测试信号处理技术第四章.ppt

,第四章,离散时间信号分析,内容提要,序列的傅里叶变换（DTFT）拉氏变换、傅氏变换与z变换之间的关系 离散傅里叶级数（DFS）离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换的应用,离散时间信号分析,离散时间傅里叶变换DTFT与连续时间傅里叶变换的关系性质离散傅里叶变换DFT定义性质离散傅里叶变换的快速算法FFT原理流程应用,离散时间信号的傅里叶分析,实际信号的特点：时域：连续时间信号;持续时间较长频域：频谱是连续的数字处理设备（计算机）的特点：存储空间有限-只能存储有限多的数据离散的时间点有限长的时间范围表示空间有限-只能表示有限多的数值取值在一定精度内取值在一定范围内,要解决的问题（面临的矛盾）1,在时域如何对信号进行离散化？要求保证信号的信息不受损！信息不受损=可以恢复原信号理论问题已在第二章解决乘以冲激串信号，进行时域抽样要求抽样过程满足抽样定理信号频带有限，抽样频率是信号最高频率的两倍,矛盾1已基本解决,要解决的问题（面临的矛盾）2,如何用抽样信号的频谱来恢复原信号的频谱？抽样信号频谱与原信号频谱是什么关系？理论上如何恢复？工程实践上如何实现？,要解决的问题（面临的矛盾）3,抽样信号的频谱如何计算？得到抽样信号后，如何计算其频谱？输入：抽样信号（序列）输出：抽样信号的频谱在工程上，计算机接受的输入是一系列数值,要解决的问题（面临的矛盾）4,信号被截短时，频谱发生什么变化？有时信号持续时间超出处理能力时域信号需要被截断截断会不会影响对信号的分析？截断对信号的频谱有何影响？,要解决的问题（面临的矛盾）5,有限长离散信号频谱的存储与计算频谱是连续周期的1.只能存储有限长的频谱一个周期即可2.只能存储有限多的频谱离散频率点处的频谱值离散频率点谱值的计算法一：先有连续谱，后有离散谱值（频域采样）法二：直接用时间抽样值计算离散谱值（公式）？,要解决的问题（面临的矛盾）6、7,如何由频谱恢复抽样信号？离散频谱值是有限的恢复抽样信号的计算公式如何编程实现（如何进行快速计算）？按定义实现-计算量太大由离散信号计算离散频谱由离散频谱恢复离散信号,学习方法,从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即在实践中领悟处理原理的意义从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即在矛盾中思考工程实现的背景,在解决的问题过程中感受知识的力量、体会学习的快乐,4.1 序列的傅里叶变换,1.定义x(n)的z变换为如果X(z)在单位圆上是收敛的，则把在单位圆上的z变换定义为序列的傅里叶变换，表示为(4.1),4.1 序列的傅里叶变换,相对应序列的傅里叶反变换，由z反变换的围线积分公式若把积分围线C取在单位圆上，则有（4.2）,4.1 序列的傅里叶变换,2物理意义把序列的傅里叶变换称作非周期序列的频谱，为什么把序列的傅里叶变换和序列的频谱联系在一起?可以与连续信号的傅里叶变换进行对比进行分析.已知连续信号的傅里叶变换为,4.1 序列的傅里叶变换,F()有频谱密度的意义，是频谱的概念，在式（4.1）中，X(ej)是序列的傅里叶变换，与F()在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作用，所以看作是序列的频谱。f(t)和x(n)的两个表达式都具有叠加重构（综合）时域信号即傅里叶反变换的作用，因此把式（4.2）称为序列的傅里叶反变换。,4.1 序列的傅里叶变换,将式（4.1）和（4.2）重写并表示为,(4.3)(4.4),4.1 序列的傅里叶变换,3特点由式(4.3)知，序列频谱X(ej)是ejn的函数，而ejn 是以2为周期的函数，并且由于序列在时域上是非周期的，因而，序列的频谱是周期的连续频谱。同时X(ej)是 的复函数，可进一步表示为,(4.5),(,),(,),(,),(,),(,),w,w,w,j,w,w,j,j,j,j,j,e,X,j,e,X,e,e,X,e,X,Im,Re,+,=,=,4.1 序列的傅里叶变换,其幅度谱如图4.1所示,图4.1 序列及其幅谱图,4.1 序列的傅里叶变换,序列傅立叶变换存在的条件由于序列的傅里叶变换是单位圆上的z变换，序列的z变换在单位圆上必须收敛是序列傅里叶变换存在的条件，即上式表明，序列傅里叶变换存在的条件是：序列必须绝对可和。