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第一章,1,2,引言,信息：语言、文字、图画、编码等。,消息：信息按一定规则组成的一组特定的符号,消息一般不便于直接传输，需借助转换设备，把各种不同的消息转换成便于传输的电的信号。,如用变化的电流或电压来代表语言的声音变化，就构成了语音信号，用变化的电流或电压来代表图象的色光变化就构成了图象信号,信号：是消息进行变换后的某种物理量。,带有信息的信号是信息传输技术工作的对象而信号的传输和处理离不开系统，一切信息的传输过程都可以看成是通信，完成该任务的系统就是通信系统如电报，电话，电视，雷达，导航等系统,通信系统的组成：,3,转换器：把消息转换成电信号或反之，如话筒和喇叭,信道：信号传输的通道，如导线，同轴电缆，光纤等,与信号传输技术同时发展起来的还有信号处理技术，包含信号的滤波，变换，增强，压缩等技术，广泛应用在多媒体通信，高清晰电视，数码相机，心电，脑电分析等,信号传输与信号处理技术除应用于通信领域外，还应用到其他许多技术领域，它们共同的理论基础之一是信号分析与系统分析主要研究信号的特性，系统的分析方法，实现系统各部分的电路及其对信号的作用等问题,本课程是信息学科的一门重要的技术基础课,4,一、信号的概念信号的定义信号的分类信号的特性,二、信号的简单处理信号的相加与相乘 信号的时移 信号的尺度变换与反褶,三、系统的概念系统的定义系统的功能系统的性质系统的类型,四、系统分析方法,5,一信号的概念,(一)信号的定义信号是带有信息（如语言、音乐、图象、数据等）的随时间（和空间）变化的物理量或物理现象，其图象称为信号的波形。信号的表示时间的函数f(t),(二）信号的分类 1.确定与随机信号随时间t变化规律划分为两类（1）确定信号 能够用确定的时间函数表示f(t)(2)随机信号 不能用确定时间函数表示干扰信号、噪声信号,6,2.连续与离散信号确定信号按时间连续性分两类（1）连续信号 对一切时间t（除有限个不连续点外）都有确定的函数值，这类信号就称为连续时间信号，简称连续信号。,在0和 t1处不连续即跳变 t=0 时跳变值为4 t=t1时跳变值为-3 f(t)=0,t0 有始函数,（2）离散信号 仅在不连续的瞬间tk有确定函数值f(tk),7,3.周期与非周期信号确定信号按函数值重复性分两类,tk=-1 0 1 2 3 4f(tk)=-1 2 3 4.5 1 6 tk+1 tk=T 均匀f(tk)=f(kT)f(k),（1）周期信号,在较长时间内(严格地说，无始无终)每隔一定时间T（或整数N）按相同规律重复变化的信号叫周期信号。连续：f(t)=f(t+mT)离散：f(k)=f(k+mN)（m=0,+1,-1,+2,-2,）,（2）非周期信号 不具有周期性的信号,8,4.能量和功率信号信号根据其能量特点分为三类,信号能量：,信号功率：,（1）能量信号 将时间间隔无限趋大时，总能量为有限值而平均功率为零的信号即能量有界（0E，P=0）则为能量有限信号，简称能量信号。,（2）功率信号 若信号的功率有界（即0P，E）则称为功率有限信号。,有的信号既不是能量信号，也不是功率信号！,9,例1 判断下列信号是否为能量信号或功率信号。,解：（1）,故是能量信号。,（2）是周期为的周期信号，其平均功率为,所以，是功率信号。,注意：一般情况下，周期信号都是功率信号。,10,（3）,故既不是能量信号，也不是功率信号。,11,(三）信号的特性,1.时间特性指信号随时间变化的快慢,周期T：描述同一形状的波形重复出现的时间的短或长。,脉冲持续时间、上升、下降时间：描述信号波形本身的变化速率,2.频率特性指信号的频谱,频谱：是表示信号频率分量的含量（也叫谐波含量）及其比重的一种方法。,12,一个复杂的信号可用傅立叶分析法把它分解为许多不同频率的正弦分量，如,（1）数学表达,（2）波形分解图表示频谱图：将信号每一频率分量的振幅An按角频率由低到高用线段排列起来形成的图称振幅频谱图，简称频谱图。简言之，频谱图是信号各频率振幅随频率变化的图形。,13,(3)频带每一信号的频谱都有一个有效的频率范围，这个范围称为信号的频带。,基波频率,脉冲持续时间、上升、下降时间决定信号的频带,14,二、信号的简单处理,(一)信号的相加与相乘如卡拉中演唱者的歌声与背景音乐的混合及影视动画中添加背景都是信号的叠加；通信系统中信号的调制解调、混频及频率变换等都用到信号相乘。,(二)信号的时移当信号经不同路径传输时，所用时间不同，从而产生时移。