大学物理(简谐振动篇).ppt

1,大学物理下册,目录：,第六篇 近代物理基础：(2)第十五章 狭义相对论基础 第十六章 从经典物理到量子物理 第十七章 量子力学基础,第四篇 振动和波动：(12)第十一章 机械振动(5)第十二章 机械波(7),第二篇 热学：(14)第四章 气体动理论（6）第五章 热力学（8）,第五篇 光学：(18)第十三章 几何光学 第十四章 波动光学(684),要 求,AttendanceHomework蔡冬梅办公室：逸夫楼901,第四篇 振动和波动,振动与波无所不在,振动与波是横跨物理学各分支学科的最基本的运动形式。尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，但在形式上却有很大的相似性。,5,第十一章 机械振动,什么是振动？,一个物理量（如位置、电量、电流、电压、温度）在某一确定值附近随时间作周期性的变化，则该物理量的运动形式称为振动。,机械振动：位移x 随时间t 的往复变化电磁振动：电场、磁场等电磁量随t的往复变化微观振动：如晶格点阵上原子的振动,振动分类,6,11-1 简谐振动,*11-2 阻尼振动 受迫振动 共振,11-3 同方向的简谐振动的合成,*11-4 相互垂直的简谐振动的合成,第十一章 机械振动,7,第11章 机械振动,物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦函数)的规律随时间变化，这样的振动称为简谐振动，简称谐振动。,11-1 简谐振动,简谐振动是最简单、最基本的振动.,简谐运动,复杂振动,合成,分解,振动的理论建立在简谐振动的基础上。,8,第11章 机械振动,一、简谐振动的特征,1 用动力学方程定义,2 用运动学方程定义,或,二者关系？,振动方程,简谐振动的定义,9,第11章 机械振动,说明,（1）上述方程对于非机械振动也成立。,例 电磁震荡电路,（2）从运动学方程,（3）简谐振动的特点,等幅性,周期性,物体所受的力与位移成正比而反向,10,第11章 机械振动,1.x 位移,二、振动参量,广义上，指振动的物理量,2.A 振幅,最大位移，恒为正，表征系统的能量,1,A,振动的强弱,3.T 周期,物体离开平衡位置的最大位移的绝对值 A，由初始条件决定，描述振动的空间范围。,振动状态重复一次所需要的时间,描述振动的快慢.,物体在单位时间内发生完全振动的次数,振动的频率,11,第11章 机械振动,固有圆频率、固有周期和固有频率,T 的大小由谐振动系统本身性质决定，反映了系统的固有特性,（1）数学上，相位是一个角度，,物理上，相位是描写振动状态的一个参量。,角频率（圆频率）.,4.（）t 时刻的相位（位相）,12,第11章 机械振动,（2）用相位描述振动状态更能深刻反映物体运动的周期性。,（取决于时间零点的选择）,t,x,O,A,-A,=2,（3）初相，,13,第11章 机械振动,比较a、b两点：,结论：用相位描述物体振动，能反映出时间上的周期性，而（x，v）则不能。,位移，速度，相位.,相同,不同,不同,比较a、c两点：,位移，速度，相位.,相同,相同,不同,14,第11章 机械振动,相位差,1.对于同一简谐运动,对于简谐运动,t1时刻相位,t2时刻相位,相位差,相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间,15,第11章 机械振动,2.对不同一简谐运动,同方向、同频率振动,（初相差）,1.超前和落后,若=2-1 0,则 x2 比 x1 早 达到正最大,称 x2 比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后)。,利用相位差可比较两个振动的步调是否一致,16,第11章 机械振动,两振动步调相同,2.同相和反相,两振动步调相反,17,第11章 机械振动,由振动系统本身决定,弹簧振子：,单摆：,三、谐振动的描述,1.解析法,振动三要素：振幅、周期和相位,A，由初始条件决定(t=0),18,第11章 机械振动,例,一弹簧振子（m，k），已知,当t0时，,试写出振动方程。