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数与代数核心概念理解与实例分析,大名县教师进修学校赵金聚,数感的理解与实例分析符号意识的理解与实例分析 运算能力的理解与实例分析 推理能力的理解与实例分析 建模思想的理解与实例分析 结果性目标的理解与实例分析 过程性目标的理解与实例分析,数感的理解与实例分析,一、数感的含意 标准对数感的表述:“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。”,数感的理解与实例分析,1、是数的理解与表示。2、要恰当地运用数解决问题。,数感的理解与实例分析,【案例 1】1 分组活动加深培养学生的数感 把班级的学生分为六个小组，每两个小组承担下面任务之一：A 组通过调查说明：1000 是一个不大的数；B 组通过调查说明：1000 是一个不小的数；C 组通过调查说明：1000 是一个很大的数。课前引导每一个小组制订调查计划，并且在课前完成调查。在综合与实践课上，让每一小组介绍调查的结果，并且发表感想。无论是制订计划还是发表感想，教师都应当加强指导。比如，学生可以制订下面的计划、发表相应的感想：,数感的理解与实例分析,2 拓展事例加深培养学生的数感 在上面讨论的基础上，进一步引发学生脱离 1000 这个具体的数，思考一些与“数感”有关的实际问题。比如，商场举行让利促销的活动，引发学生思考：如果是几千元的产品，合适的让利单位应当是多少？如果是几百元的产品，合适的让利单位应当是多少？如果是几十元的产品，合适的让利单位应当是多少？,数感的理解与实例分析,【案例 2】下面的一些问题，可能有助于培养学生数感的形成。1.判断：18+9 比 30 大还是小？1/2+3/8 比 1 大还是小？27%、1/4、0.23 哪个最大，哪个最小？2.如何解释学生这样的回答题目：池塘里有一些鸭子，跑到草地上 6 只，池塘里还剩下 8 只，原来池塘里有多少只？学生答：14-6=8，原来池塘里有 14 只鸭子。,数感的理解与实例分析,二、数感在数学学习中的价值 1、数感是学生对数的理解的重要标志2、学习数感要培养学生感悟数与现实背景的关系 3、数感是运算、解决问题等的基础4、在教学中都要使学生积累活动经验，在活动中感受数的大小,数感的理解与实例分析,三、教学中体现数感的案例分析,符号意识的理解与实例分析,一、符号意识的含意 标准中关于符号意识的表述：符号意识主要指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性,符号意识的理解与实例分析,1、要理解符号的意义2、运用符号表示对象是代数表达式所必须，也是从算术思维到代数思维所必须运用的 3、使用符号进行运算和推理，得到一般结论，如公式、定律的推理表示,符号意识的理解与实例分析,【案例 1】用字母表示数 在教材的呈现和教学过程中都有用字母表示数，帮助学生建立符号意识。教材中有(1)、(2)两种方式对比教材(1)中，直接给出字母表示数的公式，这种呈现方式简单明了，但是学生没有看到数字抽象成字母的过程,符号意识的理解与实例分析,教材2,符号意识的理解与实例分析,符号意识的理解与实例分析,1 符号表达 2 解释算理、要一般性的解释一种规则，必须借用符号,符号意识的理解与实例分析,二、符号意识在数学学习中的价值 建立符号意识有助于学生理解符号，符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式 1、是数学表达：从数量到数（如从四只羊，四个轮子，四条腿到“4”），从数到字母，从语言到符号表达方式的改变（两个数相加，调换加数的位置得数不变)，抽象程度是不断提高的。2、是数学思考：从形象思维到抽象思维，从算术思考到代数思考,符号意识的理解与实例分析,三、教学中体现符号意识的案例分析【案例 2】2 唱儿歌数青蛙 一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；让学生边拍手边有节奏地哼唱着，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多的数不清。这时赵老师问：“还能唱吗？”学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，提出问题：这是一首永远唱不完的儿歌，你能想办法把它唱完吗？,符号意识的理解与实例分析,学生在练习纸上填：生 1：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。生 2：a 只青蛙 b 张嘴，c 只眼睛 d 条腿。生 3：a 只青蛙 a 张嘴，b 只眼睛 c 条腿。生 4：a 只青蛙 a 张嘴，aa 只眼睛 aaaa 条腿。生 5：a 只青蛙 a 张嘴，2a 只眼睛 4a 条腿。,符号意识的理解与实例分析,1.为学生提供恰当的情境 2.在过程中体验字母表示数的重要性3.学生逐步理解字母表示数的意义和价值从而加强学生的符号意识,运算能力的理解与实例分析,一、运算能力的含意 标准中指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。理解：正确地进行运算的能力 解决问题的过程中合理地运算、恰 当的运算,运算能力的理解与实例分析,【问题】为什么混合运算要先乘除后加减？在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号，先计算括号中的算式；没有括号，先计算乘除后计算加减 比如，用下面的两个例子来表示：,运算能力的理解与实例分析,【案例】1 通过故事理解先乘除后加减 教师讲故事：星期天小军和小明去超市买东西。小军要买1个书包和3本笔记本，书包每个 50 元，笔记本每本2元，小军应当交多少钱？小明买了半斤李子，李子4元钱1斤，小明交了5元钱，应当找回多少钱？,运算能力的理解与实例分析,2讲述先乘除后加减的故事 老师在黑板上写出一个算式：要求同学们先讲述一个表达这个算式的故事，然后再计算这个算式,运算能力的理解与实例分析,3运算律的运用：认识交换律与结合律的重要性，能够理解与运用。4正确进行运算的能力：正确运算是重点，教学中应该注意重点是准确，不是速度。,运算能力的理解与实例分析,二、运算能力在数学学习中的价值 1运算能力是重要的基本技能，是“四基”的重要组成部分 2在教学中运算能力的培养包含很广泛，比如精算、估算与估计的区别与选择 3运算能力是解决问题和学习其他数学内容学习的基础。4运算能力也是一种数学思考。,运算能力的理解与实例分析,三、教学中体现运算能力的案例分析,【案例】于萍老师教学小数加减法一课。在这节课中，于老师就是借助学生已有的认知基础和生活经验，帮助学生理解小数加减法的算理。当时，于老师让学生自主进行编题，其中就有一名学生编出了一道，这种类型将要揭示的“小数点对齐”是本节课的重点所在，也是小数加减法总结算法的重要时机。但为了让学生有机会调动已有的整数加减法的认知经验，经历判断、推理、抽象的思维过程，于老师让每个学生自己试做，并说明自己这样做的道理。我们来看师生间的对话，细细品味：师：你们以前做过很多很多加减法题，无一例外的都是把末位的两个数字对齐，可这道题为什么不末位对齐呢？生：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相同的，所以不能末位对齐。师：你们虽然没把末位对齐，但把谁对齐了？生：把小数点对齐，也就是相同数位对齐。师：你看得很深、很准，这样做肯定有这样做的道理。可为什么一定要小数点对齐、要相同数位对齐呢？生1：如果不对齐算出来就错了。生2：如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位的.就和百分位的.对齐了，相加之后肯定就不对了。生3：我举个例子说吧，比如买两样东西，一个是 0.8 元，另一个 3.74 元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，那肯定不对了。师：我们研究同一个问题时可以从不同角度研究，可以讲道理也可以举例子。刚才这道题，就有同学想到了用我们都熟悉的“元角分”举例子来解释，简单的事说明了深奥的道理，你真棒！看来只有相同计数单位的个数才能够相加减。,【案例】理解把握学生出现的错误 数学教师的 PCK 题目：一位学生计算 26*53 时，其竖式如下：,你怎样向学生解释他的错误？把你向学生解释的语言写在下面。从案例中可以看出老师应该了解学生在学习中可能出现的错误，能够分析学生出现错误的原因并能给学生恰当的指导,推理能力的理解与实例分析,一、推理能力的含意 标准对推理的表述是：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论,推理能力的理解与实例分析,合情推理和演绎推理两个方面同等重要 1 合情推理：归纳与类比 小学数学中的合情推理：运算律的归纳 过程：分数基本性质和小数基本性质：0.3=0.30=0.300 三角形内角和是 180 度,推理能力的理解与实例分析,2 演绎推理：小学数学中也有通过演绎推理来阐述的一些问题，简单来说“三段式”说理过程，也符合演绎推理 1、判断长方形、正方形是不是平行四边形，并说出理由 2、凡是奇数都不能被 2 整除，为什么？