导数和微分运算法则.ppt

导数与微分,1,函数的四则运算求导法则,小结 思考题 作业,函数的求导法则,反函数的求导法则,基本求导法则与导数公式,复合函数的求导法则,2,定理1,并且,则它们的线性组合、积、商,在点 x处也可导,一、函数的四则运算求导法则,3,证,则由导数的定义有,4,证,由乘积的导数:,得,故,特别,即,5,推论,且,你能给出相应的四则运算微分法则吗？,6,例,解,例,解,7,例,解,同理可得,即,8,例,解,同理可得,即,9,练习,解,法一,法二,注,在进行求导运算中,且也能提高结果的准,这样使求导过程简单,尽量先化简再求导,确性.,10,?,用求导法则与用定义求导数时,结果有时不一致,这是为什么?,如已知,无意义,解,所以,不存在.,上述解法有问题吗?,注意问题出在,不连续.,因此,可能在不连续点处不代表该点处的导数值.,用定义!,例,解,例,解,12,或,定理2,且,二、反函数的求导法则,证,有,13,反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,连续,故,从而,因,14,例,解,同理可得,单调、可导,直接函数,反函数,15,如果利用三角学中的公式:,也可得公式,也可得公式,16,例,解,特别地,17,定理3,链导法则,三、复合函数的求导法则,可导,且其导数为,或,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,18,证,19,推广,例,解,20,例,解,例,解,21,例,解,例,解,22,因为,所以,的情形证明幂函数的导数公式,一阶微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例,解,例,解,25,1.常数和基本初等函数的导数公式,四、基本求导法则与导数公式,26,2.函数的线性组合、积、商的求导法则,都可导,则,3.反函数的求导法则,或,且,27,4.复合函数的求导法则,初等函数的导数仍为初等函数.,利用上述公式及法则初等函数求导问题,可完全解决.,28,证明下列双曲函数与反双曲函数的导数公式:,例,证,29,证,30,例,解,31,例,解,32,例,解,33,例,解,所以,34,例,解,35,例,证,由于斜率相等,知二切线平行.,(1)求交点,分别为曲线在A,B点,的切线斜率.,(2)求导数,作的曲线的切线彼此平行.,36,练习,解,37,解,则,练习,上式中,是函数 f,对括号中的中间,变量求导,?,38,解,练习,分析,这是抽象函数与具体函数相结合的导数,综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及,复合函数求导法则.,39,答案,练习,练习,解,微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2.函数和、差、积、商的微分法则,例,解,例,解,43,(注意成立条件);,复合函数的求导法则,五、小结,不能遗漏);,(对于复合函数,反函数的求导法则,层的复合结构,注意一层,函数的积、商求导法则,注意,记住基本初等函数的导数公式,44,思考题(是非题),非,例如,处处可导,处不可导,但复合函数,处处可导.,