平面及其方程.ppt

第五节 平面及其方程,垂直于平面的非零向量，称为该平面的法向量,求过点M0(x0,y0,z0)，法向量为：,设M(x,y,z)为平面上的任一点，,的平面方程。,平面的点法式方程,一、平面的点法式方程,例1 设点A(1,1,2)、B(1,3,4)，,求线段AB的垂直平分面方程,解,线段AB的的中点C,(0,1,3),法向量,所求平面方程为,解,平面方程为,例2 求过点A(2,-1,4)、B(-1,3,-2)、C(0,2,3)的平面方程.,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般方程,例3 求过点 且与平面,平行的平面方程。,解,所求平面的法向量为：,平面方程为,平面一般方程的几种特殊情况：,通过坐标原点通过x 轴平行于x 轴垂直于x 轴,取法向量,所求平面方程为,解,例4 求过点(1,1,1)，,且垂直于平面x y+z=7,和3x+2y 12z+5=0 的平面方程.,由平面过原点,设平面为Ax+By+Cz=0,所求平面方程为,解,例5 设平面过原点及点(6,3,2)，,4x y+2z=8垂直，求此平面方程.,且与平面,平面过点(6,3,2):,法向量,R(0,0,c)（其中a0,b0,c0），,设平面为,将三点坐标代入得,解,例6 设平面与x.,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、,求此平面方程.,平面的截距式方程,练习题,2.过三点(1,0,0),(0,-3,0),(0,0,5)的平面方程为_,都平行的平面方程为_,且与向量,1.过点,3.过x轴及点(1,3,2)的平面方程为_,定义,两平面法向量之间的夹角（取锐角）,称为两平面的夹角.,三、两平面的夹角,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,例7 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面夹角,两平面平行但不重合,两平面重合.,解,例8 设 是平面,外一点，求P0 到平面的距离.,点到平面距离公式,1.平面,与xoy 面的夹角余弦为_,与yoz 面的夹角余弦为_.,2.点(3,1,2)到平面2x 3y+z=1 的距离为_,的夹角为，则k=_,3.若平面2x 3y+z=0,与平面,练习题：,