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多元函数微积分,多元函数的极限与连续多元函数微分学隐函数定理及其应用含参量积分曲线积分重积分曲面积分,第16章 多元函数的极限与连续,1 平面点集与多元函数（了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念）,一、平面点集,坐标平面,平面点集 E=(x,y)|(x,y)满足的条件,邻域 U(A,)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,空心邻域 U0(A,)=(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)22U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,(x,y)(x0,y0),（一）下面利用邻域描述点和点集的关系,()内点 U(A)E,()外点 U(A)E=,()界点 U(A)E 且 U(A)EC,点AR2和点集ER2必有以下三种关系之一：,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,()聚点 U0(A)E,点A近旁是否有点集E中无穷多点构成另一种关系：,()孤立点 AE 且 U0(A)E=,练习1:,问A是E的内点?外点?,(1)设,问,(2)设,是,E的聚点?孤立点?,呢?,（二）一些重要的平面点集,闭集 E的所有聚点E,开域 连通的开集,闭域 开域连同边界,开集 intE=E,有界点集、无界点集,点集的直径,三角不等式,区域 开域、闭域，或开域连同部分边界,练习2:,则原点是K的 点,(1)设,孤立点、界点，但不是聚；,圆周上的点是K的 点,界点、聚，但不属于K；,K,是开域、是闭域，有界集。,不,也不,是,(2)求下列平面点集的聚点集合,二、R2上的完备性定理,R2上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。,为此，先给出平面点列的收敛性概念。,定义1 设,为平面点列，,为一固定点.,若,使当,时，有,则称点列,收敛于,记作,或,点列极限的两种等价形式：,定理16.1(柯西准则),平面点列,收敛的充要条件是：,使当,时，对一切,有,定理16.2(闭域套定理),设,是,中的闭域列，满足,则存在唯一的点,课堂练习：P92:1(1)(3)(6)作业：P92:1(7),3,5,定理16.3(聚点定理),设,为有界无限点集，则,在,中至少有一个聚点。,推论,有界无限点列,必存在收敛子列,定理16.4(有限覆盖定理),设,为一有界闭域，,为一开域族，它覆盖了,(即,),则在,中必存在有限个开域,它们同样覆盖了,(即,)。,推广：,将定理16.4中的,改为有界闭集，而,为一族开集，此时定理依然成立。,三、二元函数,定义2 设平面点集,若按照某种对应法则,中每一点,都有唯一确定的实数,为定义在,上的二元函数，记作,为,与之对应，则称,的定义域,函数值,值域,自变量,因变量。,为方便计，二元函数也记作,或,便是二元函数,三维欧氏空间,中的点集,的图像。,例2,例3,例4,例5,若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数。否则称为无界函数。,练习3:描绘下列函数图象,四、n元函数,设点集,若按照某种对应法则,使每一点,都有唯一确定的实数,为定义在,上的 n元函数，记作,与之对应，则称,n元函数也记作,或,课堂练习：P92:4,6(1)(3);P93:8(1)(4)(7)作业：P93:8(5)(10),小结：1、掌握平面点集的有关概念；2、了解平面上的完备性定理；3、了解多元函数的概念。,2 二元函数的极限,一、二元函数的极限,例1 依定义验证,证明,例2 设,下面的定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数极限的海涅归纳原则，证法也类似。,类似地可以定义,和,二元函数极限的四则运算法则和相应定理仍成立。,例如，,课堂练习：P99:1(1)(2)(3),二、累次极限,重极限和累次极限是两个不同的概念，它们的存在性没有必然的联系。例如：,重极限和累次极限在一定条件下也是有联系的：,课堂练习：P99:2(1)(2)(3),思考题:重极限存在=累次极限存在?重极限存在=次极限存在且相等?,作业：P99:1(5)(7),2(4)(5),小结：1、掌握二元函数极限和累次极限的概念；2、了解有关定理和推论；3、掌握重极限和累次极限的求法（含不存在）。,3 二元函数的连续性,一、二元函数的连续性概念,如上节例1给出的函数在原点连续；事实上，,注：若一元函数在某点连续，将它看作二元函数，则在相应点仍连续。,类似地，例2给出的函数也在原点连续（P94）。,例3、4给出的函数在原点不连续。,若把例3给出的函数改为,则它沿直线 在原点连续。,注意：偏增量的和不一定等于全增量。,容易证明：若二元函数在某内点连续，则对单个自变量都在该点连续。但是反过来，二元函数在某内点对单个自变量都连续，并不能保证该函数的连续性。例如，,若二元函数在一点连续，则与一元函数一样，可以证明它在这点近旁具有局部有界性、局部保号性以及有理运算的各个法则。下面仅证明二元复合函数的连续性定理.,练习:说明下列函数的连续性,二、有界闭域上连续函数的性质,本段讨论有界闭域上多元连续函数的性质。它们可以看作是闭区间上一元连续函数性质的推广。,实际上，定理16.8与16.9中的有界闭域可改为有界闭集(证明过程无原则性变化)。定理16.10中的有界闭域(它保证连通性)不可改为有界闭集(开集、闭集不一定具有连通性)。此外，定理16.10中的连续函数的值域必定是一个区间。,2、考察下列函数的连续性：,作业:P105:1(1)(3)(5),3.,那么它在,小结：1、掌握二元函数的连续性概念；2、了解有界闭域上连续函数的性质。,“Ch16二元函数的连续性与极限”习题课,一、基本内容和要求,1、了解平面点集的有关概念，了解平面上的完备 性定理，了解多元函数的概念。,2、理解二元函数的极限和累次极限的概念，并会计算，知道它们之间的联系。,3、了解二元函数的连续性概念和有界闭域上连续函数的性质。,二、作业问题P92,3,5.P99,1(5)(7)，2(4).P104,1(3).,三、练习题,8*、试用有限覆盖定理证明有界闭域上二元连续函数必定一致连续。（一致连续性定理）,四、横线以下的习题,P93，9，10.,P100，7.,P105，6，7.,
