平面弯曲梁的刚度与强度计算.ppt

第8章 平面弯曲梁的强度与刚度计算,8.1 纯弯曲时梁的正应力,8.2 常用截面二次矩 平行移轴公式,8.3 弯曲正应力强度计算,8.4 弯曲切应力简介,8.5 梁的弯曲变形概述,8.6 用叠加法求梁的变形,小结,8.1.1 纯弯曲试验,8.1 纯弯曲时梁的正应力,一矩形等截面简支梁AB，其上作用两个对称的集中力F。加载前，在CD段表面画些平行于梁轴线的纵向线和垂直于梁轴线的横向线。加载后，由剪力图和弯距图可知AC、DB两段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为横弯曲（或称剪切弯曲）。,在中间段CD段内的各横截面上，只有弯矩，没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。,8.1 纯弯曲时梁的正应力,纵向线弯曲成圆弧线，其间距不变。凸边的纵向线伸长，凹边的纵向线缩短。横向线仍为直线，但相对转过一个微小角度，并与纵向线垂直。梁的高度不变，而梁的宽度在伸长区内，有所减少，在压缩区内，有所增大。,8.1 纯弯曲时梁的正应力,根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：平面假设：梁变形后，其横截面仍保持为平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着截面上某一轴转过一个角度。,单向受力假设：梁是由无数条纵向纤维组成，各纤维之间互不挤压（即梁的纵向截面上无正应力作用），处于单向拉伸或压缩状态。,结论：由以上假设可知，因梁变形后的横截面仍与纵向线垂直，所以切应变为零，横截面上无切应力，而只有正应力。梁纯弯曲变形时，其内凹一侧的纤维层缩短；外凸一侧的纤维层伸长。二者交界处必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。中性层是梁内受拉区与受压区的分界面、是横截面上拉应力与压应力的分界线。中性轴上各点的正应力等于零，梁变形时各横截面均绕中性轴作相对转动。,8.1 纯弯曲时梁的正应力,选取相距为dx的两相邻横截面m-m1和n-n1。,8.1.2 梁横截面上的正应力分布,设中性层O1O2曲率半径为，相对转动后形成的夹角为。,距中性层处的线应变为,（8.1）,8.1 纯弯曲时梁的正应力,8.1.2 梁横截面上的正应力分布,当正应力没有超过材料的屈服极限 时，,(8.2),8.1 纯弯曲时梁的正应力,8.1.3 梁的正应力计算,取一微面积dA，作用于dA上的微内力为。由于纯弯曲时，横截面上的内力分量只有弯矩M而无轴力，故横截面上所有微内力在x轴上投影的代数和应等于零。,称为截面对中性轴z的截面一次矩。因为,故有,所以,令,称为横截面对中性轴 z 的弯曲截面系数，单位为,8.1 纯弯曲时梁的正应力,（8.3）,又称惯性矩。,（8.4）,（8.5）,。,8.2 常用截面二次矩 平行移轴公式,8.2.1 常用截面二次矩,1矩形截面 设矩形截面的高为h，宽为b，过形心O作y 轴和 z 轴。取宽为b高为 的狭长条为微面积，,（8.6a）,（8.6b）,（8.6c）,（8.6d）,8.2 常用截面二次矩 平行移轴公式,（8.7b）,2.圆形截面与圆环形截面 设圆形截面的直径为d，y轴和z轴过形心O。取微面积，其坐标为y和z。,（8.7a）,对圆环形截面,（8.8a）,（8.8b）,8.2常用截面二次矩 平行移轴公式,8.2.2 组合截面二次矩 平行移轴公式,组合截面对轴的截面二次矩等于各组成部分对轴的截面二次矩的代数和。,(8.9),平行移轴公式,(8.10),图形对任意轴的截面二次轴矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的截面二次轴矩，加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。由此可知，对所有平行轴的截面二次矩中，以通过形心轴的截面二次矩为最小。此公式的应用条件为（1）两对轴必须互相平行。（2）其中x、y轴必须是过形心的轴。