多元函数的极限与连续性.ppt

,第二节、多元函数的极限和连续性,一、多元函数的极限,二、多元函数的连续性,三、小结、思考题,四、作业,极限，,定义2.1,任意给定的正数,，总存在正数,使得当,时，都有,一、多元函数的极限,对于,是D的聚点,若存在常数,记为,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限。,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,(4)二元函数极限的概念可相应的推广到 n 元函,数上去。,或,也可记为,或,例3 求证,证,当 时，,原结论成立,例4 求极限,解,其中,例 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,（1）,若,极限值与k有关，,则可断言极限不存在；,（2）,找两种不同趋近方式，,存在，,但两者不相等，,令P(x,y)沿 y=kx 趋向于,使,此时也可断言,证：,时，,分析：,如图所示，,任何直线趋于原点时，,都趋于,都趋于,当点,相应的,解：,零;,间断点。,二、多元函数的连续性,定义2.3,是其聚点且,如果,如果,若函数 在 内每一点都连续，,函数 在 上连续。,则称,解,故函数 在(0,0)处连续.,解,故函数 在(0,0)处连续.,（1）一元函数中关于连续函数的运算法则，,对于多元函数仍适用，,积、商（分母不为零）仍连续，,复合函数也连续。,如：,都在,其自然定义域上连续。,（2)与一元初等函数类似，,能用一个算式表示的多元函数，,这个算式由常,多元连续函数的,注,因此多元连续函数的和、差、,多元初等函数是指,等都是多元初等函数。,量及其不同自变量的一元基本初等函数,限次的四则运算和复合运算而得到，,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,重要结论：,一切多元初等函数在其定义区域内,是连续的。,如：,经过有,解,例,设,求,点P0处连续，,数，,于是,闭区域上连续函数的性质,上有界，,（1）有界性与最大值最小值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，,（2）介值定理,在有界闭区域D上的多元连续函数，,必在D,且能取得它的最大值和最小值。,在 D 上取得介于最大值和最小值之间的任何值。,必定,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,小结,思考题,能否断定,？,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,若取,的图形,练 习 题,二、求下列各极限：,1.,2.,三、证明：,3.,练习题答案,作业,