复数的几何表示.ppt

,第二节,复数的几何表示,第一章,一、复数的几何表示,二、模和辐角,一、复数的几何表示,1.用复平面上的点表示复数,(2,2),z=2+2i,(虚轴),(实轴),注意：复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。,2.用复平面上的向量表示复数,向量 与复数 一一对应，故用它表示复数.,z 与 z 在复平面上关于实轴对称.,容易看出，,二、复数的模和幅角,记作,复数z 的模：向量 的长度，,注意:,向量 的方向角.,2)0的模为零，0的辐角不确定.,记作,满足 的那个幅角.,记作,复数z 的辐角：,3),复数z的幅角主值:,于是幅角与幅角主值的关系,幅角主值的计算:,若z在第一、四象限；,若z在第二、三象限；,若,若,由于z 位于第二象限，,解,(1)模为,解,由于z 位于第三象限，,两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，,例2 证明复平面上的三角不等式,证,例3,求下列在复平面上所表示的曲线:,解,-i,化简后得,利用直角坐标与极坐标的关系,则z也可以表示成,再利用欧拉公式,三、复数的三角表示和指数表示,则z也可以表示成,复数的三角表示式,复数的指数表示式,解,复数 的三角表示式为,复数 的指数表示式为,习惯上取主辐角,例4,例5 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,1.复数的模、辐角、幅角主值;2.复数的各种表示法.,内容小结,各种表示法可相互转化,1.是否任意复数都有辐角?,思考题,它的模为零而辐角不确定.,作业,习题一:1(2)(4)、2、4(1)(6)7,8(3)(4)(5),例4,解,所以它的复数形式的参数方程为(复方程),例5,求下列复方程所表示的曲线:,代入复方程得,*二、复球面,1.南极、北极的定义,球面上的点，除去北极 N 外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.,2.复球面的定义,3.扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.,对于复数来说，实部、虚部、辐角等概念均无意义，它的模规定为正无穷大.,复球面的优越处:,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈,