多元复合函数微分法(IV).ppt

高等院校非数学类本科数学课程,大 学 数 学,（三）,多元微积分学,第一章,多元函数微分学,第一章 多元函数微分学,本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。,会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。11.了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12.理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。13.掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。,一.全 导 数,多元函数经复合运算后,一般仍,是多元函数,但也可能成为一元函数.,按前面关于多元函数的讨论方法,复,合函数求导法则的研究可从复合后成,为一元函数的情况开始.,这就是全导数问题.,第五节 多元复合函数微分法,下面看另一种解法.,解,解,你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？,+,将例中的情形进行一般性的描述,由此可推至一般的情况,定理(全导数公式),+,全导数公式图示,定理(全导数公式),现在证明定理,从而,证,定理获证,为什么取绝对值?,解,设以下函数满足定理的条件,写出二元和三元函数的全导数公式:,请同学自己写,开始对答案,你做对了吗?,二.链导法则,一般多元复合函数的求导法则,假设所有出现的函数求导运算均成立,试想一下如何求下面的导数：,将 y 看成常数,将 x 看成常数,分别将 x,y 看成常数,按全导数公式求导,而在具体运算时,实质上又是求多元函数的偏导数.,从上面的作法可以看出,将复合的多元函,求函数偏导数.,全导数公式求导,在具体求导过程中实质上是,数中其余的变量看成常数,对某一个变量运用,定理,m 个 n 元函数,一个 m 元函数,一个 n 元函数,定理,m 个 n 元函数,一个 m 元函数,一个 n 元函数,定理的条件,则有,设,求,解,设,求,解,设,求,关于 u 的 一元函数,解,自己做,解,设,令,则,解,设函数,均可微,求,g,g,解,设函数,均可微,求,g,g,解,三.全微分形式不变性,记得吗?,一元函数的微分有一个重要性质：,一阶微分形式不变性,还是中间变量,在可微的条件下,均有,在可微的条件下,f 的全微分总可写为：,不论 x 和 y 是自变量还是中间变量,详细的推导过程请同学自己看书.,设,不论,是自变量,还是中间变量,在可微的条件下,均有,一般说来:,设,应用全微分形式不变性求,解,设,应用全微分形式不变性求,解,谢谢观看！,