如电视图像出现的重影是由于信号传输的时移造成。,表示滞后于，其波形由右移得到。,表示超前于，其波形由左移得到。,15,(三)信号的尺度变换与反褶如录像带慢放时，信号被展宽；快放时，信号被压缩；倒放时，则信号被反褶。,若，则表示是由沿时间轴压缩而得到的。,若，则表示是由沿时间轴展宽而得到的。,若，则其波形可由沿纵轴反褶而得到。,若 且，则表示是由同时进行尺度变换和反褶得到的。,例2 给定信号，试画出下列信号的波形。,解：（1）将沿时间轴右移2即可得,，,16,（）将沿时间轴压缩2倍即得,（）将沿时间轴扩展2倍即得,（）先将沿纵轴反褶得到后，再沿时间轴右移1即得,（5）先将与相加得到一门函数，再与正弦信号相乘,17,输入信号 e(t)r(t)输出信号激励响应,三、系统的概念,（一）系统的定义,系统是指由若干相互关联、相互作用的事物按一定规律组合而成的具有特定功能的整体。,如：通信系统、微机控制的过程控制系统、经济、生态系统等,电子系统通常是电子线路,电路着重各支路、回路电流及各节点电压,系统着重输入、输出间的关系或运算功能上,（二）系统的功能,系统对输入信号进行“加工”、“处理”并发送输出信号。,18,（三）系统的性质,1.线性同时具备齐次性和叠加性（可加性）,齐次性：,叠加性：,线性：,2时不变性非时变性,如果系统的参数都是常数，它们不随时间变化，则称该系统为时不变（或非时变、定常）系统，否则，称为时变系统。,时不变特性表现为响应的形状不随激励施加的时间不同而改变，即,19,e(t)r(t)0 t 0 t e(t-t0)e(t)r(t)r(t-t0)0 t0 t 0 t0 t,若e(t)r(t)则e(t-t0)r(t-t0),线性非时变系统简称LTI系统（Linear Time Invariant）：,若 e1(t)r1(t),e2(t)r2(t)则 k1e1(t-t1)+k2 e2(t-t2)k1 r1(t-t1)+k2 r2(t-t2),20,3.因果性,激励是产生响应的原因，而零状态响应是激励引起的结果，因此称响应（零状态响应）不出现于激励之前的系统为因果系统。即,若 e(t)=0，t t0 则 r(t)=0,t t0,4.稳定性,当 e(t)时 r(t)（零状态响应）就称该系统是稳定的，否则称为不稳定的。,系统的稳定性是指对有界的激励，系统的零状态响应也是有界的，这常称为有界输入有界输出（BIBO）稳定，简称稳定。,21,（四）系统的类型,1.按线性特性分为线性系统和非线性系统,线性系统：由线性元件组成，且具有线性性质的系统,非线性系统：由非线性元件组成，不具备线性性质,3.按因果性分为因果系统和非因果系统,4.按稳定性分为稳定系统和非稳定系统,2.按非时变性分为非时变系统和时变系统,5.根据系统传输和处理的信号的性质分为连续时间系统和离散时间系统,混合系统：离散时间系统与连续时间系统联合运用，,如：数字通信系统和自动控制系统,6.按系统参数分为集总参数系统和分布参数系统,7.按系统是否含源分为无源系统和有源系统,22,8.按系统是否含有记忆元件分为记忆系统（动态系统）和无记忆系统（即时系统）,9.可逆系统和不可逆系统,一个系统如果在不同的输入下导致不同的输出就称该系统是可逆的，那么就有一个逆系统存在，当逆系统与原系统级联后就会产生一个输出等于第一个系统的输入，如,不可逆系统，如：r(t)=e2(t),本课程讨论线性非时变动态系统(包括连续时间系统和离散时间系统)的基本理论和基本分析方法。,23,中心问题：已知激励信号和系统求其响应,(一）信号分析,把一个复杂信号分解成简单的基本信号，通过对这些信号的分析而分析复杂的信号。,四、系统分析方法,1.时域法：分解成若干脉冲序列即冲激序列或阶跃序列卷积积分法,2.变换域法：频域法和复频域法（分解成不同频率的正弦信号或复数正弦信号）,(二）系统分析,建立表征系统的数学方程式（数学模型）并求解。,1.输入输出法：建立激励与响应的直接关系,24,连续系统：常系数线性微分方程,离散系统：常系数线性差分方程,2.