大学高等数学经典(IV).ppt
第六节 空间直线及其方程,一 空间直线的一般方程,A1 x+B1 y+C1z+D1=0,A2 x+B2 y+C2 z+D2=0,空间直线L可以看作是两个平面的交线,如果两个相交,的平面1 和2的方程分别为,空间直线的方程不是 唯一的.,二 空间直线的对称式方程与参数方程,方向向量.,则在L直线的点应该同时满足这两个方程.,如果点M不在直线L上,它就不满足上面 的方程组.由此可见,上面两个方程是空间 直线的一般方程.,通过直线L的平面有很多个,上面方程 的形式就不少.因此,如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量称为,直线的方向向量.由此可见一条直线的方向向量不是唯一,的.任何非零向量只要平行于已知直线,就是该直线的,设点M(x,y,z)是直线L上的一点,则,过空间一点可作而且只能作一条直线平行于已知直线.,当直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个方向向量S=m,n,p,为已知时,直线L的位置就完全确定了.现在我们来建立这,直线方程.,方向余弦也叫做直线的方向余弦,直线的对称式方程中分母可为零,此时分子也为零.,方程组(2)就是直线L的方程,称为直线的,对称式方程.直线的任一方向向量S的,坐标m,n,p叫做这直线的一组方向数.S的,方程组(2)中m,n,p不能同时为零.为了简便起见,我们允许,的参数方程,t叫做参数.,的方程组为,个平面的法向量,于是取,不同的t就得到直线上不同的点,所以方程组(3)称为直线,现在我们把直线的一般式方程化为对称式方程.设直线L,1,求出直线L上的任意一点(x0,y0,z0).可先取x=x0,由(4),(5),得到y0,z0,2,求直线L的方向向量S=m,n,p.因为直线L是由方程(4),(5),所确定的两平面的交线,因此它的方向向量同时垂直于这两,最后得到,得到,例1 设直线的一般方程为,2x-3y+z-5=0,3x+y-2z-2=0.,求这直线的对称式方程和参数方程.,解:求直线上的一点,为了简便起见,我们取z=0,代入方程组,这直线上的一点为(1,-1,0),2.求直线的方向向量,直线的对称式方程,直线的参数方程,s=x2-x1,y2-y1,z2-z1,所以直线方程为,交线平行,故直线的方向向量同时和两平面的法向量垂直.,称为两点式方程,例2 求通过两点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)的直线方程.,解:因为直线过M1,M2 两点,所以可取它为方向向量,例3 求过点-3,2,5且与两平面x-4z=8,2x-y-5z=1的交线,平行的直方程.,解:设所求直线的方向向量为S=m,n,p而两平面的法向量,分别为 n1=1,0,-4,n2=2,-1,-5 由于所求直线与平面的,由直线的方向向量知道所求直线方程为,三 两条直线的夹角,1,定义:两条直线的方向向量的夹角叫做两条直线的夹角.,和直线,2,求法 设有直线,它们的方向向量为,根据两向量的夹角余弦公式,可得到直线L1和 L2 的夹角余弦,两条直线垂直的充分必要条件是,两条直线平行的充分必要条件是,公式,例4 求两条直线L1 和 L2的夹角,解:L1和L2的方向向量分别为,故两直线的夹角为,四 直线与平面的夹角,设直线L的方程是,平面的方程是 Ax+By+Cz+D=0.因为,夹角为/2-或/2+,直线的方向向量S=m,n,p与平面的法向量n=A,B,C的,1,定义:直线与它在平面上的投影直线的夹角,(0/2)叫做直线与平面的夹角.,直线与平面垂直的充分必要条件是：,直线与平面平行的充分必要条件是,例5 求过点(1,0,-2)且与直线L相互垂直的平面方程,解:先求直线L的对称式方程:,设z=0,则方程为,用克莱姆法则,我们得到,直线上的一点为(1,-1,0),对称式方程为,直线的方向向量为5,7,11.