3、根据 369=4 很快说出 3600900 的商，并说出根据,推理能力的理解与实例分析,以上的例子中，“说出理由”、“说出根据”、“说出为什么”、“你为什么要这样计算”、“你为什么要这样列式”这些提问，大前提是什么，小前提是什么，最后得到什么结论，都体现了学生的演绎推理能力,推理能力的理解与实例分析,二、推理能力在数学学习中的价值 1 推理是数学思考的重要形式2 学会推理是数学素养的基本表现3 推理能力的培养应贯穿数学教育的始终,推理能力的理解与实例分析,三、教学中体现推理能力的案例分析【案例 1】关于约分的争论吴正宪老师在教学约分时出示了这样一道题：判断 是不是最简分数,推理能力的理解与实例分析,学生 A：是最简分数。可以化成假分数，4 和 3 是一对互质数，根据“分子分母互质的分数叫做最简分数”的规定，可以确认 是最简分数。学生 B 不服气：4 和 3 虽然是互质数，但是你可别忘记 是个假分数。因此，我认为 不是最简分数。（显然，假分数在这里出现负面影响，同学们对最简分数的内涵还欠缺本质的理解，把假分数与最简分数这两个不相关的概念扯到了一起。）,推理能力的理解与实例分析,此时，吴老师没有急于揭露问题的实质，而是站在一旁表现出若有所思的神情：“是啊，谁对谁错呢？我建议你们双方查找资料或请教他人，用科学的依据来阐述自己的观点。”讨论又一次推向高潮。有的同学急于打开课本寻求支持，有的则三一群，俩一伙地讨论开来,学生 A 一方显然有些激动：请问对方，什么叫最简分数？学生 B 一方对答如流：分子分母互质的分数叫最简分数。学生 A：的分子分母是不是互质数，请回答。学生 B：是。学生 A：既然符合最简分数的规定，你们为什么反对？这时又站出一个学生 C：我认为 不是最简分数，因为它不是真分数。学生 A 一方来了情绪：谁告诉你最简分数必须是真分数？哪本书上有这个规定？全班同学向学生 A 投去赞许的目光。学生 C 底气已不足，皱起眉头，陷入了沉思。,始终在一旁观阵的学生 D 不失时机地站起来坚定地说：“我断定 是最简分数。教材上并没有规定最简分数必须是真分数或假分数。只要符合分子分母互质这个条件就可以。”课堂上响起了掌声。吴老师笑着说：“你们高水平的辩论真可以和中央电视台举办的大学生辩论会一比高低。”同学们开心地笑了。,吴 老师接着说：“今天的辩论不仅搞清了 是不是最简分数，更重要的是我们从同学们各方的发言中学到了很好的学习方法。一是学会查资料，寻求理论依据；二是从概念的定义出发去判断事物。最重要的是通过争论碰撞，我们大家都从同伴的身上学到了乐于思考，勇于挑战，善于学习的态度和技巧。”吴 老师又走到学生 B 跟前，抚摸着他的头，幽默地说：“许多事情好像都是人为约定俗成的。不过，如果今后你发明一项规定：只有真分数的分子、分母互质时，方可称为最简分数。说不定教材就变了呢？我们大家期待你的发明。”同学们笑了，吴老师笑了，听课的老师们笑了，笑得那么和谐,【案例 2】这是在教学商不变的性质时的一个插曲，在学生初步总结出规律后，吴老师抛出了这样的问题：师：这个性质对所有的除法算式都适用吗？你们有没有对其它算式进行试验呢？（同学们心领神会，拿起笔，用不同的算式开始了验证。）生：在 84 2，168 2，8040 2，800400 2 中也发现了相同的规律。以第 1 题为标准，后面 3 道题的被除数和除数分别扩大了 2 倍、10 倍、100 倍，商不变；以第 4 题为标准，前面 3 道题的被除数和除数分别缩小了 10 倍、50 倍、100 倍，商也没变。（教师将这组题也板书在黑板上，还有同学举出了不同的例子，也验证了这个规律。）,生：老师，我有一个问题，126 也等于 2，与 84 2 这两道题之间符合这个规律吗？两道题的商没变，被除数和除数是怎么变化的呢？师：问题提得好，谁能来帮忙解释？（她充满信任的目光注视着班里的每一个人，也鼓舞着班里的每一个人。）生：我觉得符合这个规律，被除数和除数都同时扩大了，只不过不是整数倍。师：你能说说是多少倍吗？生：是一倍半吗？师：对了，就是一倍半。你真聪明，看到了被除数和除数同时扩大了 1.5 倍，这道题同样符合这个规律，今后的学习，我们会接触到这个问题，那时就会更加理解了。生：（这是一个男同学高高的举起了手，急切的说）我还发现了一个问题，在我们刚才总结的规律中我认为要把“0”除去，这样才严密。师：同意他的说法吗？同学们不由自主的为他鼓起掌来。,推理能力的理解与实例分析,数学推理随处可见培养推理可以是老师故意设疑课堂教学中不要害怕出现难题和疑问推理与说理密切相关，推理不一定都严格是三段式，很多情况下是隐含大前提，小前提和结论培养合情推理能力的重要性，合情推理是用归纳类比来培养学生数学的思考。