概念曲线切向量.ppt

1,10.2,第二型曲线积分,第十章,三、对坐标,二、对坐标,的曲线积分,的概念与性质,的曲线积分,的计算法,一、基本概念,2,方向,规定了,叫有向曲线,的曲线,一、基本概念,曲线,切向量:,单位,切向量:,弧微分,其中,同样,若记,则,3,空间,变力,二、对坐标,的曲线积分,的概念与性质,沿曲线,从点,将质点,移动到,点,所作的功.,特别,常力,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,解决办法:,沿直线,所作的功,或第二类曲线积分,对坐标的曲线积分,对弧长的曲线积分,或第一类曲线积分,4,平面,变力,沿曲线,从点,将质点,移动到,点,所作的功.,或第二类曲线积分,对坐标的曲线积分,5,性质,(1)若,(2)用L 表示,则,则,L 的反向曲线,L=,L1+L2,6,三、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,L 的参数方程为,则,特别若,L：,则,第一步:,将曲线方程,代入,被积函数,变成定积分,第二步:,或二重积分,或曲面积分,方法一:,变成定积分,7,193页3.,设L为xoy面内,直线,x=a,的一段,证明,证,所以,193页4.,设L为xoy面内,的一段直线，,x 轴上,从点(a,0),到点(b,0),证明,证,L：,相当于一元函数 P(x,0),从 a 到 b的定积分。,8,例1.计算,其中L 为沿抛物线,解法1,解法2,从点,的一段.,取 x 为积分变量,取 y 为积分变量,则,则,9,例2.计算,其中 L 为,(1)半径为a,上半圆周,(2)从点 A(a,0),解:,(2)L 的方程为,则,则,方向为逆时针方向,沿 x 轴,圆心在原点的,到点 B(a,0).,(1),或L的,参数方程为,10,计算,其中L为,(1)直线,(2)抛物线,(3)立方抛物线,解:,(2)原式,(3)原式,(1)原式,上从,到,那一段,193页1（2）,11,练习.计算,其中L为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:,(2)原式,(3)原式,(1)原式,12,空间曲线:,则,13,例3.求,其中,从 z 轴正向看,解:,为顺时针方向.,取 的参数方程,14,例4.设在力场,作用下,沿移动到,解:(1),(2),试求力场,其中为,A,R,B,质点由,的参数方程为,对质点,所作的功.,15,设在,194页9,椭圆,上，,每一点,都作用力,其大小,等于,从,到椭圆,中心,的距离,方向,指向,椭圆,中心，,今有,一质量为,的质点,在椭圆,沿逆时针,移动，,求,（1）,经过,第一象限,的椭圆弧段时，,所作的功,（2）,走遍,全椭圆时，,所作的功,解,（1）,（2）,16,1.定义,2.性质,内容小结,(1)若 L=L1+L2,则,(2)用L 表示 L 的反向弧,则,对坐标的曲线积分,必须注意积分弧段的方向!,17,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,18,4.两类曲线积分的联系,3.对空间光滑曲线弧:,有,19,作业,193页习题102,20,O 的距离成正比,设一个质点在,处受,垂直且与 y 轴夹锐角,沿椭圆,此质点由点,按逆时针方向移动到,解:,则,且,备用.,