状态变量法：不仅给出系统的响应，还揭示系统内部的数学结构,(1)状态方程描述系统内部状态变量与激励之关系,(2)输出方程描述系统的响应与状态变量以及激励之间的关系,课程内容与结构：第二、七章时域分析系统（连续和离散时间）第三、四、五、八章变换域分析（付氏变换、拉氏变换、Z变换）第六章系统函数与系统的稳定性第十一章状态变量分析,25,第二章,26,引言,LTI连续时间系统的分析：建立并求解线性微分方程,1时域分析法：在时间域内进行分析，即在分析过程中所涉及的函数的变量都是时间t特点：直观、物理概念清楚,例 如图电路，若要求回路电流，则由电路的基本定律，有,两边微分，得系统数学模型,此为一个二阶系统,27,2变换域分析法：为了便于求解微分方程而将时间变量变换成其它变量如频率（频域）等,古典解法：微分方程的解齐次方程的通解特解,齐次方程为,通解为：,自然响应（自由响应）,非齐次方程特解的形式由激励函数决定受迫响应,即（系统的）全响应自由响应受迫响应,此法适合于激励函数为直流，正弦或指数等简单形式的情况，复杂函数激励时，可用叠加积分法或变换域方法,全响应零输入响应零状态响应,28,一、用算子表示微分方程,（一）微分算子及其运算规则,(二）转移算子,二、奇异信号（函数）,(一）阶跃信号（函数）,（二）冲激信号（函数）,三、系统的零输入响应与零状态响应,（一）零输入响应与零状态响应的概念,(二）冲激响应和阶跃响应,四、卷积积分及其性质,五、LTI 连续时间系统的时域求解,29,（一）微分算子及其运算规则,引进算子,令微分算子,积分算子,于是,微分方程：,可写为：,或简化为：,一、用算子表示微分方程,30,讨论：,电容、电感的等效算子符号,对电感：,对电容：,感抗,容抗,引进p后，微分方程 代数方程，一般情况下，代数方程的运算规则也适用于算子方程，但有例外：,其一，对算子多项式可进行因式分解，但不能进行公因子相消，如：,31,其二，算子的乘除顺序不可随意颠倒，即,因为,(二）转移算子,n阶线性微分方程为：,即,但对于算子方程 两边的算子符号因子p不能消去。,32,则有,定义 转移算子,于是系统方程可写成：,令,求零输入响应时，此时方程为齐次方程：,算子形式的微分方程与其拉普拉斯变换式形式相似！,利用初始条件求解此方程即得零输入响应,33,A0 t0 t,1 0 t,(一）阶跃信号（函数）,1.单位阶跃信号（函数）,定义,2.延迟的阶跃信号（函数）,二、奇异信号（函数）,阶跃函数具有切除的作用！,34,1 0 t t,1 1 0=+-1,3.利用阶跃信号（函数）表示矩形脉冲,即,于是,若在一电容的两端施加一单位阶跃电压，则电容电流为：,35,矩形脉冲宽度为，高为，面积为,（1）,此极限情况即为单位冲激函数，记为。,定义：,或定义:,在 时，函数值均为零，在 处函数值为无限大，而脉冲面积为1。,即,（二）冲激信号（函数）,1.单位冲激信号（函数）,36,2.冲激函数的性质,（1）的抽样性质,(2)单位冲激函数的积分是单位阶跃函数,(3)单位阶跃函数的导数是单位冲激函数,延迟的单位冲激函数：,d(t-t0）（1）0 t0 t,Ad(t）（A）0 t,37,单位冲激函数的导数是单位冲激偶:,（5）,（6）,求导,如单位阶跃函数的积分是单位斜变函数：,(4)奇异函数的若干次积分和若干次微分也都是奇异函数,38,38,定义：,则任意函数 可近似表示为:,3.任意函数表示为冲激函数的积分,当 时，于是:,39,三、系统的零输入响应与零状态响应,（一）零输入响应与零状态响应的概念,解：（1）建立系统的数学模型：,即,（2）求系统的响应,两边乘以,40,两边求积分：,得,:只与电容两端的初始状态有关，与输入激励无关,零输入响应（即当激励 时，系统的响应）,：与初始状态无关，只与激励有关,零状态响应（即当 时，系统的响应）,41,（二）冲激响应和阶跃响应,四、卷积积分及其性质,(一)卷积积分的定义,和 是具有相同变量 的两个函数，它们相卷积后所成的变量为,、和 满足下列运算关系,这种运算关系就称为卷积积分，并表示为：,系统在单位冲激信号 激励下产生的零状态响应称为系统的冲激响应。系统在单位阶跃信号 激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应。线性时不变系统：,42,(二)卷积积分的物理意义,任意信号可表示为冲激函数的积分:,线性时不变系统:,则,当激励为 时，系统的响应为：,结论：系统的零状态响应等于系统的激励与系统的单位冲激响应的卷积积分！,当 时，,43,(三)卷积的性质,1.卷积的代数运算,交换律:,证明:,分配律:,结合律:,44,2.函数与冲激函数的卷积,推广:,进一步:,3.卷积的积分与微分,卷积的微分:若,则,45,证明:,卷积的积分:若,则,46,证明:,同理可得:,可推得:,47,4.