第四章理想流体的动力学基础.ppt

第四章 理想流体的动力学基础,本章研究无粘性流体运动参量及所受的力与动量之间的关系。首先导出理想流体欧拉运动微分方程，然后转变为葛罗米柯形式，并在特殊条件下积分得到能量关系式。,第一节 理想流体运动微分方程,在牛顿第二定律基础上给出微分方程式。,如图：,在流体中取平行六面微元体，边长dx，dy，dz。在某时刻t，中心A（x,y,z）处，压强p（x,y,z,t），中心速度v分量vx，vy，vz。因为是理想流体，无牛顿内摩擦力存在，只有法向压力。,先看质量力，FQ分力：,再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上微小量，于是：,在y轴方向表面力,按第二定律，产生ay加速度，m=dxdydz,同理得x，z方向即：,（4-1）,向量：,（4-）,(4-1)变形,（4-）,向量：,（4-）,这就是理想流体运动运动微分方程欧拉方程。,（4-3）中未知量：,对静止流体,变为平衡欧拉方程。,fx,fy,fz已知，联立连续方程,对不可压缩=const，四个方程封闭可解。例：对可压流体，加上连续方程，状态方程=f（p，T），封闭。虽然理论上可解，但是初始条件，边界条件难以用数学表达给出，一般不可解。,第二节 运动微分方程的葛罗米柯兰姆形式,代入（4-3），有：,向量：（4-6）,假定：（1）质量力是有势力，存在力函数U（x,y,z,t），有。,(2）=f(p)，p(x,y,z,t)，引入压力函数,微分,（4-7）,dx,dy,dz 系数相同，于是：,对于=const，,展开：,对等温下，可压缩流体：有,对等熵变化,于是（4-5）式变为,即为葛罗米柯兰姆形式。,由此可见：运动有有旋、有势之分。,第三节 恒定有旋流动沿流线的伯努利方程,先做如下假定：（）理想流体恒定流动；（）质量力有势；（）正压流体，（）沿流线积分。,由条件（1）；,葛罗米柯形式含有（2），（3）两个条件。,于是变为,对恒定流动，迹线与流线重合，沿流线积分即沿迹线积分。,由于dl=vdt，dl分量为dx,dy,dz，dx=vxdt,dy=vydt，dz=vzdt.,将上式各式左边分乘dx,dy,dz，右边分乘vxdt，vydt，vzdt，相加，有,对不同流线，Cl 不同，而在同一流线上，势能，压力能，动能之和为常数。,积分,我们是在有旋条件下得到，而在结果上却与有旋，无旋无关，只要是理想，正压，质量力有势，恒定沿流线即可。,第四节 恒定有势流动中的欧拉积分,恒定流动，,有势则：,葛兰方程变成,与x,y,z无关，也与t无关，分乘dx,dy,dz，相加，再积分：,此为欧拉积分。,说明：只要理想，正压，流体在有势质量力作用下做恒定无旋运动，任一微团的三项和为常数。与伯努利积分的不同在于欧拉积分没有沿流线的限制。,代入兰姆方程：,第五节 非恒定有势流动的拉格朗日积分,与x,y,z无关，为t的函数，,对于有旋，只在同一流线上才成立。,称拉格朗日或柯西积分。,对不可压缩流体，若恒定流动，则变为：,转化为欧拉积分。对于任一质点都成立。显然伯努利方程只适用于有旋。,第六节 重力作用下的伯努利方程,对不可压缩流体做恒定流动，则均为：,则 U=-gz，,只不过伯努利方程只对流线适用，有旋。而对欧拉（拉格朗日）积分，对整个流场适用。,若质量力只有重力，则fx=0，fy=0，fz=-g。,为理想不可压缩流体在重力作用下（绝对运动）恒定流动的伯努利方程。