浮点数表示及运算.ppt

计 算 机 组 成 原 理,2023年9月26日,浮点数表示及运算,一、浮点数的表示,N=Rem=2EM=2e(m),E0,M0,91028=0.9 10-2721033=0.2 1034 任意一个十进制数 可以写成=10E（十进制表示）,计算机中一个任意进制数 可以写成,m：尾数，是一个纯小数。e：浮点的指数,是一个整数。R：基数，对于二进计数值的机器是一个常数，一般规定 为2，8或16,浮点数的表示范围,负上溢,N=2EM|N|产生正上溢或者负上溢|N|0 产生正下溢或者负下溢,尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度阶码：用定点整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。,一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成：,最大正数,最小正数,最小负数,最大负数,8位定点小数可表示的范围0.0000001-0.1111111 1/128-127/128设阶码2位，尾数4位可表示2-11*0.0001-211*0.1111 0.0000001-111.1设阶码3位，尾数3位可表示2-111*0.001-2111*0.111 0.0000000001-1110000,机器字长一定时，阶码越长，表示范围越大，精度越低浮点数表示范围比定点数大，精度高,一个浮点数有不同的表示：0.5；0.05101；0.005 102；50 10-2,为提高数据的表示精度，需做规格化处理。,浮点数是数学中实数的子集合，由一个纯小数乘上一个指数值来组成。,二、浮点数规格化,把不满足这一表示要求的尾数，变成满足这一要求的尾数的操作过程，叫作浮点数的规格化处理，通过尾数移位和修改阶码实现。,在计算机内，其纯小数部分被称为浮点数的尾数，对非 0 值的浮点数，要求尾数的绝对值必须=1/2，即尾数域的最高有效位应为1,称满足这种表示要求的浮点数为规格化表示：0.1000101010,规格化目的：为了提高数据的表示精度为了数据表示的唯一性尾数为R进制的规格化：绝对值大于或等于1/R二进制原码的规格化数的表现形式：,正数 0.1xxxxxx负数 1.0 xxxxxx,正数 0.1xxxxxx负数 1.1xxxxxx,补码尾数的规格化的表现形式：尾数的最高位与符号位相反。,解：12310=11110112=0.1111011000227 7移=10000+00111=10111 0.1111011000补=0.1111011000 123浮=1011 1 0 11 1101 1000=BBD8H,例：对数据12310作规格化浮点数的编码，假定1位符号位，基数为2，阶码5位，采用移码，尾数10位，采用补码。,S尾数符号，0正1负；M尾数,纯小数表示,小数点放在尾数域的最前面。采用原码表示。E阶码，采用“移码”表示（移码可表示阶符）;阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。,为便于软件移植，使用 IEEE（电气和电子工程师协会）标准IEEE754 标准：尾数用原码；阶码用“移码”；基为2。,三、浮点数的标准格式IEEE754,规格化浮点数的真值,x=(-1)s(1.)2127 e=127,一个规格化的32位浮点数的真值为：,32位浮点数格式：,x=(1)s(1.)21023,一个规格化的64位浮点数的真值为：,这里e是真值，是机器数,1.隐藏位技术,2.阶码用“移码”偏移值127而不是128,Emin=1,Emax=254/2046,原码非0值浮点数的尾数数值最高位必定为 1，则在保存浮点数到内存前，通过尾数左移,强行把该位去掉,用同样多的位数能多存一位二进制数，有利于提高数据表示精度，称这种处理方案使用了隐藏位技术。,当然，在取回这样的浮点数到运算器执行运算时，必须先恢复该隐藏位。,例：若浮点数 x 的二进制存储格式为(41360000)16，求其32位浮点数的十进制值。