,解,简谐振动的表达式：,由初始条件：,振动方程：,取平衡位置为坐标原点,19,第11章 机械振动,例,一轻弹簧（k），下端挂一重物m，用手拉物向下至x处，然后无初速度释放。试写出振动方程。,解,原点取在原长,建立坐标 Ox 如图,分析小球受力，,可得：,（不是谐振动）,原点取在平衡位置,建立 ox轴,20,第11章 机械振动,推论：,若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位置，而坐标原点取在新的平衡位置上。,21,第11章 机械振动,规定,端点在x轴上的投影式,0,t+0,o,x,t=t时刻,t=0,谐振动,旋转矢量的大小A振幅,旋转矢量转动角速度谐振动的角频率,旋转矢量和参考方向的夹角相位,2.旋转矢量法,用匀速圆周运动 几何地描述 简谐振动,22,第11章 机械振动,匀速圆周运动在任意直径方向的分运动为简谐振动。,23,第11章 机械振动,（1）矢量端点在x轴上的投影为简谐振动方程,圆周运动与简谐振动的关系：,t=0时刻，矢量与x轴的夹角0为简谐振动的初相位,在任意t时刻，矢量与x轴的夹角t+0为简谐振动t时刻的相位,（2）旋转矢量的大小A是简谐振动的振幅,（3）旋转矢量转动角速度是简谐振动的角频率,（4）旋转矢量和参考方向的夹角是简谐振动的相位,24,第11章 机械振动,（1）相位显示直观,旋转矢量用图代替了文字的叙述。,旋转矢量法表示的优点：,25,第11章 机械振动,由图看出：速度超前位移,加速度超前速度,（2）比较相位方便,(3)计算时间简便,用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算。,26,第11章 机械振动,例,质点在x轴上作谐振动，从ABOCD，请指出各点时的相位，并说明相应的状态。,解,例,一弹簧振子，已知A、，试写出振动方程。开始时物体运动到正向最大位移处，(2)开始时物体在A/2处,向x正方向运动，,解,27,第11章 机械振动,例,一质点在x轴上作谐振动，T为已知，问：质点从AA/2和从A/20所需时间各为多少？,解,用相位分析问题,AA/2：,相位变化从0/3，,由,A/20：,相位变化从/3/2，,由,28,第11章 机械振动,例 利用旋转矢量法确定质点在不同运动状态时的相位。,由旋转矢量图可以得出，旋转矢量与x轴的夹角为零，故得,（2）质点经二分之一振幅处向负方向运动,（1）t 时刻质点在正最大位移处,29,第11章 机械振动,(3)当质点过平衡位置向负方向运动,同样,质点向负方向运动,注意到：,30,第11章 机械振动,（4）质点向正方向运动,或,6 7 8,31,第11章 机械振动,以振动平衡位置为坐标原点，振动方向为纵轴，t为横轴的 x t 关系曲线。,3.振动曲线,旋转矢量,振动方程,振动曲线,32,第11章 机械振动,解,例,已知振动曲线，求振动方程。,由振动曲线1，,t0时，x00，0 0,由振动曲线2，,t0时，x03，0 0,33,第11章 机械振动,例,一弹簧振子，m100g，把物体从平衡位置向下拉10cm后释放，已知T2s。求：（1）物体第一次经过平衡位置时的速度，（2）物体第一次在平衡位置上方5cm处的加速度，（3）物体从平衡位置下方5cm处向上运动到平衡位置上方 5 cm处所需最短时间。,解,建立坐标如图，,（1）,34,第11章 机械振动,（2）,（3）由旋转矢量图,35,第11章 机械振动,比较谐振动的x、a 的相位,可见，速度比位移 x 相位超前/2；加速度 a 比速度相位超前/2；加速度 a 与位移 x 反相。,36,第11章 机械振动,2)振动方程,3）微分方程,简谐振动的三个判据,1)受力特征,以上1）、2）、3）中任一条成立即可判定为简谐振动。