(充分条件),4.1 序列的傅里叶变换,例4.1 求出下列序列的傅里叶变换。x2(n)=(n+3)-(n-4)解:,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,目的:找出连续信号与离散信号各种变换的关系变换关系的纽带:冲激抽样信号 沟通连续和离散信号的桥梁,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,1.冲激抽样信号的拉氏变换Xs(s)与连续信号的拉氏变换Xa(s)之间关系：拉氏变换的指数形式为周期为T的周期冲激信号傅氏级数的表达式(周期延拓)为,见例2.12的证明,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,为采样角频率，则冲激抽样信号可表示为可导出冲激抽样信号拉氏变换的另一种形式,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,由此，可得到冲激抽样信号的拉氏变换有指数级数与周期延拓表示的两种等价表达式。即,(,),(,),(,),-,=,-,=,-,W,-,=,=,m,s,a,n,snT,a,s,jm,s,X,T,e,nT,x,s,X,1,(4.14),4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,2冲激抽样信号的拉氏变换Xs(s)与抽样序列的z变换X(z)之间关系z与s变量之间的映射关系z=esT，若离散时间信号为抽样序列，即x(nT)=x(n)，并引入z=esT时，得到序列z变换为,上式表示，z变换可以看成沖激抽样信号的拉氏变换由s平面映射到z平面的变换。,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,3冲激抽样信号的拉氏变换Xs(s)与其傅氏变换Xs(j)之间的关系为由s=+j，若=0，而且拉氏变换收敛域包含虚轴时，则虚轴上的拉氏变换即为其傅氏变换，或者说，冲激抽样信号的傅里叶变换是其在虚轴上的拉氏变换。,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,4冲激抽样信号的傅氏变换Xs(j)与连续时间信号的傅氏变换Xa(j)之间：冲激抽样信号傅氏变换的指数级数的形式，以及连续时间信号的傅里叶变换Xa(j)的周期延拓形式，对沖激抽样信号而言是等价的，表示为,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,5激抽样信号傅氏变换的指数形式与序列的傅里叶变换表达式：两相比较，若序列为抽样序列，有：x(n)=xa(nT)，而且数字角频率与模拟角频率，满足=T，则相应频率点上的频谱值相等。,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,6序列z变换X(z)与序列傅里叶变换X(ej)之间：序列的傅里叶变换X(ej)为X(z)在单位圆上的特例。,4.2傅氏变换、拉氏变换与z变换的关系,把上述分析的结论，用图来形象地描绘如下：,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),-,=,-,W,=,-,=,W,-,-,=,=,W,=,-,=,-,=,=,-,=,-,-,=,=,=,W,=,W,-,W,=,=,=,W,-,n,jn,j,T,n,Tn,j,a,s,m,s,a,e,z,j,s,n,n,e,z,nT,x,n,x,n,sTn,a,s,m,s,a,e,n,x,e,X,e,nT,x,j,X,jm,j,X,T,z,n,x,z,X,e,nT,x,s,X,jm,s,X,T,j,sT,a,w,w,w,w,1,1,此图非常清晰地表明了：冲激抽样信号是沟通离散信号与连续信号各种变换的桥梁。,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,4.3.1 傅里叶变换在时域和频域中的对称规律一连续非周期信号，由前述，其傅里叶变换（频谱）Xa()是非周期的连续谱，时域上的非周期对应频域上的连续，或频域上的连续对应时域上的非周期，由此可以得到时、频域的第一个对称规律：时域上的非周期将产生频谱的连续，或者说，频域的连续导致时域的非周期总之一个域中函数的连续对应另一个域的非周期。