,解：0100,0001,0011,0110,0000,0000,0000,0000 数符：0 阶码：1000,0010 尾数：011,0110,0000,0000,0000,0000 指数e阶码1271000001001111111 00000011=(3)10 包括隐藏位1的尾数：1.M1.011 0110 0000 0000 0000 00001.011011,于是有 x(1)s1.M2e(1.011011)231011.011(11.375)10,例:将十进制数20.59375转换成32位浮点数的二进制格式来存储。,解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.5937510100.10011然后移动小数点，使其在第1，2位之间 10100.100111.01001001124 e4于是得到：e=127 S0，E4127131=1000,0011，M010010011最后得到32位浮点数的二进制存储格式为 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000(41A4C000)16,解：-0.75=-3/4=-0.112=-1.12-1=(-1)1(1+0.1000 0000 0000 0000 0000 000)2-1=(-1)1(1+0.1000 0000 0000 0000 0000 000)2126-127 s=1，E=12610=011111102，F=1000 000。1 011,1111,0 100,0000,0000,0000,0000,0000 B F 4 0 0 0 0 0 H,例：将十进制数-0.75表示成单精度的IEEE 754标准代码。,单精度浮点数编码格式,+0/-0,0,0,0/1,(-1)S(0.f)2(-126),f(非零),0,0/1,(-1)S(1.f)2(e-127),f,1254,0/1,-,0,255,1,+,0,255,0,sNaN Signaling NaN,非零0 xxxx,255,0/1,NaN Not a Number,非零1xxxx,255,0/1,表示,尾数,阶码,符号位,IEEE754 规格化浮点数表示范围,Emax=2046,f=1.1111,1.111122046-1023=21023(2-2-52),Emin=1,M=0,1.021-1023=2-1022,双精度,Emax=254,f=1.1111,1.11112254-127=2127(2-2-23),Emin=1,M=0,1.021-127=2-126,单精度,最大值,最小值,格式,设有两个浮点数和,它们分别为:,浮点加减法运算,其中 Ex 和 Ey 分别为数和的阶码，Mx 和 My为数和的尾数。两浮点数进行加法和减法的运算规则是:(Mx2ExEyMy)2Ey Ex=Ey,2Ex M 2Ey M,完成浮点加减运算的操作过程大体分为：,(1)0 操作数的检查；,(2)比较阶码大小并完成对阶；,(3)尾数进行加或减运算；,(4)结果规格化。,(5)舍入处理。,(6)溢出处理。,使二数阶码相同（即小数点位置对齐），这个过程叫作对阶。先求两数阶码 Ex 和 Ey之差，即E=ExEy 若E=0，表示 Ex=Ey 若E 0,ExEy 若E 0,ExEy,通过尾数的移动来改变Ex或Ey，使其相等。,对阶原则 阶码小的数向阶码大的数对齐；对阶过程小阶的尾数右移，每右移一位,其阶码加1(右规)。,(2)对阶,(1)0 操作数检查,210*(0.11000)+28*(0.00110)大阶对小阶 210*(0.11000)-28*(11.000)11.000+0.00110?小阶对大阶 28*(0.00110)-210*(0.00001)0.00001+0.11000=0.11001,例:x=2010.1101,y=211(-0.1010),求x+y=?,解：为便于直观了解，两数均以补码表示，阶码、尾数均采用 双符号位。x补=00 01,00.1101 y补=00 11,11.0110 E补=Ex补Ey补=00 01+11 01=11 10 E=-2,表示Ex比Ey小2,因此将x的尾数右移两位.