电路分析第三版03章.ppt

03章：电路基本定理及应用,3.1 叠加定理和齐性定理3.1.1 叠加定理3.1.2 齐性定理3.2 替代定理3.3 戴维南定理和诺顿定理3.3.1 戴维南定理3.3.2 诺顿定理3.4 最大功率传输定理3.5 特勒根定理3.6 互易定理3.7 对偶原理,教学重点：,1.熟练掌握：叠加定理、戴维南、最大功率传输定理、互易定理；,2.基本掌握：替代定理、诺顿定理、特勒根定理。,3.一般了解对偶原理。,3.1 叠加定理和齐性定理,、叠加定理:(Superposition Theorem),在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。,=,+,（C）IS单独作用电路,同理：,（b）U单独作用电路,用支路法证明,支路法列方程并求解,解方程得,思考题：,应用结点法证明？,当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。,即如下图：,三个电源共同作用,=,=,us1单独作用,+,us2单独作用,+,+,us3单独作用,+,叠加定理的内容：,在线性电路中，任一电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时，在该处产生的电压或电流的叠加。用公式表示为,注意：,1.叠加定理只适用于线性电路。,3.功率不能叠加(功率为二次函数)。,4.u,i叠加时要注意各分量的方向。,5.含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。,例3-1,用叠加定理求图(a)所示电路中的支路电流I。,I（1）,I（2）,解 画出各个独立电源分别作用时的分电路如图(b)和(c)所示。,因而有,讨论：,（1）若将电压源和电流源并联如图3-3(a)所示，再重求支路电流 I。,I（1）,I（2）,当电压源和电流源分别单独作用时，见图(b)，(c)所示，利用上述结果，,图(c)的解为,因而有,图(b)的解为,（2）再分析R1在（a）中消耗的功率:,为,R1在图（b）、（c）中消耗的功率分别为,显然,即：原图中某元件功率不等于分图中该元件功率的叠加。,例3-2,如图(a)所示电路，用叠加定理求电压Ui。,解 按叠加定理，分别作出4A电流源和10 V电压源单独作用时的分电路，见图(b)、(c)。,注意：受控源保留在分电路中，受控源的电压应为,对于图(b)，由并联电阻分流原理得,列KVL方程,解得,对于图(c),列KVL方程,解得,例3-3,如图所示，NS表示含有独立电源的线性网络。若Us=10 V，I=1 A；若Us=20V，I=1.5A。求当Us=30 V时，I是多少？,解 由于Ns为线性含源网络网络，则整个电路中可分为两组独立电源，一组是Us，另一组是Ns中的所有独立源,由叠加定理公式（3-1）可得,代入已知条件得,，,，,当Us=30 V时,ex1,如图所示线性电络N，只含电阻。若Us=5V，Is=0 A时，电阻R消耗功率P=8W；若Us=0V，Is=2A时，电阻R消耗功率P=2W。求当Us=10V，Is=4 A时，电阻R消耗功率为多少？,解 设电阻两端电压为U，如图参考方向。由于N为只含电阻的线性网络，则由叠加定理可得,代入已知条件得,解得：K1=0.4，K2=0.5,当Us=10 V，Is=4 A时，,R=0.5,U有4种结果，电阻R的功率也有4种：,U0.4US+0.5IS时：P=62/0.5=72W;,U0.4US-0.5IS时：P=22/0.5=8W;,U-0.4US+0.5IS时：P=(-2)2/0.5=8W;,U-0.4US-0.5IS时：P=(-6)2/0.5=72W;,齐性原理（homogeneity property):,线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的K倍（K为实常数），则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的K倍。,.,解:,采用倒推法：设i=1A。,则,求电流 i。,RL=2 R1=1 R2=1 us=68V,i,1）特别指出：当激励只有一个时，则响应与激励成正比。,例3-4,ex2,求如图所示电路中各支路电压。,解 设,给定的激励比假定的激励增大,2）、当存在多个激励源时,当存在多个激励源时，一般表达式为y=k1x1+k2x2+knxn，式中y为任一响应，xi为激励。采用可加性(additivity property)分析。,图a)中Us原为10V，I=-0.6A。当其增加一倍，则I为多少？,ex3,分开后单独计算,3.2 替代定理(Substitution Theorem),I1=2 A,I2=1 A,I3=1 A,U3=8 V,用Us=U3=8 V的电压源替代,用Is=I3=1 A的电流源替代,替代后电路中各支路电压和电流均保持不变！,这条有固定解的支路可以被替代,这条有固定解的支路可以被替代,先看一个例子：,替代定理内容：,替代后电路中全部的电压和电流均保持不变。,在任意线性和非线性，定常和时变电路中，,如果第k条支路的电压uk和电流ik为已知，,只要该支路和电路的其他支路之间无耦合，,那么该支路可以用一个电压等于uk的电压源或一个电流等于ik的电流源替代，,证明,替代前后KCL，KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。