函数延时后的卷积,若,则,(四)卷积的求取,例 函数x(t)和h(t)的波形如下,求它们的 卷积 y(t)=x(t)*h(t),48,解:方法一用图示法,步骤如下:,(1)将横坐标换成且反褶h(),得x()和 h(-),(2)将h(-)沿正轴平移时间t,得h(t-),当参量t的值不同时,h(t-)的位置就不同,(3)将x()和 h(t-)相乘,然后积分,亦即求 x()h(t-)曲线下的面积.,t1时:x()h(t-)=0,49,50,t5时:x()h(t-)=0,51,方法二利用卷积的性质,y(t)=x(t)*h(t),=dx(t)/dt*-t h(x)dx,=2d(t-1)-2d(t-3)*f(t),=2 d(t-1)*f(t)-2d(t-3)*f(t),=2f(t-1)-2f(t-3),x(t)h(t),dx(t)/dt-t h(x)dx=f(t),0 1 3 t 0 1 2 t,y(t)0 1 3 5-2,2f(t-1)-2f(t-3),52,五、LTI 连续时间系统的时域求解,LTI 系统:全响应=零输入响应+零状态响应,r(t)=rZi(t)+rZS(t),系统方程:D(p)r(t)=N(p)e(t)H(p)=N(p)/D(p),零输入(e(t)=0时)响应分量rZi(t)满足:,D(p)rZi(t)=0,若 D(p)=(p-l1)(p-l2)(p-ln)（n个单根）,则 rZi(t)=C1e l1t+C2e l2t+Cne lnt=i=1n Cie lit,若 D(p)=(p-l1)(p-l2)(p-ln-k)(p-l)k（有一个k阶重根）,则 rZi(t)=C1e l1t+C2e l2t+Cn-k e ln-k t+(Cn-k+1+Cn-k+2t+Cntk-1)elt,零状态响应分量rZS(t)=h(t)*e(t),53,例 描述某LTI系统的微分方程为:d2r(t)/dt2+3dr(t)/dt+2r(t)=2de(t)/dt+6e(t),已知r(0-)=2,r(0-)=0,e(t)=e(t),求系统的零输入响应和零状态响应及全响应.,解(1)系统的零输入响应rZi(t),e(t)=0:,d2rZi(t)/dt2+3drZi(t)/dt+2rZi(t)=0 且满足 r(0-)=2,r(0-)=0,特征方程 D(p)=p2+3p+2=(p+1)(p+2)=0,l1=-1,l2=-2,rZi(t)=C1e-t+C2e-2t,t0,求C1、C2:,rZi(0+)=rZi(0-)=r(0-)=2,C1+C2=2,rZi(0+)=rZi(0-)=r(0-)=0,-C1-2C2=0,54,C1=4,C2=-2,rZi(t)=(4e-t-2e-2t)e(t),(2)系统的零状态响应rZS(t),先求冲激响应h(t):,系统方程的算子形式(p2+3p+2)r(t)=(2p+6)e(t),H(p)=(2p+6)/(p2+3p+2)=4/(p+1)-2/(p+2),h(t)满足:,h(t)=H(p)d(t)=(4e-t-2e-2t)e(t)=rZi(t),rZS(t)=h(t)*e(t),=(4e-t-2e-2t)e(t)*e(t),=(-4e-t+e-2t+3)e(t),(3)全响应,r(t)=rZi(t)+rZS(t)=(3-e-2t)e(t),55,第三章,56,引言,1.LTI连续时间系统的时域分析法,信号分解:每个分量用同样形式的单元函数e(t)或d(t)来表示信号的时域表示法,2.单元函数的选择,一组坐标轴 构成 一个矢量空间,一个函数集 信号空间,常用正交坐标系,正交函数集,3.正交函数集,定义:,如有n个函数g1(t),g2(t),gn(t)构成一个函数集，当这些函数在区间（t1,t2）内满足以下正交特性：,57,则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。,于是信号 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的函数表示为：,最佳近似系数：,58,与矢量分解相似，用一正交函数集中的分量去代表任意一个函数，这个函数集必须是一完备的正交函数集。,完备的正交函数集有两种定义：,A.如果用正交的函数集 在区间（t1,t2）内近似表示，若令，则称该函数集为完备的正交函数集。,此时,B.如果在正交函数集 之外，不存在函数,()满足等式:则这个函数集称为完备的正交函数集。,59,如三角函数集,在区间（t0,t0+T）()内为完备的正交函数集。,符合一定条件的任一信号可用三角函数集表示，如,信号是频率的函数信号在频域中的表示(频域分析),4.