右移一位,得 x补=00 10,00.0110 再右移一位,得 x补=00 11,00.0011 至此,E=0,对阶完毕.,尾数求和方法与定点加减法运算完全一样。对阶完毕可得:x补=00 11,00.0011 y补=00 11,11.0110 对尾数求和:00.0011+11.0110 11.1001 即得:x+y补=00 11,11.1001,(3)尾数求和运算,(4)结果规格化,求和之后得到的数可能不是规格化了的数,为了增加有效数字的位数,提高运算精度,必须将求和的结果规格化。规格化的定义:,(二进制),对正数:S=00.1对负数:S=11.0,采用双符号位的补码：,采用原码：正数:S=0.1 负数：S=1.1,规格化规则,运算结果产生溢出时，必须进行右归如变形补码结果出现 10.XX 或者 01.XXX如运算结果出现 0.0XXX或 1.1XX 必须左归左归时最低数据有效位补0右归时连同符号位进位位一起右移左归时，阶码作减法，右归时，阶码作加法,00.0XXXX-00.1XXX0 左规11.1XXXX-11.0XXX0 左规01.XXXXX-00.1XXXX 右规10.XXXXX-11.0XXXX 右规,规格化方法,例：两浮点数 x=0.1101 210,y=(0.1011)201,求x+y。,解：x补=00 10，00.1101 y补=00 01，00.1011 对阶：E补=Ex补Ey补=00 10+11 11=00 01 y向x对齐，将y的尾数右移一位，阶码加1。y补=00 10，00.0101,x+y补=00 10，01.0010,右归：运算结果两符号位不同，其绝对值大于1，右归。x+y补=00 11，00.1001,求和：00.1101+00.0101 01.0010,在对阶或向右规格化时,尾数要向右移位,这样,被右移的尾数的低位部分会被丢掉,从而造成一定误差,因此要进行舍入处理。简单的舍入方法有两种：“0舍1入”法 即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，反之则将尾数的末位加“1”。“恒置1”法 即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置“1”。从概率上来说,丢掉的0和1各为1/2。,(5)舍入处理,在IEEE754标准中,舍入处理提供了四种可选方法：就近舍入 其实质就是通常所说的四舍五入。例如,尾数超出规定的23位的多余位数字是10010,多余位的值超过规定的最低有效位值的一半,故最低有效位应增1。若多余的5位是01111,则简单的截尾即可。对多余的5位10000这种特殊情况：若最低有效位现为0,则截尾；若最低有效位现为1,则向上进一位使其变为 0。朝0舍入 即朝数轴原点方向舍入,就是简单的截尾。无论尾数是正数还是负数,截尾都使取值的绝对值比原值的绝对值小。这种方法容易导致误差积累。朝舍入 对正数来说,只要多余位不全为0则向最低有效位进1;对负数来说则是简单的截尾。朝舍入 处理方法正好与 朝舍入情况相反。对正数来说,只要多余位不全为0则简单截尾;对负数来说,向最低有效位进1。,(6)溢出处理,与定点加减法一样，浮点加减运算最后一步也需判溢出。在浮点规格化中已指出，当尾数之和(差)出现01或10时，并不表示溢出，只有将此数右规后，再根据阶码来判断浮点运算结果是否溢出。,若机器数为补码，尾数为规格化形式，并假设阶符取2位，阶码取7位、数符取2位，尾数取n位，则它们能表示的补码在数轴上的表示范围如图所示。,图中A，B，a，b分别对应最小负数、最大正数、最大负数和最小正数。它们所对应的真值分别是：A最小负数 2+127(-1)B最大正数 2+127(1-2-n)a最大负数 2-128(-2-1-2-n)b最小正数 2-128 2-1,最小负数,最大正数,最大负数,最小正数,图中a,b之间的阴影部分，对应阶码小于128的情况，叫做浮点数的下溢。下溢时浮点数值趋于零，故机器不做溢出处理，仅把它作为机器零。图中的A、B两侧阴影部分，对应阶码大于127的情况，叫做浮点数的上溢。