,用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。,用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。,另外一种方法证明:,证毕!,无电压源回路；,无电流源结点(含广义结点)。,.替代后其余支路及参数不能改变(一点等效)。,.替代后电路必须有唯一解,注意！,ex3,若要使,试求Rx。,解：,用替代：,=,+,再叠加：,U=U+U=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix,Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2,(或U=(0.1-0.075)I=0.025I,),=,+,3.3 戴维南定理和诺顿定理(Thevenin-Norton Theorem),统称为发电机定理、有源二端网络定理、等效电源定理。,若只需研究某一支路的情况,这时，可以将其余部分的电路等效变换为简单的含源支路。,最简等效电路?,端口概念,(1)端口(port),端口指电路引出的一对端钮，其中从一个端钮(如a)流入的电流一定等于从另一端钮(如b)流出的电流。,(2)一端口网络(network)(亦称二端网络),网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。,(3)含源(active)与无源(passive)一端口网络,网络内部含有独立电源的一端口网络称为含源一端口网络。（用A表示）,网络内部不含有独立电源的一端口网络称为无源一端口网络。（用P表示）,3.3.1 戴维南定理,戴维南等效电路,含源一端口网络A，对外电路来说，可以用其端口处的开路电压UOC和对应无源端口的等效电阻Req的串联组合来等效置换。,证明:,(a),(b),(对a),利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,i值不变。计算u值。（用叠加定理）,=,+,根据叠加定理，可得,电流源i为零,网络A中独立源全部置零,u=Uoc(外电路开路时a、b间开路电压),u=-Ri i,则,u=u+u=Uoc-Ri i,此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！,ex4,电路如图：求：U=?,第一步：求开端电压Ux。,解:,第二步：求等效电阻 Req。,等效电路,第三步：求电压,戴维南定理的解题过程与注意事项,（1）先求含源一端口的开路电压uoc，要画出相应的电路，标明开路电压的极性。（2）求戴维南等效电阻Req，也必须画出相应的电路，按照前面求等效电阻的方法求得。（3）画出含源一端口的戴维南等效电路。注意：等效电压源的极性应与所求uoc的极性一致。,注意：,(1)外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。,(2)当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。,具体求解任务：,等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。,等效电阻的计算方法：,当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；,加压求流法或加流求压法。,开路电压，短路电流法。,戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。,计算一个电量的方法有很多，可以用第2章中支路法、结点法、回路法、网孔法等。,(2)求等效电阻,(1)开路电压Uoc,例3-5,求如图所示含源一端口的戴维南等效电路。,解：,先求含源一端口的开路电压Uoc。,再求戴维南等效电阻Req。,戴维南等效电路如图所示。,或结点法：,设求取结点a电压Ua,UOC=Ua=12V,含源一端口独立电源置零后电路如图(b)所示。,例3-5,我们知道，上述两个电路等效,是对图示电流电压而言的（端口等效）,因此假想两个图都接有图示电压源及电流参考方向,原电路采用网孔（回路）电流方法列写方程：,消去I1可得：,而右侧等效电路的 ui 关系：,比较可得,ui 作为已知量列写在方程中,+Ui-,例3-6,用戴维南定理求图(a)所示电路中的i。,解 先用戴维南定理求a、b左端电路:,（1）先开路电压Uoc,取顺时针回路，KVL 有,显然 有,解得,如图(b),（2）求等效电阻Req,（3）最后求电流i,如图d,i=1A,说明：戴维南等效电路可以对电路分块进行，如本例题ab左、右侧均可以用戴维南等效电路。,采用外加电压源法,则ab左侧等效电路如图(c)所示,ex7,用戴维南定理求图示电路中U。,解：,(1)a、b开路，I=0，0.5I=0，Uoc=10V,(2)求Ri：加压求流法,U0=(I0-0.5 I0)103+I0103=1500I0,Ri=U0/I0=1.5k,U=Uoc 500/(1500+500)=2.5V,Isc=-I，(I-0.5I)103+I103+10=0,1500I=-10 I=-1/150 A,即 Isc=1/150 A,Ri=Uoc/Isc=10 150=1500,(3)等效电路：,开路电压Uoc、短路电流Isc法求Ri：,即：Ri=Uoc/Isc,Uoc=10V（已求出）,再求短路电流Isc(将a、b短路)：,或：,提示：短路电流和开路电压方法求等效电阻，有时十分简单！,3.3.2 诺顿定理,但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。,线性含源一端口A，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(阻)的并联组合来替代；,Geq的计算：,iSC的计算：,此电流源的电流等于该一端口A的短路电流isc；,如何求诺顿等效电路:,NS的短路电流isc；No的等效电阻Req,1）间接法：用戴维南电路变换（先求戴维南等效电路）,2）直接法：,Geq的计算：,iSC的计算：,例3-7,用诺顿定理求图(a)所示电路中电流I。,解：,如图，先独立出来2 电阻支路,ab右侧的电路求取诺顿等效电路,(1)ab间短路求短路电流,I1=12/6=-2A,I2=(24-12)/3=4A,Isc=-I1-I2=2-4=-2A,(2)求Req：串并联,Req=63/(6+3)=2,(3)诺顿等效电路:,I=Isc2/(2+2)=-22/4=-1A,解毕！,诺顿等效电路与戴维南等效电路关系：,两个特例:1）若一端口的输入电阻为零，其戴维南等效电路为一理想电 压源，诺顿等效电路不存在。2）若一端口的输入电导为零，其诺顿电路为一理想电流源，戴维南等效等效电路不存在。,Uoc=Req isc,Req=Uoc/isc,如同实际电源,等效的两种形式,例3-8,求图(a)所示电路的戴维南或诺顿等效电路。,解 先求开路电压uoc。,再求等效电阻Req。外加电压源方法：,解得：u=0，Req=u/i=0,戴维南等效电路为一理想电压源，而诺顿等效电路不存在。,讨论：,当Req=0时，戴维南等效电路成为一个电压源，此时对应的诺顿等效电路不存在；当Req=时，诺顿等效电路成为一个电流源，此时对应的戴维南等效电路不存在。通常情况下，两种等效电路同时存在。Req 也有可能为一线性负电阻。,戴维南定理和诺顿定理统称为发电机定理，这两个定理在分析电路中某一电阻获得最大功率方面很有用处。,3.4 最大功率传输定理,线性含源一端口A，当它两端接上不同负载时，在什么情况下负载能获得最大功率呢？,分析图中负载电阻中电流：,则负载电阻中电功率：,当改变RL时，要PL使最大，则：,当Req=RL时，,若用诺顿定理等效，则,最大功率传输定理的内容为：,线性含源一端口A，外接可变负载RL，当RL=Req（含源一端口A的等效电阻）时，负载可获得最大功率，此最大功率为:,或,满足上述条件称为负载电阻与一端口的等效电阻匹配。在匹配工作状态下，=50。,例3-9,如图(a)所示含源一端口外接可调电阻R，当R等于多少时，可以从电路中获得最大功率？求此最大功率。,解 先求开路电压uoc。,求戴维南等效电阻Req。,UOC=10+4-22,UOC=10V,Req=6+2+2=10,当R=10 时，R可获得最大功率，,ex8,图1为线性纯电阻网络，各元件参数已知。试计算中电阻R多少时吸收最大功率;并求最大功率。,解：先断开R，如图1-1，计算ab左侧的等效戴维南电路：,计算开路电压,再计算等效电阻：,因此电阻R15欧姆时获得最大功率:,最后计算最大功率：,ex9 问RX为何值时可获最大功率，并求此最大功率。已知 Us1=Us2=120V,Is=1A,R1=R2=R3=R4=R5=40。,解,Uoc=un1,首先求戴氏等效电路，结点法,=80V,联 解,Req=R1/(R4+R2/R3)=24,+UOC-,得,0,Rx=24,ex10,求图示RL消耗的最大功率。,解,+UOC_,3.5 特勒根定理,特勒根定理是电路理论中最普遍定理之一，其可以应用于集总参数二端元件所构成的任何电路，而不管元件的性质如何。,1.具有相同拓扑结构（特征）的电路,两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点的联接关系也相同。,读作“N拔”,网络,伴随网络,互为伴随,2 特勒根定理1,该定理是功率守恒的具体体现，其表明任何一个电路的全部支路所吸收的功率之和恒等于零。,对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并设支路电压和支路电流分别为（u1，u2，ub），（i1，i2，ib），则对任何时间t，有,证明：,对、结点列KCL方程为,证毕！,证明可推广到任何具有n个结点和b条支路的电路。,结点电压与支路电压关系为：,3.特勒根定理2：,说明：,如果有两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的拓扑图，但由内容不同的支路构成，假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并分别用(u1,u2,ub)，(i1,i2,ib)，()，()，表示两电路中b条支路电压和支路电流，则对任何时间t，有,1、特勒根定理2不能用功率守恒解释，但它具有功率之和的形式，所以有时又称为“似功率定理”。