下面,我们求直线上的一点.,直线的方向向量为5,7,11,直线上的一点为(1,-1,0直线的,5x+7y+11z+17=0,平面方程.,平面与直线相互垂直,平面的法向量平行直线,所以平面,的法向量同直线的方向向量相同.即为n=5,7,11.,平面的方向向量知道,并知道平面过点(1,0,-2).,于是平面的方程为 5(x-1)+7(y-0)+11(z+2)=0.即为,例6 平面过z轴,且与平面2x+y-5z=0的夹角为/3,求,此平面方程,分析:平面过z轴,则z轴上的任一点,例如点O(0,0,0)在所求,的平面上.因此只需要再求出平面的法向量,即可得到,设所求平面的法向量为n=Ai+Bj+Ck,因为nn1=|n|n1|cos(nn1),n1=2i+j-5k,我们得到,设所求的平面的法向量为:n,因为所求的平面过z轴,故有,nk=0.因为所求平面和已知平面的夹角为/3.平面之间的,夹角为其法向量之间的夹角.设已知平面的法向量为n1:则有,(n,n1)=/3.可得到所求平面方程.,解:(1)平面过z轴,则点O(0,0,0)是所求平面上的一点.,所求平面过z轴,则nk=0.即(Ai+Bj+Ck)(k)=C=0.,所求平面和已知平面夹角为/3,则(nn1)=/3或2/3,代入n=Ai+Bj+Ck,我们得到所求的平面方程的法向量为,故所求的平面方程为 x+3y=0 或-3x+y=0,五 杂 例,例6 一平面过点M(1,2,1),且与两条直线平行,求其方程.,解:,两直线的方向向量分别为S1和S2,于平面和直线平行由,即平面的法向量和两直线方向向量垂直,平面的法向量为,故平面方程为:,例7 设点M1与M2对称于直线L,已知点M1(4,3,10),直线为,求点M2的坐标(x2,y2,z2),面的交点是3,6,8,解:过点M1(4,3,10)作平面垂直于直线L,求出平面和直线的,交点坐标,再应用中点坐标公式,求出M2的坐标.,因为平面垂直直线,所以直线的方向向量为平面的法向量.,因此平面方程为2(x-4)+4(y-3)+5(z-10)=0即为 2x+4y+5z-70=0,把直线方程写成参数方程形式:x=1+2t,y=2+4t,z=3+5t,代入平面方程得到直线和平面的交点.,2(1+2t)+4(2+4t)+5(3+5t)-70=0.,2+4t+8+16t+15+25t-70=45t-45=0,得到 t=1 即直线和平,例8 求通过点M1(-1,0,4)并平行于平面3x-4y+z-10=0且与直线,相交的直线方程.,解:设所求直线的方程为,即S1S2M1 M2,它和已知直线相交,所以,该直线和已知直线可组成一平面,点M2(-1,3,0)和点M1都是,该平面上的点,它们的连线和组成的新平面的法向量垂直.,它和上面的方程10l-12m-9n=0联合得到:,所求的直线平行于已知平面,所以直线的方向向量l,m,n,垂直已知平面3x-4y+z-10=0的法向量.我们有 3l-4m+n=0,处理比较方便,下面介绍这个方法.,设直线L是是下列两个平面的交线,即,我们把方程(2)乘上,加到方程(1)中得到,例9 求过两个平面x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点,(1,2,3)的平面方程.,解:多个平面相交于同一直线的问题,采用平面束方法来,设直线L通过平面方程(4),x+2y-z+1=0与2x-3y+z=0的交线且过点(1,2,3),把点M(1,2,3)的坐标代入方程(4)我们得到,反之,凡是通过直线L的平面必定在方程(3)中.,方程(3)称为通过直线L的平面束方程.可知方程(3)是通过,直线L的.对于不同的,方程(3)表示通过直线L的不同平面.,3-=0,我们取=1,则=3.代入方程(4)得到,
