垂直于弦的直径(公开课).ppt
24.1.2 垂直于弦的直径 垂径定理及其推论,R九年级上册,圆有无数条对称轴，每一条对称轴都是直径所在的直线.,圆有哪些对称轴？,O,已知：如图，AB为圆O直径，点C为圆上任 意一点求证：点C关于AB的对称点一定在圆O上,如何来证明圆是轴对称图形呢？,B,C,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理,CD是直径，AB是弦，CDAB,过圆心垂直于弦,平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,垂径定理,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？,图1,图2,图3,图4,过圆心垂直于弦,垂直于弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,过圆心平分弦,平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,N,O,A,B,M,C,D,为什么强调这里的弦不是直径？,垂径定理推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形,d+h=r,r,有哪些等量关系？,随堂演练,基础巩固,1.下列说法中正确的是()A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴,B,2.如图，O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是()A.AOD=BOD B.AD=BD C.OD=DC D.AC=BC3.半径为5的O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是，最短弦的长是.,C,10,6,4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E.求证：四边形ADOE是正方形.,5.如图，在半径为50mm的O中，弦AB的长为50mm.求：(1)AOB的度数；(2)点O到AB的距离.,5.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.证明：过O作OEAB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,则AE=BE，CE=DE，AE-CE=BE-DE，即AC=BD.,例2 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,A,C,B,D,O,37,7.23,18.5,R,R-7.23,解：设赵洲桥主桥拱的半径为R.则R2=18.52+(R-7.23)2 解得：R27.3 因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.,A,C,B,D,O,37,7.23,18.5,R,R-7.23,6.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是O中弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求O的半径.解：连接OC.OM平分CD,OMCD且CM=MD=CD=2m.设半径为r，在RtOCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r=.即O的半径为 m.,7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB300m，C是AB上一点，OCAB，垂足为D，CD45m，求这段弯路的半径.解：设半径为r.OCAB，AD=BD=AB=150m.在RtODB中，OD2+BD2=OB2，即(r-45)2+1502=r2.解得r=272.5m.因此，这段弯路的半径为272.5m.,9.O的半径为13cm，AB、CD是O的两条弦，ABCD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.,综合应用,解：分两种情况讨论.第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.如图(1)，过点O作OMCD，垂足为M，交AB于点E.连接OB、OD.ABCD.OEAB.,EMOM-OE7cm.,第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，EM=OM+OE=17cm.即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.,10.如图，AB和CD分别是O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM和ON，如果ABCD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？,拓展延伸,解：OMON.理由如下：连接OA、OC.则OAOC.ONCD,OMAB,又ABCD,CNAM,CN2AM2.在RtOCN和RtOAM中，OM2OA2-AM2,ON2OC2-CN2,OM2ON2.OMON.,课堂小结,垂径定理,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.方法规律：利用垂径定理解决问题，通常是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形利用勾股定理解答.,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何 个条件都可以推出其他 个结论.,注意,两,三,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦,垂径定理的推论,课后作业,1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.,教学反思,这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究素质.,