如下图4.4（a）所示,图4.4 信号在时、频域中的对称规律,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,如图4.4（b），一周期信号xp(t)，其频谱是离散谱Xpk1)。可以从另一个角度来理解：Xp(k)正是对图4.4（a）中的频谱Xa()以采样频率1进行抽样，即频域被离散化，则在时域上产生单周期信号xa(t)的周期延拓，延拓周期为T1=21，形成周期延拓波形xp(t).时、频域的第二个对称规律：时域上的周期化将产生频谱的离散化，或者说，频域的离散化导致时域的周期化，总之，一个域的离散化对应另一个域的周期化。,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,各种信号傅里叶变换在时域、频域上对称性的一规律可概括归纳为：1 在某一个域（时域或频域）中是连续的，相应地在另一个域（频域或时域）中肯定是非周期性的。2 在某一个域（时域或频域）中是离散的，相应地在另一个域（频域或时域）中肯定是周期性的。上述规律是由傅里叶变换的对称性（对偶性）所决定的。,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,4.3.2 离散傅里叶级数DFS对于连续周期函数x p(t)，有对x p(t)进行抽样，变成了离散时间周期信号x ps(nT)或x p(n)（以抽样序列x p(n)为例），周期序列在时域可用复指数序列形式的傅里叶级数来表示，将t=nT、代入上式中，得,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,从而有记作由于复指数序列的周期性，显然有,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,由上述分析可知：周期离散信号在时、频域上均为周期序列，根据周期信号的特点，当k变化一个N的整数倍时，得到的是完全一样的序列，所以，一个周期序列可以表示成一个有限项（N项）指数序列分量的叠加（即用任一个周期的序列情况，可以描述、代表所有其他周期序列的情况），则,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,习惯上表示为上式就是离散傅里叶级数（DFS）的定义式，是反变换的概念。根据反变换的表达式来导出正变换Xp(k)的解析表达式,(,),(,),-,=,=,1,0,2,1,N,k,kn,N,j,p,p,e,k,X,N,n,x,p,4.3 离散傅里叶级数（DFS）,傅里叶级数的正变换以符号DFS表示，离散傅里叶级数的反变换，符号IDFS表示，写成为表达简洁,引入符号,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,4.4.1 离散傅里叶变换DFT定义式 对于一个周期为N的周期序列xp(n)，把它的第一个周期的有限长序列定义为这一周期序列的主值序列，用x(n)表示,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,周期序列X p(k)、x p(n)换成主值序列X(k)、x(n)，这样就得到了两个有限长序列的变换对，并表示为式（4.35）称为离散傅里叶正变换，以符号DFT表示，式（4.36）是离散傅里叶反变换，以符号IDFT表示,(,),(,),(,),(,),(,),(,),),36,.,4,(,1,0,1,),35,.,4,(,1,0,1,0,1,0,-,=,=,-,=,=,-,=,-,-,=,N,n,W,k,X,N,k,X,IDFT,n,x,N,k,W,n,x,n,x,DFT,k,X,N,k,kn,N,N,n,kn,N,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,DFT，IDFT可简写为:式中，X(k)与x(n)分别为N 行的列矩阵，而Wnk 与W-nk分别为N N 的对称方阵。例4.2 用矩阵形式求矩形序列x(n)=R4(n)的DFT，再由所得X(k)经IDFT求x(n)，验证所求结果的正确性。