此刻，浮点数真正溢出，机器需停止运算，作溢出中断处理。一般说浮点溢出，均是指上溢。可见，浮点机的溢出与否可由阶码的符号决定：阶码j补=01,为上溢，机器停止运算，做中断处理；阶码j补=10,为下溢，按机器零处理。,例：若某次加法操作的结果为 X+Y补=11.010,00.0000110111,则应对其进行向左规格化操作：尾数为：00.1101110000，阶码减4：,11.010+11.100-4补 10.110,例：若某次加法操作的结果为 X+Y补=00.111,10.1011100111,则应对其进行向右规格化操作：尾数为：11.0101110011，阶码加1：01.000 阶码超出了它所能表示的最大正数（+7），表明本次浮点运算产生了溢出。,阶码超出了它所能表示的最小负数（-8），表明本次浮点运算产生了溢出。,例:两浮点数x=21010.11011011，y=2111(-0.10101100)。假设尾数在计算机中以补码表示，可存储10位尾数，2位符号位，阶码以补码表示，双符号位,求x+y。,解：将x,y转换成浮点数据格式 x浮=00 101,00.11011011 Y浮=00 111,11.01010011+1 00 111,11.01010100步骤1：对阶，阶差为Ex-Ey=Ex补+-Ey补-Ey补=11000111001 Ex-Ey001011100111110（000011）000102 0 Ex-Ey0 ExEy 小阶对大阶，X阶码加2 X尾数右移2位,解：将x,y转换成浮点数据格式 x浮=00 101,00.11011011 Y浮=00 111,11.01010011+1 00 111,11.01010100步骤1：对阶，阶差为Ex-Ey=Ex补+-Ey补 Ex-Ey2 0 Ex-Ey0 ExEy 小阶对大阶，X阶码加2 X尾数右移2位 x浮=00 111,00.00110110(11)步骤2：尾数求和 X+Y浮=00 111,00.00110110(11)+00 111,11.01010100=00 111,11.10001010(11),步骤2：尾数求和 X+Y浮=00 111,00.00110110(11)+00 111,11.01010100=00 111,11.10001010(11)步骤3：计算结果规格化 X+Y浮 为非规格化数，左归一位,阶码减一，00110,11.00010101(1)步骤4：舍入处理 X+Y浮=00 110,11.00010110(0舍1如法)X+Y浮=00 110,11.00010101(截去法)步骤5：溢出判断 无溢出 X+Y浮=2110 x(-00.11101011),例 设=20100.11011011,=2100(-0.10101100),求+。,解：阶码采用双符号位,尾数采用单符号位,则它们的浮点表示分别为 x浮=00 010,0.11011011 y浮=00 100,1.01010100(1)求阶差并对阶,E=Ex-Ey=Ex补+-Ey补=00 010+11 100=11 110,x浮00 100,0.00110110(11),其中(11)表示M右移2位后移出的最低两位数。,即E为-2,x的阶码小,应使 Mx右移两位,Ex加2,(2)尾数求和,(4)舍入处理,采用0舍1入法处理,则有:,1.00010101+1 1.00010110,0.00110110(11)+1.01010100 1.10001010(11),(3)规格化处理 尾数运算结果的符号位与最高数值位为同值，应执行左规处理，结果为1.00010101(10)，阶码为00 011。,(5)判断溢出 阶码符号位为00，不溢出，故得最终结果为 x+y=2011(-0.11101010),例：两浮点数x=2010.1101，y=211(-0.1010)。假设尾数在计算机中以补码表示，可存储4位尾数，2位保护位，阶码以原码表示，求x+y。,解：将x,y转换成浮点数据格式x浮=00 01,00.1101y浮=00 11,11.0110步骤1：对阶，阶差为11-01=10，即2，因此将x的尾数右移两位，得x浮=00 11,00.001101步骤2：对尾数求和，得:x+y浮=00 11,11.100101步骤3：由于符号位和第一位数相等，不是规格化数，向左规格化，得x+y浮=00 10,11.001010步骤4：截去。