,8.2常用截面二次矩 平行移轴公式,8.2.2 组合截面二次矩 平行移轴公式,例8.1 一形截面，求其对中性轴的截面二次矩。,解 将形截面视为由矩形和矩形组成。（1）确定形心和中性轴的位置。,（2）求各组成部分对中性轴的截面二次矩,（3）T形截面对中性轴的截面二次矩为：,8.3 弯曲正应力强度计算,对于脆性材料,（8.12）,梁的强度条件可解决三类强度计算问题：校核梁的强度、设计梁的截面尺寸和确定梁的许用载荷。,梁的弯曲正应力强度条件为：,（8.11）,8.3 弯曲正应力强度计算,例 8.2 简支矩形木梁AB。跨度，承受均布载荷q=3.6 kN/m,木材顺纹许用应力。设梁横截面高度之比为，试选择梁的截面尺寸。,解 画出梁的弯矩图,可选取,8.3 弯曲正应力强度计算,例8.3 悬臂梁AB，型号为No.18号工字钢。已知许用应 力，,不计梁的自重，试计算自由端集中力F的最大许可值。,解 画出梁的弯矩图,由强度条件得,查手册得到No.18号工字钢弯曲截面系数P259,8.3 弯曲正应力强度计算,例8.5 已知T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸，已知铸铁抗拉许用应力，抗压许用应力。试校核梁的强度。,8.3 弯曲正应力强度计算,解（1）由静力平衡方程求出支座反力为,（2）画出梁的弯矩图,最大负弯矩在截面B上,（3）T形截面对中性轴的截面的二次矩为,为,（4）强度校核分别作出B截面和C截面的正应力分布图，因为，所以最大压应力发生在B截面的下边缘,8.3 弯曲正应力强度计算,分别计算C截面下边缘和B截面上边缘的应力，以确定最大拉应力所在位置。,在B截面上,在C截面上,补充例子：图a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中，b=2 m。铸铁的许用拉应力t=30 MPa，许用压应力 c=90 MPa。试求梁的许可荷载F。,解：最大负弯矩所在B截面处，若截面的上边缘处最大拉应力st,max达到st，则下边缘处最大压应力sc,max为 根据 可知此sc,max并未达到许用压应力sc，也就是说，就B截面而言，梁的强度由最大拉应力控制。,显然，B截面上的最大拉应力控制了梁的强度。,B截面：,C截面：,第四章 弯曲应力,当然，这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的，但即使考虑自重，许可荷载也不会减少很多。,于是由B截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应力st的条件来求该梁的许可荷载F：,由此得F19200 N，亦即该梁的许可荷载为F=19.2 kN。,第四章 弯曲应力,8.4 弯曲切应力简介,梁受横力弯曲时，横截面上不仅有与弯矩有关的正应力，同时还有由剪力引起的切应力。一般情况下，正应力是影响梁强度和变形的主要因素，按弯曲正应力强度计算即可满足工程要求。,以下情况，需要对梁进行弯曲切应力强度计算：1）跨距较短的梁；2）载荷较大且靠近支座附近的梁截面；3）腹板窄而高的组合梁；4）焊接、铆接、胶合的梁等。,一、矩形梁横截面上的切应力,1、公式推导：,8.4 弯曲切应力简介,Fs(x)+dFs(x),M(x),M(x)+d M(x),Fs(x),dx,s1,x,y,z,s2,t,t,由剪应力互等,8.4 弯曲切应力简介,t方向：与横截面上剪力方向相同；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。,8.4 弯曲切应力简介,max,最大切应力发生在最大剪力所在的横截面的中性轴上，梁的切应力强度条件为,t,t,一般在设计梁的截面时，通常先按正应力强度条件计算，再进行切应力强度条件校核。,8.4 弯曲切应力简介,例8.8 一简支梁长 l，矩形截面宽为b，其高度为h，受均布载荷作用。试求最大切应力与最大正应力之比。,（2）求出最大剪力和最大弯矩，由图可得,8.4 弯曲切应力简介,最大切应力与最大正应力之比等于梁的截面高度与跨度之比。