合情推理的最重要价值就是用于数学的探索，往往发现一个数学规律是合情推理，验证一个结论使用演绎推理。培养创新和创造都是从看到一些个别事实看它是否符合一般规律，从个别事实到一般规律就是归纳，有了猜想，然后反过来证明。,推理能力的理解与实例分析,教学过程中发现推理能力也是随处可见，只要我们认认真真去思考，有意识培养学生思考的推理能力。我们老师在实际教学中也有很多这种类似的案例，我们有意识地把它和学生的推理、说理能力联系起来，这样学生思考能力就会得到很好地发展,建模思想的理解与实例分析,一、模型思想的含意 标准对建模思想的表述是：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义,建模思想的理解与实例分析,小学涉及到的基本模型:总量模型和路程模型,植树模型,工程模型,建模思想的理解与实例分析,二、模型思想在数学学习中的价值 1 模型思想有助于学生理解数学的价值(从具体情境到实际模型的过程让学生体会数学和外部世界的联系，体会数学与生活的联系)2 建立模型的过程有助于学生体会数学基本思想(建模是重要的数学思想,数学的本质是构建模型解决现实和数学本身的问题，如方程、函数）3 通过建模可以改善学生的学习方式（情境，活动，合作等方式的体现）,建模思想的理解与实例分析,三、教学中体现模型思想的案例分析,建模思想的理解与实例分析,建模思想的理解与实例分析,建模思想的理解与实例分析,【案例 2】这个案例是许卫兵老师在课程教材教法文章里边的一个部分，这里他介绍了建模的两个例子 第一幅图有五个小朋友在浇花，第二幅图有两个小朋友去提水，剩下三个小朋友,教学片段1,建模思想的理解与实例分析,教学片段2出示一个情境图 师：谁能说一说第一幅图，你看到了什么？生：有五个小朋友在浇花 师：谁能说一说第二幅图，你看到了什么？生：有两个小朋友去提水师：能把这两幅图的意思连起来说说吗?生：有五个小朋友在浇花，走了两个，还剩三个 师：同学们观察的很仔细，说的也很好。那么你们能根据这两幅图的意思提出一个数学问题吗？生：有五个小朋友在浇花，走了两个，还剩几个？,建模思想的理解与实例分析,师：大家一起用小圆片代替小朋友将这个过程摆一摆 老师在这里看学生摆的情境，然后五个小朋友在浇花，走了两个 老师说明这个情境，有五个小朋友在浇花，走了两个，还剩三个。从五个小圆片中拿走两个，还剩三个。都可以用同一个算式 5-2=3,如何在三年级“初步认识小数”,建模思想的理解与实例分析,模型思想不仅是在建立模型时运用，而且在理解一些数学概念时，借助于模型与它的关系也对学生理解把握数是重要的。同时这个模型也和几何直观有关系，通过几何方式来理解数也是一种模型。所以数学中很多思想和概念之间相互联系是密切的，只要我们去把握，在教学中不断地去探索，就能够使学生对数学的学习有很好的理解和把握,结果性目标的理解与实例分析,标准的目标结构是：总体目标领域目标学段目标，标准通过具体内容的选择和安排体现了这些目标。在课程内容的表述上使用了两类目标要求，一类是结果性目标：用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述不同水平；另一类是过程性目标：用“经历、体验、探索”等术语表述学习活动过程的不同程度。,结果性目标的理解与实例分析,一、“数与代数”领域中结果性目标的理解（一）了解 了解的含义是：从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。与“了解”意义相同的词为“初步认识”,结果性目标的理解与实例分析,第一学段“数与代数”了解的内容：1知道用算盘可以表示多位数。2能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数。3在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。4认识年、月、日，了解它们之间的关系。,结果性目标的理解与实例分析,第二学段“数与代数”了解的内容：1在具体的情境中，认识万以上的数。2会进行小数、分数和百分数的转化。3会用负数表示日常生活中的一些量。4认识中括号。5会应用运算律进行一些简便运算。6认识成正比例的量和成反比例的量。7会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。,结果性目标的理解与实例分析,（二）理解 理解的含义：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。