信号也可以表示为复频率(s=ajw)的函数（复频域分析）,60,一、信号表示为傅里叶级数,二、周期信号的频谱,三、傅里叶变换与非周期信号的频谱,四、傅立叶变换的基本性质,五、常用信号的频谱函数（傅里叶变换）,六、帕色伐尔定理与能量频谱,61,一、信号表示为傅里叶级数,（一）傅里叶级数的三角形式,周期函数 在区间（t1,t1+T）内可表示为：,（也可以令 中n0得到）,（直流分量）,62,合成一（角）频率为 的正弦分量,基波频率，n 次谐波频率,令,则,其中,可见:,(即在一定区间内，任一 可以用一直流分量和一系列谐波分量之和来表示）,63,64,65,(二)傅里叶级数的指数形式,尤拉公式：,即 指数项 余弦波,于是,66,上式说明：可用函数集 来表示（n=0,）,67,讨论：,1意义：,（）并不代表负频率，各正、负指数项组成一个余弦（或正弦）波,2求 之法：用指数级数比用三角级数更方便，只需求出,3求频谱 第n次谐波分量的复数振幅（包括振幅和相位）,(三)信号的对称条件及其与谐波含量的关系,1偶函数关于纵轴对称,若 则 为t 的偶函数,68,此时,T 0 T t,即偶函数只含有余弦分量，直流分量可能有或无,2奇函数关于原点对称,若 则 为t 的奇函数,此时,T/2 0 T/2 t,69,而,即奇函数只含有正弦分量,注意：函数的奇偶性由坐标轴的对称关系决定，故当移动坐标轴时，奇偶关系会改变,3偶谐函数半周期重叠（只含偶次谐波）,若 则称 为偶谐函数,如 既是偶函数，又是偶谐函数,则,70,4奇谐函数半周期镜像对称（上、下对称）,满足 只含奇次谐波,f1(t),T/2 0 T/2 t,f2(t),T T t,如f2(t)既是奇函数，又是奇谐函数,则,5.任一函数都可分解成一个奇函数与一个偶函数之和,求,71,f(t),1,f(-t),-T/2 T/2 t,fod(t),-1/2,fev(t)=1/2,72,(四)傅里叶级数的时间位移性质,内容：之复系数为,延迟,证明：,说明：在时间上延迟t0对应于谐波分量的相位滞后了！,例,求 的表达式,73,fa(t),解：,(),74,二、周期信号的频谱,振幅频谱图-信号各频率分量的振幅随角频率变化的图形,75,（一）周期信号的频谱,例 求周期性矩形脉冲的展开式和频谱 脉冲宽度 T脉冲周期 A脉冲幅度,解：（1）求f(t)的展开式,【方法一】用三角形式表示,因为 f(-t)=f(t)(偶函数)，所以bn=0,76,抽样函数,【方法二】用指数形式表示,77,故,(2)求频谱,令n=1,2,按频率高低依次排列即得频谱图,78,An,0 2/4/=n,T=6:,零点位置：,x=n/2=m,n=m2/,即=nm2/时，An0 零点,又 2/（T/）,(=2/T)An/T,设 T=6，则 A0(2/6)A,2/=6,即每个包络内有5根谱线,相位谱：图,79,其它方法：,振幅向量为实数,此时，An为负值，并不表示振幅为负，只表示,又如按(指数级数）,指数频谱图：,-2/0 2/4/=n,(关于纵轴对称，但并不表示有负频率，它只表示一对相应的正、负指数项合起来构成一个正弦分量),80,(二)周期性矩形脉冲频谱的特点,1离散性,2谐波性,3收敛性,讨论：,T、对信号频谱结构的影响,T无限趋大时，谱线间隔无限趋小，振幅也无限趋小，周期脉冲 非周期性单脉冲,非周期信号可看作 的周期信号问题,周期矩形脉冲的频谱的所有特点也是一切周期性信号的共同特点,0 2/4/=n,81,(三)信号的频带宽度（频宽）,对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这段频率范围是信号所占有的频带宽度，简称频宽。,定义（两种）：,从0到频谱包络线第一个零点间的频段,从0到振幅降为包络线最大值1/10 间频段,讨论：,脉宽与频宽成反比,表明：时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。,82,三、傅里叶变换与非周期信号的频谱,周期信号：,同时 无穷小,（一）频谱函数（频谱密度函数）和傅立叶变换,式（1）乘以T/2:,83,定义：,量纲：,单位频带的振幅,频谱密度函数,偶函数，,奇函数,（二）非周期信号的表达式傅立叶反变换,84,当,傅立叶反变换,简记为：,（三）非周期信号的频谱,85,非周期信号也可分解为许多不同频率的正弦分量,但因,所以频谱不能直接用振幅作出，而必须用它的密度函数来作出。