定积分的概念与计算.ppt

,第3章（2）定积分的概念与计算,习题课,课堂练习,举例,主要内容,1、设f(x)是连续函数，且,2、设 f(x)是连续 函数，且,则 f(x)=.,x-1,1、设f(x)是连续函数，且,解得x=2,所以,2、设f(x)是连续函数，且,则 f(x)=x-1.,解:设,于是,两边在0，1上积分,存在定理,广义积分,定积分,定积分的性质,定积分的计算法,牛顿-莱布尼茨公式,一、主要内容,1、定积分的定义,定义,2、可积的条件,（1）利用定积分定义求定积分；（2）利用定积分定义求极限,（2）可积的充要条件,（1）可积的必要条件,或,称为 f 关于分割D 的Darboux大和,称为 f 关于分割 D的Darboux小和,其中,积分和,(1)相应于D,的所有的积分和与达布和满足不等式,下，达布和,(2)在固定的分法,是常数，,此时由于,的选取的任意性，,积分和,却是变化的，,注意:,大和的几何意义:,曲边梯形“外接”矩形,小和的几何意义:,曲边梯形“内接”矩形,面积之和.,面积之和.,(3)可积函数类：,3、定积分的几何意义,4、定积分的性质,5、变上限的积分,6、牛顿莱布尼茨公式,条件：,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,7、定积分的计算法,8.定积分常用公式,9.广义积分,（2）无界函数的积分,1.定积分与什么有关与什么无关?,5.积分上限的函数有一个重要性质是什么?由此重要性质得出了一个重要结论是什么?微积公基本公式是什么?,4.定积分有哪些重要性质?,3.定积分的几何意义是什么?,2.定积分与不定积分有何区别与联系?,提 问,8.广义积分的定义及敛散性?,7.定积分有那些常用公式?,6.定积分计算法与不定积分法有何不同?,答,二、典型例题,例1,一、利用定积分求极限,解,证明,利用对数的性质得,例2,例,解提示：先用夹逼准则,二、含有变上限积分的有关题目,13,解,解,从而有,证明,解,证明F(x)在(a,+)内连续，而在 x=a 处,令F(a)=f(a),则F(x)在a,+)上连续.,a x，f(x)单调增加,x-a 0,F(x)0;故F(x)在a,+)上单调增加.,证明,解,解,证,令,13,解 构造辅助函数,三、与换元有关的题目,3.设f(x)为连续函数，证明,证明,证明,证明,证明,提示,解,将上式两边对x求导得,从而有,四、与分部积分有关的题目求解,（2）,5.积分第二中值定理,解,5.积分第二中值定理,用分部积分法和积分中值定理,提示：,五、综合极限，定积分概念，解方程,1设 f(x)是连续 函数，且,则 f(x)=.,x-1,解设,于是,两边在0，1上积分,1设 f(x)是连续 函数，且,则 f(x)=.,解,定积分为常数,设,则,故应用积分法定此常数.,六、积分不等式性质,证明,.证明,证明,提示：求被积函数在积分区间上的最大最小值,证明,解 因为,即,七、积分不等式证明,设f(x)在a,b上存在连续导数f(a)=0，求证：,证明,证法1,证法2,作辅助函数（构造变上限积分）,证法1 构造变上限积分,证法2,证法3,证明类似于上一题的方法1构造变上限函数,证法1 构造变上限积分,证法2 对不等式的左边,证法2 对不等式的右边,利用定积分性质,证法1,(用积分中值定理),故所给不等式成立.,证法2,换元法,证法 即要证,令,只须证,证法4 即要证,设f(x)在a,b上存在连续导数f(a)=0，求证：,证法1：由拉格朗日中值定理，在a,x上,设f(x)在a,b上存在连续导数f(a)=0，求证：,证法2：,八、其它证明题,2.设 f(x)是周期为T的连续 函数，证明：,-周期函数的一个性质,方法1,方法1,方法2,2.设 f(x)是周期为T的连续 函数，证明：,证明,1,2,3,课堂练习,一、计算下列积分,一、计算下列积分,1,解,2,解,解,解,解,解,是偶函数,解,解,