对偶问题(运筹学).ppt
第四节 对偶问题,大连海事大学交通运输管理学院,2.4.1 对偶问题的提出2.4.2 原问题与对偶问题2.4.3 对偶问题的性质2.4.4 对偶变量的经济含义2.4.5 对偶单纯形法,第四节 对偶问题,一、对偶问题的提出,某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表1-1所示。每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多?,1.最大生产利润模型,设 企业生产甲产品为X1件，乙产品为X2件，则,2.资源最低售价模型,(原问题)(对偶问题),设第i种资源价格为yi,(i=1,2,3)则有,y1,y2,y3,y4,二、原问题与对偶问题的关系,一般表示式：原问题：max z=c1 X1+c2 X2+cn Xn s.t a11 X1+a12 X2+a1n Xn b1 a21 X1+a22 X2+a2n Xn b2 am1 X1+am2 X2+amn Xn bm xj 0，j=1,2,n 对偶问题：min w=b1 y1+b2 y2+bm ym s.t a11 y1+a21 y2+am1 ym c1 a12 y1+a22 y2+am2 ym c2 a1n y1+a2n y2+amn ym cn yi 0，(i=1,2,m),典式模型对应对偶结构矩阵表示,（1）max z=C X s.t AX b X 0,min w=Y b s.t YA C Y 0,对偶问题,原问题,对偶模型其他结构关系,（2）若模型为 max z=C X s.t AX b X 0,max z=C X s.t-AX-b X 0,变形,min w=Y b s.t YA C Y 0,Min w=Y(-b)st.Y(-A)CY 0,令 Y=-Y,对偶问题,对偶变量Y,（3）max z=C X s.t AX b X 0,变形,设X=-X,max=-CX st.-AX b X 0,min w=Y b s.t YA C Y 0,则有,min w=Y b s.t-YA-C Y 0,对偶问题典式：,用矩阵形式表示：（1）max z=C X min w=Y b s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0（2）max z=C X min w=Y b s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0（3）max z=C X min w=Y b s.t AX b s.t YA C X 0 Y 0,原问题与对偶问题关系表,原问题(对偶问题)对偶问题(原问题)目标函数系数 约束右端项 约束右端项 目标函数系数 约束条件系数列向量 A约束条件系数行向量 AT 变量个数约束条件个数max min 变量 x j:约束方程 i:x j 0 x j 无约束=x j 0 约束方程:变量 y i:y i 0=y i 无约束 y i 0,例2-10 写出下述线性规划问题的对偶问题。,例子,则由表中原问题和对偶问题的对应关系，可以直接写出上述问题的对偶问题,对偶问题解法,练习,max z=2y1+5y2+1y3 2 y1+3 y2+1y3 3 1 y1-5 y2+1y3 2 3 y1+1y3-1,=,y1 0,y2 0,y3自由,s.t.,解,三、对偶问题的性质,性质1 对称性 规范原始、对偶问题(P1)与(D1)互相对偶。即对偶问题的对偶是原问题。性质2 弱对偶性 设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则 CX Y b 性质3 最优性 设X,Y分别为(P1)与(D1)的任意可行解，则当 CX=Yb 时，X,Y分别是(P1)与(D1)的最优解。,三、对偶问题的性质,性质4无界性 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题的解无界，则另一个问题无可行解。性质5 对偶定理 互为对偶的两个线性规划问题，若其中一个问题有最优解，则另一个问题也有最优解，且二者最优值相等。注意：无界性之逆命题不成立。因为一个问题无可行解时，另一个问题可能解无界，也可能无可行解。,三、对偶问题的性质,兼容性 原始问题的检验行的相反数给出对偶问题的一个基本解。,X*=(4,6,4,0,0)T,z*=42,y1,y2,y3,y4,y5,Y*=(0,1/2,1,0,0)T,w*=42,3,4,5,1,2,互补基本解,X*=(4,6)T,Y*=(0,1)T,X*=(4,6,4,0,0)T,Y*=(0,1/2,1,0,0)T,z*=42=w*,(P)的基本解 与(D)的基本解 相互对应,且二者目标值相等。我们把这样一对基本解 与，称为(P)与(D)的互补基本解。,7.互补松弛性 设=(x1,x2,xn,xn+1,xn+m)T=(y1,y2,ym,ym+1,ym+n)T是(P1)(D1)的一对互补基本解，那么,xj ym+j=0，j=1,2,n xn+i yi=0，i=1,2,m,例 已知线性规划问题,min=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5x1+x2+2x3+x4+3x542x1-x2+3x3+x4+x53 xj0，j=1，2，5已知其对偶问题的最优解为y1*=4/5，y2*=3/5；z=5。