,令,周期信号的 和非周期信号的 可相互转换,86,（四）非周期矩形脉冲的频谱分析,A矩形之面积,f(t),A,-/2 0/2 t,【方法一】直接用定义式求,【方法二】直接用转换关系求,87,频谱图：,F(j),A,0,周期脉冲频谱包络线的形状和非周期单脉冲的频谱函数形状完全相同，所以，单脉冲信号的频谱也具有以下特点：单脉冲信号的频谱也具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；当脉冲持续时间减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比。,88,四、傅里叶变换的基本性质,（一）线性性质,若，,（二）时移性质,若,则,含义：信号在时域中延时和在频域中移相对应。如正弦波在时间轴上的起点不同则相角随之变化。,例1,求 的频谱函数,解：,89,例2,（三）移频性质,若,则,表明：信号在时域中与因子 相乘，等效于频域中频率的转移,90,而,调幅过程,例3 求,幅度调制信号的频谱函数,解：,A,-/2 0/2 t,91,解：,先求直流信号 的频谱,例4 求余弦信号 的频谱,则,当单个矩形脉冲（幅度A=1)的持续时间无限趋大时就变成了直流信号，即,而,若令,则,92,即,直流信号的频谱是位于 处的冲激,于是,可见，周期余弦信号的频谱函数完全集中于 点，是位于 点的冲激函数，频谱中不包含任何其它成分。,（四）尺度展缩(变换）性质,若,则,含义：在时域内,信号 沿时间轴压缩至原来的,对应于频域中，它的频谱函数展宽 倍。即信号的脉宽与频宽成反比。,93,证明：（1）,令,(2),令,则,1,-/2 0/2 t,/4/4 t,/2,94,(五)奇偶性质,如果 是t的实函数，且设,则有(1),(2),(3),例5 求单边指数信号的频谱,1,0 t,解:,95,例6 求双边指数信号 的频谱,f(t),1,0 t,解：,2/,0,当f(t)是偶函数时，其频谱必然是实数，且也为偶函数！,96,例7 求单位符号函数Sgn(t)的频谱,fa(t)=Sgn(t),1,-1,0 t,解:观察f1(t),1 f1(t),-1,于是,(1)求F1（j）,0 t,97,(2)求Fa（j）,当f(t)为奇函数时，其频谱一定是虚数，且也为奇函数！,如果将信号f(t)看作是由余弦“分量”所组成，其频谱图是单边的（即0）;,如果将信号看作是由虚指数函数所组成，由于它是对从到积分，因此，频谱图应为双边谱.,98,(六)对称性质（互易性质）,含义：信号的波形与信号的频谱的图形有着互相置换的关系。,如单位冲激信号 的频谱为：,即,从而,表明：单位冲激信号具有无限宽的频带。,99,0 t,F(j),1,0,0 t,0,又如求取样函数,-0 t,1,0,0 t,1,-0,注意：这种对称关系只适用于偶函数。,100,(七)时间微分特性,若,则,含义：信号对时间取导数，相当于在频域中用因子 去乘它的频谱函数。,如正弦稳态分析中,例8 求非周期镜像脉冲 的频谱函数,1,-1,解：,101,0 t,(八)时间积分性质,若,则,证明：(1),(2),(3),102,设,则,含义：信号对时间积分，相当于在频域中用因子 去除它的频谱函数。,103,注意积分性质的应用条件!,设,则,又,故一般可表示为:,积分性质的应用条件是原函数在负无穷远处的函数值等于零!,104,例9 求三角形脉冲 的频谱函数,解：,（频带无限宽）,0 t,1,-0 t,-1/,-0 t,(2/),105,例10,106,因为,所以,故,（九）频域的微分与积分性质,若,运用积分性质从导函数的频谱求原函数的频谱时,原函数若不含直流分量,则其频谱就不含冲激函数,否则,其频谱等于导函数的频谱除以因子 后再加上直流分量的频谱.,107,则,（十）卷积定理,1时域卷积定理,证明：,（变换积分次序）,108,例11 求三角形脉冲 的频谱函数,1 f1(t)1 f2(t),*=,0 0,=,0,-/2/2 t-/2/2 t,f(t),-0 t,2频域卷积定理,109,五、常用信号的频谱函数,（一）单位阶跃信号的频谱函数,1/2+0 t 0 t-1/2,、,110,注意：阶跃信号与直流信号所含分量不同，因此它们是两种信号，其频谱函数也就不同。,（二）虚指数信号的频谱,直接求：,为此考虑：,111,（三）指数变幅正弦信号的频谱,（移频特性）,（移频特性）,112,（四）周期信号的傅里叶变换频谱密度函数,周期信号：,频谱函数：,表明：,周期信号的频谱函数由无穷多个冲激函数组成，各个冲激位于各次谐波频率处；,各个冲激的强度为各次谐波复振幅 的 倍。,113,求周期信号的频谱密度函数 之方法：,由,如均匀冲激序列,其复数振幅,其频谱密度为,-T 0 T t,114,六、帕色伐尔定理与能量频谱,（一）信号的能量W和平均功率P,1.