,2、它适用于任何集总电路，对支路内容也没有要求。,证明：,依同理也可证明,设有两个电路的G图都如右图：,电路N对、结点列KCL方程为：,电路 对、结点列KCL方程为：,则：,则：,例3-10,如图所示电路中，N为仅含电阻的网络。证明：,证明：由特勒根定理2有：,N为仅含电阻的网络，有,k=3，b。,证毕！,所以：,也有称此公式为：特勒根定理3.,例3-11,图示电路，设N为仅含电阻的网络，当R=2，us=6V时，测得i1=2A，u2=2V；当R=4，us=10V 时，测得,求,解 由例3-10可得,由已知条件可知上式8个量中的7个，分别为,代入得,1,2,3,4,5,6,7,ex11：,(1)R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V.,(2)R1=1.4,R2=0.8,Us=9V时,I1=3A.,求U2。,解：,利用特勒根定理3,寻找8个量中的7个已知量。,由(1)得：U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A,ex12：,解：,3.6 互易定理(Reciprocity Theorem),对一个仅含线性电阻的电路，在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，响应不变。此即互易定理。,第一种形式:,电压源激励，电流响应电流互易,给定任一仅由线性电阻构成的网络(见下图)，设支路j中有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支路k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。,当 uk=uj 时，ikj=ijk。,则两个支路中电压电流有如下关系：,证明:,用特勒根定理。,由特勒根定理：,(设a-b支路为支路1,c-d支路为支路2,其余支路为3b)。图(a)与图(b)有相同拓扑特征，(a)中用uk、ik表示支路电压，电流，(b)中用。,即：,两式相减，得,将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即,即：,当 uk=uj 时，ikj=ijk。,证毕！,第二种形式:,电流源激励，电压响应。电压互易,在任一线性电阻网络的一对结点j，j间接入唯一电流源ij，它在另一对结点k，k产生电压ukj(见图a)；若改在结点k，k间接入唯一电流源ik，它在结点j，j间产生电压ujk(图b)，则上述电压、电流有如下关系：,当 ik=jj 时，ukj=ujk。,第三种形式:,数值互易,如果按在端子a，b的为电流源 Is，而端子c，d的短路电流为i2,当在端子c，d按入电压源 us,且有us=is（量值上），而在端子a，b的开路电压为,则互易定理说明,应用互易定理时要注意电压和电流的参考方向。,通用的表达关系式：,应用互易定理时应注意：,(1)互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。,(2)激励为电压源时，响应为电流,激励为电流源时，响应为电压,电压与电流互易。,(3)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个结点间。,(4)互易要注意电源与电压(电流)的方向。,(5)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,(6)互易定理是特勒根定理的特殊形式，所有采用互易定理解的问题，都可以用特勒根定理解。,例3-12,由互易定理得,代入已知条件可得,形式一,解,互易网络如图所示，已知us1=1V，i2=2A，,思考：若采用特勒根定理解，该若何？,例3-13,对于虚框内所包含的网络N（仍为电阻网络，见图动画），利用互易定理有,所以,形式二,解,思考：若采用特勒根定理解，该若何？,解：,利用互易定理,I1=I2/(4+2)=2/3A,I2=I2/(1+2)=4/3A,I=I1-I2=-2/3A,解毕！,思考：其实用其他的方法更容易解。,Ex13:求电流I。,3.7 对偶原理(Dual Principle),1.对偶电路,网孔方程：,结点方程：,则两个方程组相同，其解答值也相同：un1=il1，un2=il2。,例,“对偶”和“等效”是两个不同的概念，不可混淆。,对偶关系,2.对偶电路求法,各对偶元件进行替换,网孔对应独立结点,参考结点,ex17 求对偶电路。,解,对偶电路:,电阻电路小结(第13章),1.理想元件的定义及元件方程:R、L、C、独立源、受控源；,2.物理量及单位：,参考方向意义；,3.定理/律的内涵:KCL、KVL、叠加(齐性)、戴维南/诺顿、特勒根、互易、最大功率传输适用范围；,4.分析计算方法：,1）基本计算：有源支路描述、电压/流、功率的吸收与发出、电路的化简与等效,有源电路端口等效：戴氏、诺顿等效电路；,2）系统分析计算:支路法、回路法、结点法，方程的独立性（树、基本回路/割集）、变量参考方向选择；,3）特殊计算方法:对个别问题的处理；,4）各定理的应用计算方法。,作业,3.1-2，3.1-3，3.3-2，3.3-3，3.3-4，3.4-1，3.5-2，3.5-3，3.6-2，3.6-3。3-2；3-3；3-4;3-5。,