第4章谓词逻辑23.ppt
数理逻辑,北京邮电大学,第4章 谓词逻辑,考试时间：1月11日上午8:00-10:00 考试地点：2-201,第4章谓词逻辑,4.2 摩状词,第4章谓词逻辑,4.3 谓词公式真值,4.2 摩状词,第4章谓词逻辑,4.3 谓词公式真值,4.2.0 摹状词(一),摹状词就是表述独具某种性质的特定事物的语词摹状词具备两个特点：它指称的事物应当是惟一的它所揭示的一事物的某种性质应当是该事物独有的如：(1)集合论的创立者(2)世界上最高的山峰(3)15 和 27 的最大公约数(4)张三家的那头牛。,4.2摩状词,第4章谓词逻辑,4.2.0 摹状词翻译(一),摹状词的结构是形容词+普通名词指示代词+形容词+普通名词在数理逻辑中摹状词的一般形式(即符号化的摹状词)是LxFx意即：“那个惟一具有性质 F 的个体 x”L 是逻辑常项，含意为：这(或那)个,4.2摩状词,第4章谓词逻辑,4.2.0 摹状词翻译(二),含有摹状词的命题翻译(6)张三家的那头牛是壮的令：“G”表示“是张三家的牛”，“F”表示“是壮的”译：FLxGx读：那头张三家的牛是壮的(7)世界上最高的山峰在中国令：“H”表示“是世界上最高的山峰”，“E”表示“在中国”译：ELxHx读：那座世界上最高的山峰在中国,4.2摩状词,第4章谓词逻辑,4.2.1 摹状词命题真值(一),含有摹状词的命题，它们的真假要比一般命题的真假稍为复杂些只有在(a)张三家至少有一头牛(b)张三家只有一头牛(c)那头牛是壮的这三种情况同时存在时，(6)上式为真当(a)张三家没有牛(b)张三家有好几头牛(c)那头牛不是壮的这三种情况之一存在，(6)则上式为假,4.2摩状词,第4章谓词逻辑,4.2.1 摹状词命题真值(二),根据以上分析，(6)或(6)的否定应当是(a)、(b)和(c)这三种情况的析取不应当简单地断定为(8)张三家的那头牛不是壮的即FLxGx不是 FLxGx的否定如果认为(8)(p)就是(6)(p)的否定则 pp 永真但是，倘若事实上张三家没有牛，则(6)和(8)都不是真的(是无意义的)，因而pp也不是真的。这样就导致了悖论,4.2摩状词,第4章谓词逻辑,4.2.1 摹状词命题真值(三),(6)的否定应是(a)、(b)和(c)的析取，或者简单地就是(9)并非张三家的那头牛是壮的。其相应的符号是(9)(FLxGx)如果不用摹状词符号而用一般的谓词公式符号翻译命题(6)：(10)x(Gxy(Gyy=x)Fx)(10)读：“有个体是张三家的牛，且对所有个体而言，如果它是张三家的牛那么它就是该个体，且该个体是壮的(10)蕴涵了情况(a)、(b)、(c),4.2摩状词,第4章谓词逻辑,4.2.1 摹状词命题真值(四),命题(8)的相应公式是：(11)x(Gxy(Gyy=x)Fx 可以看出(11)不是(10)的否定所以(8)不是(6)的否定命题(9)的相应的公式：(12)x(Gxy(Gyy=x)Fx(12)是(10)的否定对于摹状词使用上的分歧，都集中在当使得 Fx成立的惟一的 x不存在时，怎样处理 LxFx的问题上,4.2摩状词,第4章谓词逻辑,4.2 摩状词,第4章谓词逻辑,4.3 谓词公式真值,4.3.0 谓词命题解释(一),由于原子公式的真假与量词的使用和个体变项的变化范围有很大关系量词的使用若 Fx表示 x吃肉(x)Fx是假的(x)Fx却是真的个体变项的变化范围如果确定 x的变化范围为整个老虎的集合xFx是真的如果确定 x 的变化范围是牛的集合xFx是假的不能简单地给原子公式指派以真假来判定公式是否为重言式对于谓词演算中的公式，采用解释的方法来判定论证是否有效，判定前提是否协调,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.0 谓词命题解释(二),(x)Fx，(x)Fx的有关解释的有关规则：第一，把解释域 D 确定下来第二，原公式 Q 中的量词(存在、全称)和联结词保持不变，但在 Q 的解释 P 中量词仅对 D 而言第三，把 Q 中的谓词解释成 D 上的谓词，即谓词的解释一定要使解释域中的东西或真或假,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.0 谓词命题解释(三),假定解释域是鱼，谓词却解释成“是聪明的”，这就不能使解释域中的元素有真有假，因为我们既不能说“鱼是聪明的”是真，也不能说它是假一元谓词解释成一元谓词，二元谓词解释成二元谓词谓词“=”一般是不加解释的，就是说“=”在解释语句 P 中，仍表示两个个体的同一关系第四，假如把谓词解释成演算符，或者原公式中本来就有运算符的话，那么，解释后的语句的运算符的运算始终不超过解释域内所包含的元素范围,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.0 谓词命题解释(四),规定解释域为正整数，那就不能把 xQy解释为 x减去 y，因为这样减的结果有可能导致负的，从而超出 D 域元素范围谓词和运算符是有区别的，其区别在于：D 上的谓词的定义域为 D，值域是真或假，而 D 上的运算符的定义域是解释域 D，值域也是解释域 D。