信号的能量：,信号 在 电阻上消耗的能量,2信号的平均功率：,信号 在 电阻上消耗的平均功率,3能量信号（能量有限信号）,能量为有限值（W有限值，P=0）,4.功率信号,平均功率为有限值（P有限值，W=）,115,（二）帕色伐尔定理,由电路理论知：非正弦周期信号电流或电压的有效值等于该电流或电压中所含各项谐波分量有效值的平方和的平方根，即,其功率,写成一般形式：,表明：,对周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得信号功率相等，且频域中的信号功率表示为各谐波分量功率之和，其中每一分量的功率为该谐波的方均值。,116,帕色伐尔定理：,周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。,(三）非周期信号的能量和能谱（能量密度频谱函数）,1.非周期信号的能量,117,表明：,对非周期信号，在时域中求得的信号能量与在频域中求得的信号能量相等。,雷利定理,2.非周期信号的能谱,非周期信号,其各频率分量的能量趋于无穷小,能量密度频谱（能谱）定义：,单位角频率中的能量，以 表示,118,与 的关系：,例,A,-/2 0/2 t,A,0,(A)2/(2),0,119,3.非周期信号的脉冲宽度和频带宽度,脉冲宽度 定义：脉冲中集中了90信号能量的那段时间,频带宽度,0 t,0 BS,频带宽度 定义：集中90信号能量的频带为占有频带,120,本章小结,一、周期信号的频谱及其特点,离散性、谐波性、收敛性,二、非周期信号的频谱密度函数,三、傅氏变换的性质,121,四、帕色伐尔定理与能量频谱,五、频带宽度,122,第四章,123,引言,线性系统的分析方法：,线性系统,直流用直流电路解法,正弦交流用符号法（向量、复数）,任意波形、线性时不变叠加,方法：,激励信号分解,求单个响应,叠加得总响应,四种分解方法：,1)将激励信号分解为冲激函数之和,卷积积分法(时域),2）将激励信号分解为阶跃函数之和,杜阿美尔积分法(时域),124,3）将激励信号分解为等幅正弦信号之和,付氏变换法（频域）,4）将激励信号分解为变幅的正弦信号之和,拉氏变换法（复频域）,频域分析法需进行正反两次变换，且付氏变换的运用要受绝对可积条件的限制，所以求连续系统的响应时更多地采用复频域分析法（拉氏变换法）。但频域分析法仍十分重要，因为复频域分析法是频域分析法的推广；信号的频谱具有明确的物理意义；当系统内部结构无法确知时，在复频域中无法得到反映系统功能的系统函数，但在频域中可通过实验测得。,125,二、理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应,三、信号通过线性系统不产生失真的条件,主要内容,一、信号通过线性系统的频域分析方法,126,一、信号通过线性系统的频域分析方法,0 t,时接入激励,系统会产生按指数规律衰减的瞬态响应分量,若 之前系统曾被激励，且其影响以储能的形式反映为初始状态，,则 系统的响应=零输入响应+零状态响应,零输入响应：,时域法求,D(p)rZi(t)=0,若 D(p)=(p-l1)(p-l2)(p-ln)（n个单根）,零状态响应：,频域法求,则 rZi(t)=C1e l1t+C2e l2t+Cne lnt=i=1n Cie lit,127,联系频域中零状态响应 与激励 的函数 称为频域的系统函数,为电压传输系数，,为电路的衰减常数,为电路的时间常数,系统函数也可通过对系统的数学模型（微分方程）取傅里叶变换而得到。,频率响应函数,128,频域法步骤：,1）将激励信号分解为正弦分量，即求,2）找出联系响应与激励的系统函数（网络函数）,3）求各频率分量的响应的频谱函数,因为响应的复数振幅为（对频率为的分量而言）：,频率为的分量的复数振幅为,所以,4）求响应：,129,讨论：,频域分析法：,时域,频域,（代数运算）,时域,例1 矩形脉冲 作用于 电路，求电容上的电压,A,0 t,+R+,C,-,解：（1）求,130,131,（2）求,令,132,（3）求,133,134,（4）求,A,0 t,上升和下降的时间特性：,急剧变化（跳变）,高频分量丰富,渐变（圆滑），,有上升和下降时间,高频分量被削弱,频域分析法的关键:,求出系统函数!,135,例2 已知一线性系统及系统函数 如图，设激励为，求系统的输出。,解：（1）求,136,（2）求,（3）求,（4）求,137,二、理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应,（一）理想低通滤波器的特性,对于激励信号中低于截止频率 的各分量可一致均匀地通过，在时间上延迟同一时间t0,而对于高于截止频率的各分量则一律不能通过，故名低通滤波器。