,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,4.4.2 离散傅里叶变换DFT与序列傅里叶变换的关系设一有限长序列x(n)长度为N点，其z变换为因序列为有限长，满足绝对可和的条件，其z变换的收敛域为整个z平面，必定包含单位圆，则序列的傅里叶变换为,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,现以 为间隔，把单位圆（表示为ej）均匀等分为N个点，则在第k个等分点由上式可以得出：有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的z变换（即序列傅里叶变换）在单位圆上以为间隔 的抽样值，参见下图。,4.4 离散傅里叶变换（DFT）,DFT与序列傅里叶变换对比,4.5 离散傅里叶变换的性质,1线性特性若:X(k)=DFTx(n),Y(k)=DFTy(n)则DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k)式中，a、b为任意常数。如果两个序列的长度不相等，以最长的序列为基准，对短序列要补零，使序列长度相等，才能进行线性相加，经过补零的序列频谱会变密，但不影响问题的性质。,4.5 离散傅里叶变换的性质,2.时移特性（1）圆周移位圆周移位也叫循环移位，简称圆移位。它是序列的这样一种移位：将一有限长序列x(n)，进行周期延拓，周期为N，构成周期序列x p(n)，然后对周期序列x p(n)作m位移位处理得移位序列x p(n-m)，再取其主值序列（x p(n-m)与一矩形序列RN(n)相乘），得x p(n-m)R N(n)，就是所谓的圆周移位序列。,4.5 离散傅里叶变换的性质,4.5 离散傅里叶变换的性质,4.5 离散傅里叶变换的性质,4.5 离散傅里叶变换的性质,2.圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列:x(n)。,4.5 离散傅里叶变换的性质,4.5 离散傅里叶变换的性质,（2）时移定理所谓时移定理是指：若DFT x(n)=X(k)则DFT xp(n-m)RN(n)=时移定理表明：序列在时域上圆周移位，频域上将产生附加相移。,4.5 离散傅里叶变换的性质,3 频移特性若DFT x(n)=X(k)则并上述特性表明：若序列在时域上乘以复指数序列，则在频域上，X(k)将圆周移位l 位，这可以看作调制信号的频谱搬移，因而又称“调制定理”。,4.5 离散傅里叶变换的性质,4圆周卷积特性（1）时域圆周卷积若对N点的序列有X(k)DFT x(n),H(k)DFT h(n),Y(k)DFT y(n)，Y(k)=X(k)H(k)则 若x(m)保持不移位，则 正是圆周 移位，故称 为圆周卷积。即,（2）频域圆卷积若：y(n)=x(n)h(n)则：,DFT变换的性质,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),-,=,-,=,-,=,-,=,1,1,1,1,N,m,N,m,m,n,y,m,x,m,n,y,m,x,k,Y,k,X,IDFT,反褶循环移位相乘相加,也是一种卷积!为了突出新“卷积”与“旧”卷积的不同,同时也为了突出它们之间的相同,称过去传统的卷积为线卷积,而称此“新卷积”为序列的圆周卷积，简称圆卷积。,(,),(,),(,),(,),-,=,-,=,1,0,N,m,m,n,y,m,x,n,y,n,x,频域卷积,(,),(,),(,),(,),k,Y,k,X,N,n,y,n,x,DFT,=,1,编程实现容易,4.5 离散傅里叶变换的性质,5奇偶性（1）实数序列设x(n)为实序列，X(k)DFT x(n)，则可知：X(k)的实部为k的偶函数，X(k)的虚部是k的奇函数。,4.5 离散傅里叶变换的性质,X(k)的幅度和相位分别为设x(n)是实序列，其DFT可写成,4.5 离散傅里叶变换的性质,从而有由上述式子表明：实数序列x(n)的离散傅里叶变换X(k)，在0至N的范围内，对于N/2点，|X(k)|呈半周期偶对称分布，arg X(k)呈半周期奇对称分布。但由于长度为N的X(k)有值区间是0（N-1），而在式（4.53）中增加了第N点的数值，因此所谓的对称性并不是很严格。,4.5 离散傅里叶变换的性质,（2）复数序列对于共轭复数序列。若有限长序列x*(n)是x(n)的共轭复数序列，并设,4.5 离散傅里叶变换的性质,则利用式（4.57）、（4.58）可以计算出一个N点复序列DFT的同时，计算出两个N点实序列的DFT。,4.5 离散傅里叶变换的性质,6 帕斯瓦尔定理若X(k)DFT x(n)则上式左端代表离散信号在时域中的能量，右端是代表在频域中的能量，表明变换过程中能量是守恒的。