导数的求导法则.ppt

第二节 函数的求导法则,内容要点一、导数的四则运算法则二、应用举例作为变化率的导数.三、反函数的导数：反函数的导数等于直接函数导数的倒数.四、复合函数的求导法则,五、初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则,2.2 函数的求导法则,1.基本求导法则与导数公式,2.分段函数求导时，,分界点导数用左右导数定义求.,3.初等函数的求导问题,4.双曲函数与反双曲函数的导数,一、和、差、积、商的求导法则,定理 1,若函数 在点 处可导,则它们,的和、差、积、商(分母不为零),并且,(1),(2),(3),证(1)、(2)略.,在点 处也可导,证(3),设,推论,(1),(2),(3),注:,法则(1)、(2)均可推广到有限多个函数运算,的情形.,例如,可导,则有,即,若在法则(2)中,令,则有,若在法则(3)中,则有,解,解,求,的导数.,二、反函数的导数,定理 2,若函数 在某区间 内单调、可,导,则它的反函数 在对应,区间 内也可导,且有,或,即:,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,且,反函数的导数,证,任取,给 以增量,由 的单调性可知,于是,连续,又,证毕.,求函数 的导数.,解,在 内单调、可导,且,在对应区间 内有,同理可得,解,求函数 的导数.,且,在 内单调、可导,在对应区间 内有,特别地,三、复合函数的求导法则,定理 3,若函数 在点 可导,而,在点 可导,则复合函数 在点,可导,且其导数为,或,链式法则,证,由 在点 可导,复合函数的求导法则,故,注:,例如,则复合函数,的导数为,复合求导法则可推广到多个中间变量的情形.,设,求函数 的导数.,解,设,则,完,求函数 的导数.,解,设,则,注:,复合函数求导既是重点又是难点.,在求复合函,要从外层,逐层推进.,先求 对大括号内的变量 的导数,再求 对中括号内的变量 的导数,后求 对小括号内的变量 的导数.,最,在这里,首先,要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量,管是自变量还是中间变量),求导时,不设中间变量的字母,(不,的导数;,其次,在逐层,不要遗漏,也不要重复.,熟练之后可以,心中记住,一气呵成.,求函数 的导数.,解,完,求函数 的导数.,解,求函数 的导数.,解,求分段函数的导数时,在每一段内的导数可按,一般求导法则求之,但在分段点处的导数要用左,右导数的定义求之.,当 时,当 时,当 时,求函数 的导数.,解,当 时,当 时,当 时,求函数 的导数.,解,当 时,当 时,当 时,由 知,所以,完,初等函数的求导法则,1.,基本求导公式,2.,设 可导,(C是常数),则,函数的和、差、积、商的求导法则,3.,反函数的求导法则,若函数 在某区间 内单调、可导,则它的反函数 在对应区间,内也可导,或,4.,设,为,或,且,且,复合函数的求导法则,而,则 的导数,1.,求下列函数的导数：,课堂练习,1.,求下列函数的导数：,解,1.,求下列函数的导数：,解,1.,求下列函数的导数：,解,1.,求下列函数的导数：,解,1.,求下列函数的导数：,解,(3)先化简，再求导,1.,求下列函数的导数：,解,(3),1.,求下列函数的导数：,解,完,(3),内容小结,1.基本求导法则与导数公式,注:在导数的四则运算法则中，要注意:,2.分段函数求导时，,分界点导数用左右导数定义求.,3.初等函数的求导问题,内容小结,3.初等函数的求导问题,任何初等函数的导数都可以按常数和基本,初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,关键:正确分解初等函数的复合结构.,4.双曲函数与反双曲函数的导数,