试用对偶理论找出原问题的最优解。,解：先写出它的对偶问题,max z=4y1+3y2y1+2y22 y1-y23 2y1+3y25 y1+y22 3y1+y23 y1，y20,将y1*=4/5,y2*=3/5的值代入约束条件，,得=1/53，=17/55，=7/52 它们为严格不等式；由互补松弛性得 x2*=x3*=x4*=0。因y1，y2 0；原问题的两个约束条件应取等式，故有x1*+3x5*=4，2x1*+x5*=3求解后得到x1*=1,x5*=1；故原问题的最优解为 X*=(1，0，0，0，1)T；*=5,对偶变量的意义代表对企业资源的估价，与该种资源的市场价格不同，因此我们称之为影子价格。,四、对偶变量的经济含义,（1）资源的市场价格是已知数，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。（2）影子价格是一种边际价格，在（2-12）式中将Z对 求偏导数得，这说明 相当于在给定的生产条件下，每增加一个单位目标函数Z的增量。（3）资源的影子价格实际上又是一种机会成本。在纯市场经济条件下，当第2种资源的市场价格低于1/4时，可以买进这种资源；相反当市场价格高于影子价格时，就会卖出这种资源。随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化，一直到影子价格与市场价格保持同等水平时，才处于平衡状态。,五、对偶单纯形法,由于单纯表中同时反映原问题与对偶问题的最优解，故可以从求对偶问题最优解角度求解LP模型。,例：,min z=2x1+3x2 max z=-2x1-3x2+0 x3+0 x4 s.t x1+x23 标准化 s.t x1+x2-x3=3 x1+2x2 4 x1+2x2-x4=4 x10,x20 xj 0,(j=1,2,3,4),max z=-2x1-3x2+0 x3+0 x4 s.t-x1-x2+x3=-3-x1-2x2+x4=-4 xj 0,(j=1,2,3,4),Cj,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,-1-1 1 0-1-2 0 1,-2-3 0 0,-3-4,x3 x4,00,cj-zj,-2,-3,0,0,-1/2 0 1-1/2 1/2 1 0-1/2,x3 x2,-1 2,cj-zj,-1/2 0 0-3/2,0-3,1 0-2 1 0 1 1-1,x1 x2,21,cj-zj,0 0-1-1,-2-3,列单纯表计算：,对偶单纯形法步骤：,1把m阶LP问题化成标准形（允许其右端常数为负）,在其系数阵中找出或构造一个m阶排列阵作初始基,建立初始单纯形表。若所有检验数 j0，则转2;2最优性检验：检查表中解列各数值bi；若所有bi0,则问题已得最优解，停止计算;否则转3。3无可行解判断：只要存在一个br0，它所在行中所有 arj0，则原始问题无可行解，对偶问题无下界，停止；否则转4。,4确定主元：先确定离基变量，按 min bibi 0=bl 确定第 l 行的基变量 xBl 离基，第 l 行为主行；后确定进基变量，按最小比值规则：m in j/aljalj 0=k/alk 确定进基变量 xk 及主元 alk。5按主元 alk 对当前表格进行一次换基运算，得到一个新单纯形表，返2。,练习,解,max z=-3x1-2x2,s.t.,2x1+3x2+x3=18 x1-x2 x4=2 x1+3x2 x5=10 x1,x2,x3,x4,x5 0,x1+x2+x4=2,x13x2+x5=10,3,2/3,min,-3,比 值,cj,基,解,x1 x2 x3 x4 x5,-3-2 0 0 0,2 3 1 0 0,x3x4x5,18-2-10,-1 1 0 1 0,000,-1-3 0 0 1,0-3-2 0 0 0,-3,x3x1 x2,0-3-2,4 1 0 0-3/4-1/4,4 0 0 1 3/4 5/4,2 0 1 0 1/4-1/4,-16 0 0 0-7/4-5/4,x3x4x2,0 0-2,8 1 0 1 0 1,10/3 1/3 1 0 0-1/3,-20/3-7/3 0 0 0-2/3,-16/3-4/3 0 0 1 1/3,-4/3,X*=(4,2)Tz*=16,单纯形法的矩阵描述,Cj,x1,x2,x3,x4,XB,b,CB,1 1 1 0 1 2 0 1,2 3 0 0,34,x3 x4,00,cj-zj,2,3,0,0,1/2 0 1-1/2 1/2 1 0 1/2,x3 x2,12,cj-zj,1/2 0 0-3/2,03,1 0 2-1 0 1-1 1,x1 x2,21,cj-zj,0 0-1-1,23,1.初等行变换 相当于 左乘一个相应的初等阵2.B-1 B=E3.b/=B-1 b4.目标函数AX=b B-1 AX=B-1 b CB B-1 AX=CB B-1 b与 Z=CX相加Z=CB B-1 b+(C-CB B-1 A)X,