与理解意义相同的词：“认识”和“会”,结果性目标的理解与实例分析,第一学段“数与代数”理解的内容：1在现实情境中理解万以内数的意义，理解各数位上的数字表示的意义。2理解符号，的含义。3认识小括号。4会进行同分母分数（分母小于 10）的加减运算以及一位小数的加减运算。5在现实情境中，认识元、角、分。6认识年、月、日。,结果性目标的理解与实例分析,第二学段“数与代数”理解的内容：1在具体的情境中，认识万以上的数。2会进行小数、分数和百分数的转化。3会用负数表示日常生活中的一些量。4认识中括号。5会应用运算律进行一些简便运算。6认识成正比例的量和成反比例的量。7会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。,结果性目标的理解与实例分析,（三）掌握 掌握的含义是：在理解的基础上，把对象用于新的情境。与掌握意义相同的词：“能”,结果性目标的理解与实例分析,第一学段“数与代数”掌握的内容：1能认、读、写万以内的数。2能熟练地口算 20 以内的加减法和表内乘除法。3能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数。4能进行简单的整数四则混合运算。5能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算。,结果性目标的理解与实例分析,第二学段“数与代数”掌握的内容：1能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。2能比较小数的大小和分数的大小。能分别进行简单的小数、分数（不含带分数）加、减、乘、除运算及混合运算。3能解决小数、分数和百分数的简单实际问题。4能用方程表示简单情境中的等量关系。5能用等式的性质解简单的方程。,结果性目标的理解与实例分析,（四）运用 运用的含义是：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。与运用意义相同的词：“证明”（小学不涉及）。第一学段“数与代数”运用的内容：能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义做出解释。第二学段“数与代数”运用的内容：会应用运算律进行一些简便运算。,结果性目标的理解与实例分析,二、“数与代数”领域中结果性目标相关内容的教学要求（一）按相应水平的要求确定教学目标 以 20 以内退位减法为例：标准中的要求是“能熟练地口算 20 以内的加减法”。“能”是掌握水平，在使学生通过学习达到这一水平。（二）内容分析与学情分析 学习 20 退位减法时，要了解这一内容的数学本质和学生学习可能存在的问题。这里的数学本质是加法的逆运算和退位的实质。学情分析主要是学生的思考与方法。（三）设计合理的教学方式,过程性目标的理解与实例分析,一、“数与代数”领域过程性目标的理解（一）经历“经历”的含义是：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。与经历意义相同的词：感受，尝试。,过程性目标的理解与实例分析,第一学段：“数与代数”经历的内容：1在生活情境中感受大数的意义。2在现实情境中感受并认识克、千克、吨。3经历与他人交流各自算法的过程。,过程性目标的理解与实例分析,第二学段：“数与代数”经历的内容：1在现实情境中感受大数的意义，并能进行估计。2经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。,过程性目标的理解与实例分析,（二）体验“体验”的含义是：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。与体验意义相同的词：体会。第一学段“数与代数”体验的内容：1结合具体情境，体会整数四则运算的意义。2结合自己的生活经验，体验时间的长短。第二学段“数与代数”体验的内容：在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系。,过程性目标的理解与实例分析,（三）探索“探索”的含义是：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。第一学段“数与代数”探索的内容：探索简单情境下的变化规律。,过程性目标的理解与实例分析,第二学段“数与代数”探索的内容：1探索并了解运算律。2能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律.3探索给定情境中隐含的规律或变化趋势。,