导数与微分(高等数学).ppt

求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,第二章 导数与微分,1、导数的定义,导函数,注意：,记为,例题1.设,存在，且,则,等于,A.1,B.0,C.2,D.0.5,分析：,导数定义的本质：,练习：P43 第3题,2、单侧导数,左导数与右导数:,在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。,例.见教材 P42 页例6,例题2.讨论,在,处的连续性与可导性.,分析：,所以,在,处连续,所以,因此,在,处可导。,题目的函数为：,当,时，,所以,因此,从而,在,处可导。,判断可导性的另一种方法：,3、导数的几何意义：,函数,在点,处的导数,表示曲线在点,处切线的斜率。,曲线在点,处的切线方程为,法线方程为：,例 求曲线,在点（2，8）处得切线方程和法线方程。,解 在点（2，8）处的切线斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线斜率为,于是所求法线方程为,4、导数与连续的关系：,定理(函数可导的必要条件)：,在点,处可导,在点,处连续。,可导连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。,例子 见教材 P42 例题7，8,例 函数,在x=0连续但不可导，,于是有,可导一定连续，但是连续不一定可导。,连续一定有极限，但是有极限不一定连续。,因为,例,解,练习：P43页第7题,5、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,6、求导法则,(1)函数的和、差、积、商的求导法则,(2)反函数的求导法则,或,注意：,与,的区别,表示复合函数对自变量,求导,（3）.复合函数的导数：,复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。,表示复合函数对中间变量,求导,例求下列函数的导数,例 设,，求,解,例设,，求,解,首页,上页,下页,(4)隐函数求导法则,隐函数求导法:方程两端同时对x求导,注意在求导过程中要y=f(x)视为x的函数,即把y视为中间变量。,见 P53 页例3,例 求由方程,所确定的隐函数的导数,解,方程两端对x求导数，得,例 求椭圆,在点,处的切线方程.,解,所求切线斜率为,方程两边对x求导,得,首页,上页,下页,例 求由方程,所确定的隐函数的二阶导数,(5)参变量函数的求导法则,曲线t=1在处的切线斜率为,于是所求的切线方程为 y=x,例题：设,，求,(6)对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,对数求导法适用于幂指函数,以及多因子乘积（或商）函数的导数,例.见 P53 页例4，5，6,首页,上页,下页,两边对x求导数，得,解：两边取对数，得,例 求函数,的导数.,（7）抽象函数的求导法则,7、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。当只须求函数的2、3、4、5阶导数时，通常选择先求出函数的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，直至求出所求阶导数的方法。当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。,例,求,的n阶导数.,解,一般地，可得,例,解,求,的,阶导数.,一般地，可得,首页,上页,下页,例,求,的,阶导数.,解,一般地，可得,上页,下页,练习：P51 2(1)(4)(5),8、微分,(微分的实质),（1）微分的定义,（2）、导数与微分的关系,定理,（3）、微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,（4）基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,（5）、微分的基本法则,微分形式的不变性,例.求函数的微分,(2),例.设,求,分析：,是R上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接,应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用导数定义。,解：方法一,方法二 分析函数的表达式特点及求导点为,令,其中,则,故,