大学复变函数与积分变换.ppt

第三节 泰勒级数,一、泰勒定理,二、将函数展开成泰勒级数,三、典型例题,四、小结与思考,2,一、泰勒定理,其中,泰勒级数,泰勒展开式,3,说明:,1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多;(想一想,为什么?),4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的.,(为什么?),4,因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性;,所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.,注意,问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？,5,那末,即,因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一的.,6,二、将函数展开成泰勒级数,常用方法:直接法和间接法.,1.直接法:,由泰勒展开定理计算系数,7,例如，,故有,8,仿照上例,9,2.间接展开法:,借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.,10,例如，,11,附:常见函数的泰勒展开式,12,13,例1,解,三、典型例题,14,上式两边逐项求导,15,例2,分析,如图,16,即,将展开式两端沿 C 逐项积分,得,解,17,例3,解,18,例4,解,19,例5,解,20,五、小结与思考,通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.,21,奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?,思考题,22,奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含 z 的偶次幂项.,思考题答案,放映结束，按Esc退出.,23,泰勒资料,Born:18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,EnglandDied:29 Dec 1731 in Somerset House,London,England,Brook Taylor,