固体能带论基础.PPT
第1.3章 固体能带论基础,“能带理论”:是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础。,在量子力学运动规律确立以后，用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的。,定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性特点。如在能带论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别，晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子间的间距等。,正在这个时候，半导体开始在技术上应用，能带论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有力地推动了半导体技术的发展。,正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。,“能带理论”:是一个近似的理论。在固体中存在着大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电子的运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子系统严格的解显然是不可能的。,“能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。,在大多数情况下，最关心的是价电子，在原子结合成固体的过程中价电子的运动状态发生了很大的变化，而内层电子的变化比较小，可以把原子核和内层电子近似看成是一个离子实。这样，价电子的等效势场，包括离子实的势场，其它价电子的平均势场以及考虑电子波函数反对称而带来的交换作用。,单电子近似最早用于研究多电子原子，又称为哈特里-福克(Hartree-Fuck)自洽场方法。,多电子问题,一、量子力学处理晶体中电子问题的思路,电子云重叠：相邻原子的电子云重叠，重叠区域中出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻原子或整个晶体共有。,晶体是由大量原子有规则地排列形成的,晶体中包含着大量的离子,如正离子和电子,它们之间存在着相互作用。,各离子的库仑势场迭加形成周期势场，这个势场是由一系列势垒组成的。,隧道效应：,各离子的库仑势场迭加形成周期势场，这个势场是由一系列势垒组成的。,根据势垒贯穿理论，某个原子的价电子由于隧道效应可以穿透势垒而进入另一个原子，这样，价电子就不再分别属于单个原子了，而被整个晶体的原子所共有，这就是价电子的共有化。,电子共有化是一种量子效应。通常所说的自由电子就是指共有化电子。,二、固体中电子波函数-布洛赫定理,实际上,电子是在规则排列的离子形成的周期势场中运动.,考虑到周期势场的作用,伴随电子运动的概率波将会遭遇周期势垒的反射,电子运动的波函数不可能是严格的势阱中的自由电子波.,1928年量子力学刚建立,布洛赫(Bloch)根据势函数的周期性,一般地证明一维晶体中电子波函数应具有以下特殊形式:,这一结果称为布洛赫定理,金属自由电子模型,把电子的运动看成是在离子正电荷背景下自由运动,用平面波 描述.,证明布洛赫定理,势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即,则:,于是有,用 乘两边,得到,得:,定理得证,这反映了晶体中的电子既具有为整个晶体共有化的倾向,又具有受到周期势限制的特点。,布洛赫定理将在求解电子在周期势场中运动的薛定谔方程中用到。,三、晶体中电子运动的薛定谔方程和求解,势能函数：克朗尼克潘纳模型(Kronig-Penney),由方势阱、方势垒周期排列组成的周期势去近似一维晶体中实际作用于电子的周期势。,是与晶格常数相应的势的周期，,是势垒高度。,在 区间，势函数：,周期势函数可表示为：,方程在各自区域的一般解分别为:,将 表示式代入四个方程,得到关于 的线性齐次方程组,有非零解的条件是系数行列式等于零.将系数行列式化简,可以得到,依赖能量,上述方程就是晶体中电子能量本征值的方程.,原则上,解这个方程就可得到电子能量本征值,代入前面的方程,解出 就可求出相应的波函数.,下面我们更关心的是电子能量的可能取值.,可得:,注意到 是实数,有:,这表明,只有一定范围内的能量取值才是允许的,这就形成了所谓能带结构.,四、能带结构,是个超越方程,通过直接求解它说明具体的能带结构十分困难.,考虑上述周期势的一种极限情况:,假设势垒宽度趋于零,势垒高度趋于无限大,但仍保持 有限的情况,在这种情况下,可令,在此极限条件下,从而,可以用做图法确定能量的取值范围.首先做出函数的曲线,可能取值范围:黑线,只能在一些离散区间上取值,也就是说,允许值被不允许值的区间分隔为一段一段的,因此能量的允许值也被不允许值的区间分隔为一段一段的。允许取值的能量区间称为允许能带，简称允带，而不允许取的能量区间称为禁带。,晶体中电子能量形成能带结构,的数值表达了电子被原子束缚的程度，越大，束缚程度越大，相应的能带越窄。