3是来自正态总体N(75,100)的样本,求：,解：注意到X1,X2,X3是相互独立的，并且服从N(75,100)，而X12,X22,X22也是相互独立的，从而有,抽 样 分 布,第六章,第二节,一、统计量的定义及常用的统计量,二、几种常用的分布,三、正态总体统计量的分布,的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信,这种不含任何未知参数的样本的函数称为统,由样本值去推断总体情况，,需要对样本值进,行“加工”，,这就要构造一些合适的依赖于样本,计量。它是完全由样本决定的量.,息集中起来。,一、统计量的定义及常用的统计量,定义1 设,是来自总体X 的一个样本，,为一实值连续函数，,其不包含任何,未知参数，则称,为一个统计量。,为,的观测值。,注：,仍为随机变量。,是一个数。,例如 总体,是一个样本，,则,均为统计量。,当,未知时，,均不是统计量。,当,已知时，其为统计量。,下面介绍几种常用的统计量,1、样本均值,2、样本方差,设,是来自总体X 的一个样本，,它反映了总体X 取值的平均值的信息，常用来估计EX,3、样本标准差,4、样本k 阶原点矩,5、样本k 阶中心矩,它反映了总体 k 阶矩的信息。,可见,它们的观察值分别为：,例1 设总体X 的数学期望为,其样本为,记为,1.定义 设,相互独立,都服从正态,分布N(0,1),则称随机变量：,所服从的分布为自由度为 n 的,分布.,分布,(一),二、几种常用的分布,分布的密度函数为,来定义。,通过积分,其中伽玛函数,分布的密度函数,单击可播放电影,由 分布的定义，不难得到：,相互独立,都服从,则,(1)设,2.性质,正态分布,证明 因为,所以,又 X1,X2,Xn 相互独立，,且 X1,X2 相,这个性质叫 分布的可加性。,(2)设,互独立，则,也是相互独立的。,则可以求得，E(X)=n,D(X)=2n,(3)若,证明,，则,所以,应用中心极限定理可得，,的分布近似正态分布N(0,1)。,(4)c 2 分布的分位点,称满足条件,分位点.,为,分布的上,的点,对于给定的正数,查表可得,记为 Tt(n)。,所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布.,1.定义:,设XN(0,1),Y,则称变量,且X与Y,相互独立，,（二）t 分布,T 的密度函数为：,单击可播放电影,（1）具有自由度为n的t分布的随机变量T的,（2）t 分布的密度函数关于x=0 对称，,2.性质,E(T)=0;D(T)=n/(n-2),对n 2,数学期望和方差为:,当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布,密度函数的图形。但对于较小的 n，t 分布与,N(0,1)分布相差很大。（138页）,（3）t 分布的分位点,对于给定的正数,，称满足条件,分位点。,为,分布的上,的点,1.定义:设,X与Y相互,独立，则称统计量,服从自由度为,（三）F 分布,n1及 n2 的F分布，,记作F F(n1,n2)。,即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,(2)X的数学期望为:,若 n2 2,(1)由定义可见，,F(n2,n1),2.性质,若 n2 4,(3)F 分布的分位点,对于给定的正数,称满足条件,分位点.,分布的上,的点,为,证明:设,由定义,又因为,故,统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！,例1 设总体X,Y 相互独立,其样本为,试求统计量,服从什么分布？,解 由已知得,所以,例2 设总体X 服从正态分布,，其样本为,解 由已知得,所以,故,例3 已知总体X 服从自由度为n 的 t 分布，求证：,解 由已知得,其中,故,所以,还能得,1、单个正态总体的统计量的分布,定理 1,设 X1,X2,Xn 是取自正态总体,的样本，,分别为样本均值和样本方差，则有,相互独立,三、正态总体统计量的分布,定理2 设总体X 服从正态分布,是X 的样本，,分别为样本均值和样本方差，则有,证明：因为,是样本,的线性组,合，故,，标准化后可得,又因为,相互独立，所以,也相互独立，则由t 分布的定义得,2、两个正态总体的统计量的分布,定理 3,设 X1,X2,Xn1 与Y1,Y2,Yn2分别是来自,正态总体,的样本，并且这两个样,本相互独立，记,则有,当,时,其中,总体,样本,统计量,描述,作出推断,随机抽样,这一讲，我们介绍了数理统计的基本概念.,熟记内容，灵活应用！,例4 设总体X 服从正态分布,，其样本为,解 由已知得,，得,例5 设总体X 服从正态分布,，其样本为,解 由已知得,查表,例6 设总体X 服从正态分布,，其样本为,解 因为,例7 设总体X 服从正态分布,，其样本为,解 由已知得,所以,标准化得,又因为,故,例8 设总体X,Y 相互独立,其样本为,试求以下概率,解 由已知得,则,所以,作业17,18,175页 2、3、4 6、7,