x+y浮=00 10,11.0010步骤5:数据无溢出，因此结果为x+y=210(-0.1110),浮点乘除法运算,1.浮点乘法、除法运算规则,设有两个浮点数和：2ExMx 2EyMy浮点乘法运算的规则是：2(Ex+Ey)(Mx My)即：乘积的尾数是相乘两数的尾数之积;乘积的阶码是相乘两数的阶码之和。浮点除法运算的规则是:2(ExEy)(MxMy)即：商的尾数是相除两数的尾数之商;商的阶码是相除两数的阶码之差。,2.浮点乘、除法运算步骤,浮点数的乘除运算大体分为四步：(1)0 操作数检查；(2)阶码加/减操作；(3)尾数乘/除操作；(4)结果规格化及舍入处理。,(2)浮点数的阶码运算,对阶码的运算有1、1、两阶码求和、两阶码求差四种,运算时还必须检查结果是否溢出。在计算机中,阶码通常用补码或移码形式表示。,移码的运算规则和判定溢出的方法,移码的定义为 x移=2n+-2n x 2n,x移+y移=2n+2n+,=2n+移,按此定义,则有,=2n+(2n+(+),+移=-2n+x移+y移,考虑到移码和补码的关系：对同一个数值,其数值位完全相同,而符号位正好完全相反。y补的定义为 y补=2n+1+则求阶码和用如下方式完成：,=2n+1+(2n+(+),x移+y补=2n+2n+1+,即：,+移=x移+y补(mod 2n+1),同理：,-移=x移+-y补(mod 2n+1),混合使用移码和补码,使用双符号位的阶码加法器,并规定移码的第二个符号位,即最高符号位恒用 0 参加加减运算,则溢出条件是结果的最高符号位为1：当低位符号位为 0时,（10）表明结果上溢,当低位符号位为1时,（11）表明结果下溢。当最高符号位为0时,表明没有溢出:低位符号位为1,（01）表明结果为正;为0,（00）表明结果为负。,阶码运算结果溢出处理,例：=+011,=+110,求x+y移 和 x-y移,并判断是否溢出。,解：阶码取3位（不含符号位），其对应的真值范围是-8+7,x移=01 011,y补=00 110,-y补=11 010,x+y移=x移+y补=,x-y移=x移+-y补=,01 011+00 110 10 001,结果上溢。,结果正确,为-3。,01 011+11 010 00 101,(3)尾数处理,浮点加减法对结果的规格化及舍入处理也适用于浮点乘除法。第一种方法是：无条件地丢掉正常尾数最低位之后的全部数值。这种办法被称为截断处理,好处是处理简单,缺点是影响结果 的精度。第二种办法是：运算过程中保留右移中移出的若干高位的值,最后再按某种规则用这些位上的值修正尾数。这种处理方法被称为舍入处理。,当尾数用原码表示时:最简便的方法是，只要尾数的最低位为1,或移出的几位中有为1的数值位,就使最低位的值为1。另一种是0舍1入法,即当丢失的最高位的值为1时,把这个1加到最低数值位上进行修正,否则舍去丢失的的各位的值。这样处理时,舍入效果对正数负数相同,入将使数的绝对值变大,舍则使数的绝对值变小。,舍入处理,当尾数是用补码表示时:采用0舍1入法时，若丢失的位不全为0时：对正数来说，舍入的结果与原码分析相同；对负数来说，舍入的结果与原码分析相反，即“舍”使绝对 值变大，“入”使绝对值变小；为使原、补码舍入处理后的结果 相同，对负数可采用如下规则进行舍入处理：当丢失的各位均为0时,不必舍入；当丢失的最高位为0,以下各位不全为0 时,或者丢失的最高位为1,以下各位均为0时,则舍去丢失位上的值；当丢失的最高位为1,以下各位不全为0 时,则执行在尾数最低位入1的修正操作。,例:设 x1补=11.01100000,x2补=11.01100001,x3补=11.01101000,x4补=11.01111001,求执行只保留小数点后4位有效数字的舍入操作值。,解：执行舍入操作后,其结果值分别为x1补11.0110(不舍不入)x2补11.0110(舍)x3补11.0110(舍)x4补11.1000(入),例：设有浮点数=25 0.0110011,=23(-0.1110010),阶码用4位移码表示,尾数(含符号位)用8位补码表示。