,2 能带宽度随电子能量增加而增加。电子能量较低时，受某个原子的束缚就紧些，受其它原子的影响就较小，该电子共有化程度就较低，近乎于孤立原子中的电子，其能带的宽度就较窄。,3 在 等于 的整数倍时，能量发生了跃变。,五、每一能带中可能量子态数目,对一维晶体,存在周期性边界条件:,为原胞数。,根据布洛赫定理，有,与上式比较，得,则 必须满足条件,即,这说明 只能取分立值。由于每一个 值对应一个量子态，,所以在 范围内量子态的数目为：,又因在一个能带内，的范围是：,所以在一个能带内量子态的数目为：,即每一个能带内量子态的数目等于组成晶体的原胞数。这个结论对三维晶体也是成立的。,在宏观晶体中，原胞数目 一般是很大的，因而每个能带内包含的量子态数及相应的能级数也就很大，一个能带中各个能级彼此非常靠近，有时称为准连续的。,六.固体能带与原子能级,设想组成晶体的N个原子原来都是孤立存在的，都处于某一能级，具有相同的能量，当它们靠拢来形成晶体时，每个原子中的电子不仅受到本身正离子或原子核的作用，还要受到其它正离子或原子核的作用，这些相互作用都具有相应的能量，电子原来（原子孤立时）的能量状态就发生了改变，原来的一个能级就分裂为非常接近的N个。,原子能级分裂成能带。如图。,能带是从原子能级分裂（或称展宽）而成的，因此表示能带时常沿用分裂前原子能级的名称，如 带,电子在能带中是如何分布的：角量子数为 的能级，磁量子数可取 个不同的值，在N个原子形成晶体时就分裂成 个支能带（一般是互相重叠的），每个支能带可以容纳2N个电子，所以角量子数为 的能带中的能态数或最多可容纳电子数为,实际上，有的原子中的一些能级原来就相距很近，甚至上下交错，当形成晶体时，能带与能带之间往往互相重叠，这时原子的能级与能带间就不是简单的一一对应关系。,七.能带小结,电子云重叠：相邻原子的电子云重叠，重叠区域中出现的电子不能简单归属于某一特定母核，属于相邻原子或整个晶体共有。,1.形成能带的原因,隧道效应：一个原子中的电子有可能穿越势垒进入另一个原子，出现一批不受特定原子束缚的共有化电子。外层电子共有化趋向比内层电子更显著。,2)能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程 度增加而减少。,1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带 分开，原子数N变化时，能带宽度不变，密度变化。,5）不同能带有可能重叠,6）晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性结构，禁带中可能出现杂质能级。,八.导体，绝缘体，半导体的能带特征,以 l=0，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：,如果一个能带中所有能态都已被电子填满,这个能带就称为满带.,价电子所在的能级分裂成的能带称价带.价带可能是满带,也可能不是满带.未填满电子的能带称为导带.,1.导体的能带结构,1)价带为导带,例：Li,每个原子一个价电子（2s 态）,N个原子共有N个价电子,较低的能带都被填满,而较高的能带只部分被填满而成为导带,因此导电性能良好.,2)价带为满带，与相邻空带紧密衔接或部分重叠,3)价带为导带，又与空带部分重叠,2.绝缘体的能带结构,价带为满带，且与空带间的禁带较宽。,一般：从满带到空带激发微不足道，可以认为不存在导带。,当外来激发使较多电子越过禁带进入空带时，绝缘体击穿，原空带,导带。,钠的最外层3s电子转移到氯的3p层而形成钠正离子和氯负离子,并且钠正离子的2p能级和氯负离子的3p能级都已为电子所填满,形成晶体时,相应的两个能带各为6N个电子所填满而表现为不导电.,以氯化钠为例:,因此用不大的热激发、光照或不太强的外加电场就可以使满带中的电子获得足够的能量跃迁到空带，使其成为导带。,“电子空穴”对为载流子,1)本征半导体（纯净半导体）,在外电场作用下导带中的电子和近满带中的空穴都可参与导电的半导体称为本征半导体，参与导电的电子和空穴称为本征载流子，这种导电性称为本征导电性。,2)n型半导体（四价元素中掺入五价元素）,实际半导体的导电能力可通过在纯净半导体中掺进杂质来控制,施主杂质:能给出电子的杂质,3)p型半导体（四价元素中掺入三价元素）,受主杂质:能接受电子的杂质,4）p-n结及其单向导电性,p-n结的形成及其对扩散的阻挡作用,电子能带弯曲，电势高处，电势能低。,p-n结的单向导电性,p-n 结的单向导电性,介绍：半导体的其它特性和应用,集成电路：,p-n结的适当组合可以制成具有放大作用的晶体三极管以及各种晶体管，制成集成电路、大规模集成电路、超大规模集成电路。,体积小，极易与光纤结合，成本低，制造方便，所需电压低(只需1.5V)，功率可达102 mW,p-n结本身就形成一个光学谐振腔,两个端面相当于两个反射镜,适当镀膜后可达到所要求的反射系数,形成激光振荡,并利于选频。,练习:已知晶格常数为 的一维周期势场中电子的波函数为:(1)(2)试求电子在这些状态中的波矢,并讨论波矢值是否唯一。(波函数应满足布洛赫定理),