,计算DFT的快速算法-FFT,计算DFT的计算量：每算一个X(k)，需要N次复数乘法，N-1次加法。因此，N点DFT需要N*N次复数乘法，N(N-1)次复数加法。,直接计算DFT的复杂度为O(N2),尽管预先算好并保存旋转因子 WNk 可以节省部分运算，但按定义求DFT的运算量仍然很大。,4.6 快速傅里叶变换（FFT）,4.6.1 DFT直接运算的问题和改进思路1DFT直接运算的工作量直接对DFT进行计算的基本问题是运算量大，很难实现信号的实时处理，如某序列x(n)，N 4，则序列x(n)的DFT为,4.6 快速傅里叶变换（FFT）,若要求X(k)的N=4个值，复数乘的次数：N2=42=16，复数加的次数：N(N-1)12，这样简单的DFT计算，其计算量已经不小。如果N=210=1024，则复数乘的次数：N2=1,048,576，复数加次数：N2=1,048,576，难以实现信号的实时处理，若N大大增加，运算量也会随之大大增加，实时处理几乎就变得不可能了，因此必须改进DFT的算法。,4.6 快速傅里叶变换（FFT）,2改进思路DFT的定义式为（1）的周期性（2）的对称性,4.6 快速傅里叶变换（FFT）,将上述（1）、（2）中的结果，代入矩阵W，可以简化为（）矩阵W中，许多元素是相等的，可明显减少计算量。（）由于运算量正比于N2，因此可以把大点数（大N）DFT的计算化为小点数（如N/2），又可进一步地把DFT计算量大幅度减下来。综合应用上述的改进思路，实现傅里叶变换的快速计算的算法，就是快速傅里叶变换，FFT（Fast Fourier Transform）。,FFT的原理,特别说明：FFT是DFT的快速算法，不是新的变换方法。其算法基础是：W的两个性质。1.W具有周期性2.W具有对称性,经过周期性与对称性简化之后,容易发现DFT运算中存在着不必要的重复计算,避免这种重复,是简化运算的关键.,N点DFT运算可以分解为两组N/2点DFT运算，然后再取和。,DFT的复杂度与点数N有关！,4.6 快速傅里叶变换（FFT）,4.6.2 基2按时间抽取的FFT算法（时析型）1算法原理“基2”序列x(n)，设：N=2 M（M为整数），如果N不是2的幂次，应在序列后面补零到2 M，这是“基2”的意思。随后按照n的奇偶性以及时间的先后抽取序列值，把序列分成奇数序号与偶数序号两组序列之和（大点数化为小点数），这也就是所谓的“按时间抽取”的基本含意。,FFT的原理,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),1,2,2,1,0,1,2,2,1,2,2,1,2,2,1,2,0,2,1,2,0,2,1,2,0,2,1,2,0,2,n,n,-,=,+,=,=,+,+,=,+,+,=,+,=,-,=,-,=,-,=,-,=,N,r,r,x,r,z,r,x,r,y,W,r,x,W,W,r,x,W,r,x,W,W,r,x,W,n,x,W,n,x,k,X,N,r,rk,N,k,N,N,r,rk,N,N,r,rk,N,k,N,N,r,rk,N,nk,N,nk,N,L,奇数,偶数,FFT的原理,注意Y(k)与Z(k)的周期是N/2!,FFT的原理,于是，N点X(k)可用N/2点的Y(k)和Z(k)来计算：,FFT的原理8点示例,8点DFT 4点DFT（先按奇偶序分组，再求4点DFT）,FFT的原理8点示例,FFT的原理8点示例,FFT的原理8点示例,逐级迭代计算FFT,就地置换无需缓存,FFT的流程图,FFT的蝶形运算单元,一个蝶形单元只需一次复数乘法和两次复数加法,FFT算法流程说明,全部计算分解为M级，或称为M次迭代。,输入序列x(n)按码位倒读顺序排列，输出序列X(k)按自然顺序排列。,每级都包含N/2个蝶形单元。,FFT算法流程说明,每级的若干蝶形单元组成“群”。第1级群数为N/2，第2级群数为N/4，第i级群数为N/2i，最后一级的群数为1。,每个蝶形单元都包含乘Wnk与-Wnk的运算（可简化为乘Wnk与加、减法各一次）。,同一级中，各个群的W分布规律完全相同,FFT算法流程说明,FFT算法流程说明,码位倒读,输入序列x(n)的排列次序不符合自然顺序。此现象是由于按n的奇偶分组进行DFT运算而造成的，这种排列方式称为“码位倒读”的顺序。,所谓“倒读”，是指按二进制表示的数字首尾位置颠倒，重新按十进制读数。,FFT算法流程说明,码位倒读示例（N=8）,FFT算法的复杂度,