求浮。要求用补码完成尾数乘法运算,运算结果尾数保留高8位(含符号位),并用尾数低位字长值处理舍入操作。,解：移码采用双符号位,尾数补码采用单符号位,则有Mx补=0.0110011,My补=1.0001110,Ex移=00 011,Ey移=01 011,Ey补=00 011,x浮00 011,0.0110011,y浮01 011,1.0001110,(2)尾数乘法运算 可采用补码阵列乘法器实现,即有,(1)求阶码和,Ex+Ey移=Ex移+Ey补=00 011+00 011=00 110,值为移码形式-2。,Mx补 My补=0.0110011补 1.0001110补,=1.1010010,1001010补,(4)舍入处理,(3)规格化处理,乘积的尾数符号位与最高数值位符号相同,不是规格化的数,需要左规,阶码变为00 101(-3),尾数变为 1.0100101,0010100。,尾数为负数,取尾数高位字长，按舍入规则,舍去低位字长，故尾数为1.0100101。最终相乘结果为,其真值为 23(0.1011011),浮00 101,1.0100101,由于浮点运算分成阶码和尾数两部分，因此浮点运算器的实现比定点运算器复杂得多。分析上述的浮点四则运算可以发现，对于阶码只有加减运算，对于尾数则有加、减、乘、除4种运算。可见浮点运算器主要由两个定点运算部件组成，一个是阶码运算部件，用来完成阶码加、减，以及控制对阶时小阶的尾数右移次数和规格化时对阶码的调整；另个是尾数运算部件，用来完成尾数的四则运算以及判断尾数是否已规格化。此外，还需要有溢出判断电路等。,浮点运算器的组成,1、浮点运算器的一般结构,两个操作数的阶码部分，分别放在寄存器1和2中，它们与并行加法器相连可以计算12。阶码比较是通过12来实现的，相减结果放在计数器。然后按的符号来决定哪一个阶码较大，并用来控制其中一个尾数的移位次数。每递减次，相应的尾数右移一位，直到为止。一旦尾数调整完毕，就可按通常的加、减方法处理，并将其结果的阶码放入寄存器中。,流水线原理 计算机的流水处理过程同工厂中的流水装配线类似。为了实现流水,首先必须把输入的任务分割为一系列的子任务,使各子任务能在流水线的各个阶段并发地执行。将任务连续不断地输入流水线,从而实现了子任务的并行。因此流水处理大幅度地改善了计算机的系统性能,是在计算机上实现时间并行性的一种非常经济的方法。在流水线中,原则上要求各个阶段的处理时间都相同。若某一阶段的处理时间较长,势必造成其他阶段的空转等待。因此对子任务的划分,是决定流水线性能的一个关键因素,它取决于操作部分的效率、所期望的处理速度,以及成本价格等等。假定作业 T 被分成 k 个子任务,可表达为 TT1,T2,Tk 各个子任务之间有一定的优先关系：若ij,则必须在 Ti 完成以后,Tj才能开始工作。具有这种线性优先关系的流水线称为线性流水线。线性流水线处理的硬件基本结构如图所示。,2、浮点流水运算部件,图中,处理一个子任务的过程为过程段(Si)。线性流水线由一系列串联的过程段组成,各个过程之间设有高速的缓冲寄存器(L),以暂时保存上一过程子任务处理的结果。在一个统一的时钟(C)控制下,数据从一个过程段流向相邻的过程段。设过程段 Si所需的时间为i,缓冲寄存器的延时为l,线性流水线的时钟周期定义为maxilml 故流水线处理的频率为 f1/。,在流水线处理中,当任务饱满时,任务源源不断的输入流水线,不论有多少级过程段,每隔一个时钟周期都能输出一个任务。从理论上说,一个具有k 级过程段的流水线处理 n 个任务需要的时钟周期数为 Tkk(n1)其中k个时钟周期用于处理第一个任务。k个周期后,流水线被装满,剩余的n1个任务只需n1个周期就完成了。如果用非流水线的硬件来处理这n个任务,时间上只能串行进行,则所需时钟周期数为 TLnk 我们将TL和Tk的比值定义为k级线性流水线的加速比：CkTL/Tk nk/（kn1)当 nk 时,Ckk。这就是说,理论上k级线性流水线处理几乎可以提高k倍速度。但实际上由于存储器冲突、数据相关,这个理想的加速比不一定能达到。,