多元函数微分习题.ppt

,第 八 章,习 题 课,一、多元函数基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,主要内容,1.多元函数概念,3.多元函数的连续性,一、多元函数的基本概念,2.多元函数的极限,判断二重极限不存在的方法,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,求极限的方法,1.偏导数的定义、几何意义及计算,3.复合函数求导的链式法则（分析复合结构）,二、多元函数的微分法,2.全微分的定义与计算，函数连续、可导与可微之间的关系（链接）,4.隐函数求导方法（方程和方程组确定的隐函数求导）,方法1.利用复合函数求导法则直接计算;,方法2.利用全微分形式不变性;,方法3.代公式,高阶偏导数,复合函数求高阶导数,多元函数连续、可导、可微的关系（链接）,1.在几何中的应用,求曲线在切线及法平面,(关键:抓住切向量),求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),3.极值与最值问题,非条件极值的求法,条件极值的求法(消元法,拉格朗日乘数法),三、多元函数微分法的应用,2.方向导数,梯度,求出 的表达式.,解 令,即,则,且,例1.已知,例2 求下列二重极限：,解：,法二:令,极限不存在,解,(1),(2),例4 判断函数,(3),不可微,例5,解,于是可得,答案,有二阶连续偏导数,且,求,解:,例7,解:,解,可得,解：,利用拉格朗日乘数法可知,比较得,已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆,圆周上求一点 C,使,ABC 面积 S最大.,解答提示:,设 C 点坐标为(x,y),则,例11,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应最大面积,而,比较可知,点 C 与 E 重合时,三角形,面积最大.,（唯一驻点）,练习题,1.设函数 f 二阶连续可微,求下列函数的二阶偏导数,解答提示:,第 1 题,上求一点,使该点处的法线垂直于,练习题：,2.在曲面,并写出该法线方程.,提示:设所求点为,则法线方程为,利用,得,平面,法线垂直于平面,点在曲面上,