,小结,37,第11章 机械振动,简谐振动的三种表示方法,旋转矢量法：,解析法：,曲线法：xt 曲线,旋转矢量,角速度圆频率,长度振幅A,初始角初相0,38,第11章 机械振动,旋转矢量图与简谐运动的x-t图的对应关系,39,第11章 机械振动,简谐振动的三个特征量,圆频率,振幅 反映振动的强弱，由初始条件决定.,可得,40,第11章 机械振动,41,第11章 机械振动,例 一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数 k=0.72N/m,物体的质量m=20g.求：(1)把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m 处停下后再释放,求简谐运动方程;,先求三个特征量：圆频率、振幅A、初相位0,解:（1）简谐振动的表达式：,42,第11章 机械振动,(2)求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率;,解（2）x=A/2时，速度方向为x轴负方向,由旋转矢量图知,相位,由旋转矢量图知0=0,所以运动方程为：,43,第11章 机械振动,因x0=0.05m,v0=0.3m/s,解（3）设 x=A cos(6 t+0),t=0 时,x0=0.05m,又 v0 0,所以,(3)如果物体在x=0.05m处时速度不等于零,而是具有向右的初速度v0=0.30m/s,求其运动方程.,44,第11章 机械振动,例 一质量为0.01kg的物体作简谐运动,其振幅为0.08m,周期为4s，起始时刻在x=0.04m处,向ox轴负方向运动.试求:(1)t=1.0s时,物体所处的位置和所受的力。,解（1）已知 A=0.08m,t=0时有:x=A/2,v00,45,第11章 机械振动,(2)由起始位置运动到x=0.04m处所需要的最短时间.,t=1.0s时,由上式解得x=0.069m,f=kx=m2x=1.70103N,受力为,解（2）t时刻运动到x=0.04m处,46,第11章 机械振动,例 两个同频率简谐振动曲线如图所示，比较它们的位相差关系。,A1,x2,T,x,t,o,A2,-A2,-A1,x1,选正最大位移，x2 比x1 较早达到正最大位移,x2 比x1时间超前T/4,相位超前/2.,解：选定某一运动状态，谁先到达谁超前.,47,第11章 机械振动,例 某简谐振动的振动曲线如图，写出振动方程。,解：设振动方程为,则由振动曲线：A=2 cm,t=0时刻,48,第11章 机械振动,又 v00，故,t=1s时,于是,的旋矢图：,49,第11章 机械振动,例 质点的振动规律用余弦函数描述，其vt 曲线如图，求初相位。,解：,令t=0,有,50,第11章 机械振动,将0的两个值代入，由图可以看出a00,所以 或,故选,51,第11章 机械振动,例 如图：m=20g,平衡时弹簧的形变为l=9.8cm。将弹簧压缩9.8cm,物体由静止释放。取开始振动时为计时零点，写出振动方程；,解（1）,平衡位置时 mg=k l,取平衡位置为坐标原点，向下为正,对物体任意位移 x 时受力分析,物体作简谐振动！,k,52,第11章 机械振动,由初条件：x0=9.8cm,v0=0,得,由x0=-A 得0=,振动方程为：x=9.8cos(10t+)cm,弹簧的弹性系数为：k=mg/l,53,第11章 机械振动,解（2）按题意,t=0 时,x0=0，v0 0,由旋转矢量法 0=-/2,x=9.8cos(10 t-/2)cm,对同一谐振动,取不同的计时零点,0不同，但 和 A 不变.,（2）若取x0=0，v0 0为计时零点,写出振动方程。,54,第11章 机械振动,1、单摆理想模型,(1)单摆结构的理想模型：摆线不能伸长摆线的质量为零摆球为质点,四、几种常见的谐振动,忽略空气阻力，质点在平衡点附近往复运动,第11章 机械振动,最大摆角小于5,（3）单摆振动的回复力：,重力的切向分力,G,F回=Gsin,（4）单摆具有等时性（伽利略发现）,（2）可看成是简谐运动的条件：,（5）能量：动能和重力势能相互转化，总能量不变。