第五，命题中的自由变项和专有名词在 P 中都应当解释为专有名词，或叫做真名，并且这些专有名词所指称的对象应当是解释域中的元素有一公式 xPa，设解释域为正整数集合，那么专有名词 a只有解释成正整数，如 1、2 等，不能解释为正整数之外的个体,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.0 谓词命题解释(五),例 1(x)(HxMx)解释1：D：正整数，Hx：x3，Mx：x2(x)(x3x2)凡大于 3 的正整数都大于 2，真解释解释2：D：正整数，Hx：x1，Mx：x2(x)(x1x2)凡大于 1 的正整数都大于 2，假解释命题不是在任何可能情况下都是真的，因而不是永真式,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.1 普遍式(一),谓词逻辑里的命题解释的作用：证明论证无效效(一公式不是普遍式)、前提是协调、公理是独立命题逻辑中的永真式叫重言式，谓词逻辑中的永真式一般叫普遍有效式一个公式是普遍有效式，当且仅当它在每一个非空的个体域中的每一解释都是真的判定一公式的非普遍有效性，是解释方法的第一个作用，解释不能证明一公式是普遍有效式,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.1 普遍式(二),一个论证是非有效式，当且仅当在某一非空论域中有一解释，使得该论证的前提真而结论假解释方法的这一作用是其第一作用的延伸(x)(MxLx)MaLa解释：D：正整数集合，Mx：x为正整数，Lx：x为偶数，a=1(x)(x为正整数x为偶数)1 是正整数，推出 1 是偶数,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.2 协调式(一),一公式集合是协调式，当且仅当它在某个非空的个体域中有一个公共的真解释证明诸公式的协调性是解释的第二个作用(x)(y)(z)(xQyyQzxQz)(x)(y)(xQyyQx)解释：D：正整数集合，xQy：xy(x)(y)(z)(xyyzxz)(x)(y)(xyyx)把解释域确定为数的集合，把谓词都解释为算术运算的解释一般叫做算术解释,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.2 协调式(二),解释几个公式的协调性时，要求各式合取的解释为真解释1：D：正整数集合，xQy：x y(x)(y)(z)(xyyzxz)(x)(y)(xyyx)(x=y=z)前真后假解释2：D：正整数，xQy：xy+1(x)(y)(z)(xy+1yz+1xz+1)(x)(y)(xy+1yx+1)(x=3,y=2,z=1)前假后真不能证明该式协调,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.3 独立性(一),公理的独立性：一公理根据给定的推演规则不能从其他公理逻辑地推出，那么该公理相对于其他公理就是独立的相对于一定的推演规则，如果一公理不是其他公理的逻辑后承，那么该公理对于其他公理来说是独立的证明公理的独立性是解释的第三个作用,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.3 独立性(二),要证明一公式不是其他公式的逻辑后承(重言蕴涵)，只要给出使该公式为假，其他公式为真的一个解释即可“假”不是“真”的逻辑后承例：x y证明了(x)(y)xQyyQx)独立于(x)(y)(z)(xQyyQzxQz)xy+1证明了(x)(y)(z)(QyyQzxQz)独立于(x)(y)xQyyQx,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.4 空集解释,解释域必须为空的解释是无意义的普遍式(x)Ax(x)Ax空域中能找到它的一个假的解释，即(x)Ax真而(x)Ax假：D:一个没有人的房间(x)Ax：这个房间里的都是中国人尽管这个房间并无人，但我们知道语句表示成的(x)Ax是个蕴含式，即“如这房里的 x是人则 x是中国人”这个蕴涵式当然为真，因而(x)Ax解释是真的(x)Ax：这个房间里有中国人该解释为假，因为在此并无中国人(空房间)在空解释中，有可能把普遍有效式解释成非普遍有效式，因而我们不能用空解释域,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,4.3.5 作业,大二（3）班那个同学很聪明翻译该命题算术解释该命题,4.3谓词公式真值,第4章谓词逻辑,