,上式表明，在一般细长非薄壁截面梁中，最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比的数量级约等于梁的跨高比，故在一般细长梁中，弯曲正应力起控制强度的作用。,8.5 梁的弯曲变形概述,单杠和跳板都可视作梁，运动员借助梁的变形完成动作。但对有些梁在工作时是不允许产生过大弯曲变形的。例如起重机起吊重物后梁弯曲变形过大，会使其起重小车运行阻力过大，容易烧坏电动机；摇臂钻的横梁在钻孔时，如发生过大变形将影响孔的加工质量。为保证梁能正常工作，应使梁同时满足强度条件和刚度条件，并限制梁的弯曲变形量。,摇臂钻床,8.5 梁的弯曲变形概述,8.5.1 挠曲线方程,为表示挠度和转角随截面位置不同而变化的规律。取变形前梁的轴线为x轴，与轴线垂直向上的轴为绕度。则挠曲线方程可表示为：,（8.20）,梁承载后主要产生两种变形：（1）线位移：横截面形心在垂直于梁变形前轴线方向上的线位移，称为挠度，用 表示。在右图直角坐标系中挠度方向规定：向上挠度为正；向下挠度为负。（2）角位移：横截面相对于变形前的位置所转过的角位移。称为转角，用 表示。判定转向正负：逆时针转向的转角为正，顺时针转向的转角为负。横截面在弯曲变形后仍垂直于挠曲线,任意横截面的转角 可用挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角表示。即挠曲线上任意点的切线斜率与转角 的关系为：,8.5 梁的弯曲变形概述,8.5.2 挠度与转角,在小变形情况下，很小，故tan，则上式可改写为：,(8.21),8.6 用叠加法求梁的变形,8.6.1 梁的挠曲线近似微分方程,若忽略剪力对变形的影响，平面弯曲时梁的轴线的曲率为,在梁的挠曲线中任取一段，则有,或,8.6 用叠加法求梁的变形,因梁的变形很小，则上式可写成,对等截面直梁可得,(8.23),梁在简单载荷下的绕曲线方程，端截面转角和最大绕度已在书上给出。P153,8.6 用叠加法求梁的变形,8.6.2 用叠加法求梁的变形,梁的许用挠度。,大多数杆件的设计过程都是首先进行强度设计或工艺结构设计，确定截面的形状和尺寸，然后再进行刚度校核。,8.6 用叠加法求梁的变形,例8.9 行车大梁采用No.45a工字钢，跨度。已知电动葫芦重5，最大起重量为50，许用应力，许用挠度=l/500，试校核行车大梁的强度和刚度。,分析：将行车大梁简化为简支梁，视梁的自重为均布载荷q，起重量和电葫芦的自重为集中载荷F。当电葫芦带着载荷移动到跨中时，梁的变形最大。因此首先确定梁的危险截面，并按正应力强度条件进行梁的强度校核；再进行刚度校核。,8.6 用叠加法求梁的变形,查附表中的型钢表得,，,，,，,由均布载荷引起的跨中弯矩值为,。,8.6 用叠加法求梁的变形,8.6 用叠加法求梁的变形,满足刚度条件。,8.6 用叠加法求梁的变形,例8.10 试求三支座桥梁支座的约束力。,8.6 用叠加法求梁的变形,8.6 用叠加法求梁的变形,解:（1）分析：从计算简图中可看出，三支座梁增加了一个活动铰链支座，既增加了一个未知量，因此本题为一次超静定问题。（2）将C活动铰链支座的约束力 视为多余约束力，则图c所示简支梁是三支座超静定梁的静定基。（3）将静定基和原超静定梁进行变形比较可知，若静定基要满足变形协调条件，则C点挠度为零。利用叠加原理得,和,将下列公式带入上式得,8.6 用叠加法求梁的变形,，,上述求解超静定梁的方法称为变形比较法。,8.7 提高梁的强度和刚度的措施,梁的最大正应力,梁的最大正应力与最大弯矩Mmax成正比与截面抗弯系数WZ成反比,从梁的扰度和转角的表达式看出梁的变形与跨度l高次方成正比，与EIz成反比,可以通过以下措施来提高梁的强度和刚度，在满足梁的抗弯能力前提下，尽量减少消耗的材料。,8.7 提高梁的强度和刚度的措施,1、合理安排梁的支承,A,B,M/kN.m,ql2/40,ql2/50,2、改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,8.7 提高梁的强度和刚度的措施,改变载荷类型,8.7 提高梁的强度和刚度的措施,3、选择合理的截面形状,8.7 提高梁的强度和刚度的措施,作业,P160 8.1 8.3a 8.6 8.11 8.15a,