,56,第11章 机械振动,2、周期公式,由转动定理,当 50时，sin,（简谐振动）,角位移,角振幅,57,第11章 机械振动,例,解,单摆的振动方程：,由系统决定,（振幅）,初相：,周期相同,用手拉摆球，单摆从平衡位置偏一小角0，无初速度释放，偏角大小不同，（1）周期相同吗？（2）振幅A相同吗？（3）0是不是初相？,A和 由初始条件决定,初始条件t=0时，有,不是初相,58,第11章 机械振动,四、谐振动的能量,（以水平弹簧振子为例）,1.动能,2.势能,3.机械能,（简谐振动系统机械能守恒）,E,结论1：系统的动能、势能都随t作周期性变化，但系统总能量不变，且与振幅平方成正比。,结论2：系统作一次全振动，能量转换2次。即能量转化的周期 振动的周期的一半,59,第11章 机械振动,振动能量和时间的关系(设初相位为零),60,第11章 机械振动,1),2)时间平均值,3)由简谐振动能量求振幅,具有普遍适用性,讨论,简谐振动的各特征量的性质 振幅A 由系统的振动能量决定；角频率 由系统的内在性质决定；初相0 由时间零点的选取决定。,61,第11章 机械振动,例9 弹簧振子总能量为E1，若其振幅增为原来的两倍，重物质量增为原来的四倍，则振子总能量为原来的几倍？,解：,振子总能量为原来的4倍.,62,第11章 机械振动,例 系统作谐振动，周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零，则在0 t T/2范围内，系统在什么时刻动能和势能相等。,解：,动能和势能相等的位置在,振动方程,旋矢图：,或,因此,63,第11章 机械振动,例,质量为m的平底船，底面积为S，吃水深度为h，不计水的阻力，求：船在竖直方向的振动周期T。（水的密度为）,水面,解,取水平面为坐标原点，,船上任意一点都可代表船的位置，取平衡时同水线上一点P,P,h,建立动力学方程：,y,（谐振动）,64,第11章 机械振动,回顾,单摆,谐振动的能量,系统动能和势能均随t作周期性变化，但总能量不变，与振幅平方成正比。,能量转换周期等于振动周期的一半。,如何证明系统是否谐振动,建立坐标系（原点取在平衡位置）,分析研究对象：,平动 Fm a,转动 MJ,动力学方程,动力学方程,周期,65,第11章 机械振动,习题类型：,已知振幅、频率及初始条件，求振动方程；已知振动曲线，求简谐振动方程；比较两个简谐振动的相位关系。,66,第11章 机械振动,在实际问题和具体过程中，振动往往是由好几个振动合成的。例如，在凸凹不平的路面上行驶的小汽车，车轮相对地面在振动，车身相对车轮也在振动，而车身相对地面的振动就是这两个振动的合振动。巧妙设计现代汽车的减震系统，可以使车身相对地面的震动不至于太剧烈。,67,第11章 机械振动,11-3 简谐振动的合成,一、同方向、同频率谐振动的合成,结论：合振动 x 仍是简谐振动,振动频率仍是,二、同方向、不同频率谐振动的合成,三、互相垂直、同频率谐振动的合成,四、互相垂直、不同频率谐振动的合成,y1,68,第11章 机械振动,两个特例,(1)同相位,69,第11章 机械振动,(2)反相位,70,第11章 机械振动,（3）一般情况下,（1）相位差,相互加强,相互削弱,（2）相位差,两个同频率简谐振动合振幅与相位的关系,两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅,两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅,总结,71,第11章 机械振动,例,求 若 x30.03cos(t3)，3取何值时，x1x3 振幅最大，x2 x3振幅最小？,解,x1x3 振幅最大，同相合成,x2x3 振幅最小，反相合成,72,第11章 机械振动,自我检查：,（1）掌握简谐振动的运动学和动力学特征，理解简谐振动的平衡位置的意义。（2）掌握描述简谐振动的三个特征量的意义和决定因素。突出相位和初相的物理意义（3）掌握用旋转矢量和振动曲线表示简谐振动的方法和初相的确定。（4）理解简谐振动能量的意义及谐振动能量与振幅的关系。（5）掌握两个同方向、同频率谐振动的合成规律及合振动振幅极大值和极小值的条件。,END,