,（二）理想低通滤波器的冲激响应,138,（三）理想低通滤波器的阶跃响应,e(t),A,0 t,139,令,则,140,正弦积分函数,当 时,作u(t)曲线：,0 t0 t,讨论：,响应波形与激励波形有差异,响应滞后于激励t0(u(t)=1/2瞬间为响应出现的时间),波形失真，前沿渐变,（电压的建立需要一段时间tr）,141,（即上升时间与通带成反比）,物理分析：,e(t)前沿跳变（高频分量丰富）,u(t)前沿渐变，须有上升时间tr,且ctr,原因：高于c的分量没有输出,t0时，u(t)0违背因果性,(在物理上无法实现),因果性：,时域响应出现在激励之后,频域系统函数的幅值应满足下列条件：,而且,佩利-维纳准则,142,所有理想滤波器（低通、高通、带通、带阻）都要求通带、阻带截然分开，且阻带内输出为零，因此，在物理上都无法实现。实际滤波器的特性只能接近于理想特性。,低通滤波器的容限图：,143,三、信号通过线性系统不产生失真的条件,（一）信号通过线性系统产生失真的原因,1系统对激励信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减或放大 幅度失真,2系统对激励信号中各频率分量产生的相移不与频率成正比 相位失真,（二）系统不失真的传输条件,（对H（j）提出要求）,不失真：响应与激励信号的波形相同，但大小和出现的时间可以不同。,即,e(t),r(t),144,设,则,不失真条件：,如 e(t)由基波与二次谐波组成,物理分析：,不失真,基波延时,相移,二次谐波也延时,相移,145,146,可推广至高次谐波,结论：,为使信号传输时不产生相位失真，信号通过系统时谐波的相移必须与其频率成正比，即系统的相频特性曲线应是一条经过原点的直线。,系统传输信号不失真应具备两个条件：,系统的幅频特性在整个频率范围中为一常数，即系统具有无限宽的响应均匀的通频带；,系统的相频特性应是经过原点的直线。,147,本章小结,一、有始信号通过系统的响应,二、理想低通滤波器的特性及响应,三、系统不失真传输条件,148,第五章,149,引言,1问题的提出,付氏变换法存在缺点：,1）局限性：,要收敛，满足绝对可积条件，否则,（）的付氏变换不存在，,如,（）存在，但不能用定义式求得，,如，,可能出现冲激函数，带来分析和运算困难,2）求反变换比较麻烦,2 问题的解决,频域分析,复频域分析,付氏变换,基本单元信号：,拉普拉斯变换,推广,推广,3 拉氏变换分析法的基础,线性非时变系统：,叠加性与齐次性,一、拉普拉斯变换及其收敛域二、常用(简单)函数的拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换的基本性质四、拉普拉斯反变换五、线性系统的拉普拉斯变换分析法六、线性系统的模拟七、信号流图分析法,150,151,一、拉普拉斯变换及其收敛域,(一)双边拉普拉斯变换,付氏变换：,1、求 的付氏变换,称作 的双边拉氏变换,152,2、求 的付氏反变换，再由 求,的双边拉氏反变换,记 为：,讨论：,1）付氏变换与拉氏变换的形式相似，基本差别：,付氏变换时域与变换域变量皆为实数（）,153,拉氏变换时域变量为实数，变换域变量为复数（）,2）物理意义,傅氏：将 分解成许多形式为 的指数项之和，每一对正、负 组成一个余弦振荡，振幅为,拉氏：将 分解成许多形式为 的指数项之和，每一对正、负 组成一个变幅的余弦振荡,振幅为,复频率,复频谱,复频率可以表示在复平面上，且复平面上的点 与指数函数 相对应,154,3）傅立叶变换是双边拉普拉斯变换中 的一种特殊情况，因此，求两者反变换的积分路径不同。,（二）单边拉氏变换,单边拉氏变换,此处0意为0-(即把t=0处冲激函数的作用考虑在变换之中),单边拉氏反变换,标记：,155,(三)拉氏变换的收敛域,若 是收敛的，才存在拉普拉斯变换，即需适当选取 值，才可能收敛，而是否收敛，决定于 的性质与 的相对关系。,如 的收敛域为：,1、单边拉氏变换的收敛域,使（）的区域,（即存在有一个正的常数，使得 在 范围内对于所有大于定值T的时间t均为有界，且当 时其极限趋于零。）,156,表示在s平面上,s平面,0,收敛坐标,收敛边界（收敛轴）,凡是满足式（）的函数称为“指数阶函数”即要单边拉氏变换存在，通常要求f(t)是指数 阶函数。,例1 求单脉冲的收敛域,0 t,1,解：,对所有