,或,方程简单但重要，注意限制条件：,（1）理想流体，恒定流动；,（2）不可压缩；,（3）只有重力作用；,（4）有旋只适用同一流线，无旋对任一质点 均成立。,第七节 伯努利方程的意义,每一项均表示单位重力液体具有的水头。（1）z研究点相对于基准面的几何高度，称为位置水头；（2）p/g研究点压强对应的高度，表示与压强相当的液柱高度，称测压管水头；（3）v2/2g速度对应的高度，称速度水头。,1.几何意义,即：几何高度，测压管高度，测速管高度之和为常数。,若无旋，三项之和为常数，若有旋，沿同一流线三项之和为常数。连接三项和的各点即为到某基准面一定高度的水平线。在静力学中，速度头为0，z+p/g=C；z相同，测压管水头为水平线。,在动力学中，由于v2/2g存在，测压管水头不是水平线，随速度头变化而变化，该项也成为动压头。,2.能量意义,每项表示单位重力流体具有的能量。,z 位置势能；p/g 压力势能；v2/2g 动能。而z+p/g为总位能，即：三项和为位能与动能之和，即总机械能为常数。若有旋：同一流线机械能相同，不同流线不同；对于无旋，各处均相同。,从三项和为常数也可以看出，若其中一项变化，其余的也随着变化，但总和不变，即三种能量可以相互转化，这正是能量守恒原理在流体力学中的表现方式。,第八节 相对运动中的伯努利方程,流体在流体机械（如：水泵，风机，水轮机）中流动时，不是绝对恒定运动，而是相对恒定。如图：,与绝对恒定相比有如下不同：（1）人观察的是质点相对速度，而非绝对速度；（2）作用在流体上的质量力；除重力外还有离心力。,叶轮以恒定转动，若将坐标系xoy固定在叶轮上，随叶轮转动，此时质点相对叶轮做绝对运动，因为相对于地面是不恒定的。,取流线1-2，流体沿1-2流动，流动恒定，1-2为迹线。,流线上A点，一方面随叶轮以u=r做牵连运动，另一方面，又以速度w相对叶轮运动，故伯努利积分为：,v=w，单位质量上离心力为2r，于是，fx=2x，fy=2y，fz=-g，,dU=fxdx+fydy+fzdz=2xdx+2ydy+(-g)dz，,U=2x2/2+2y2/2-gz+C=2r2/2-gz+C，,伯努利积分变为：,对不可压缩=const,又u=r,各项除以g，,对任意的1，2两点有：,上式称理想流体微小流束相对恒定流动的伯努利方程，与绝对运动相比，多了（u22-u12）/2g一项，这一项为单位质量流体在离心力作用下做的功。,当r变化时，离心力做功，r不变，不做功。从r1到r2，离心力做功为：,设：,则：,当r2r1时，流体沿离心力方向运动，做正功，称水泵工况；此时，流体从中心进入，从圆周方向切向流出。,当r2r1时，流体沿离心力反方向运动，做负功，称水轮机工况。此时，流体从圆周方向切向进入，从中心流出。,第九节 非恒定有旋运动中的伯努利积分,非恒定,则葛兰方程为：,假定：流体为正压，,设在t时刻，沿流线取dl 微元段，则：,同理：,故：,以三项分乘葛兰方程左、右端，再相加：,对某瞬时（固定t），则：左为全微分，即：,从12积分，,若不可压缩,只有重力，U=-gz，正压流体P=p/,令：,是由非恒定造成的，称惯性能头，为当地加速度 所具有的惯性力对单位重量流体所做的功。,注意，可正可负，由 决定，,对断面不变的流束，任意时刻均有相同的加速度，即：,上式变为：,为12间流线长。,注意：,可用来解决管内匀加速运动流体的振荡问题。,本章小结：,1、流体运动微分方程欧拉运动方程,2、GL形式的意义,3、伯努利积分、欧拉积分、拉格朗日积分的条件,4、相对运动的水泵、水轮机工况,5、伯努利积分的物理意义,