变质量动量定理.ppt

第六章变质量动力学,61 变质量质点的运动微分方程,1.变质量质点的运动微分方程,设作用于质点系的外力为,质点系在瞬时t的动量为,质点系在瞬时t+dt的动量为,根据动量定理,得,将上式展开得,略去高阶微量,并以dt除各项,得,或,（61）,式中 是微小质量dm在并入前,对于质点m得相对速度,令,（62）,则式（61）改写为,（63）,上式称为变质量质点的运动微分方程,式中m是变量,是代数量,因 具有力的量纲且与喷气方向相反,称为反推力,2.常用的几种质量变化规律,（1）质量按线性规律变化,设变化规律为,（64）,式中 皆为常数,该式代表质量随时间呈线性变化,由 知,其反推力为,（65）,可见,当 为常数时,反推力也为常量,且与 方向相反,（2）质量按指数规律变化,设变化规律为,（66）,式中 皆为常数,由 知,其反推力为,（67）,令 表示仅在反推力 作用下变质量质点的加速度,（68）,则当 为常量时,也是常量,即由反推力引起的加速度为常量,例 61,设火箭在真空中运动且不受任何外力作用,方向与火箭运功方向相反,单级火箭,其喷射出的气体相对于速度 的大小不变,此问题称齐奥尔科夫斯基第一类问题,对这一问题,变质量质点的运动微分方程（63）,在运动方向上的投影为,设初始时刻t=0时,将式（a）积分得,（b）,设火箭燃烧终了时质量为,速度为v,令,（c）,称N为质量比（有些资料取 为质量比）,令,（b）,称 为火箭的特征速度,它代表这一级火箭在初始速度 的基础上所能增加的速度,由式（d）可得,（c）,称此式为齐奥尔科夫斯基公式,它表明在 已知时,欲使火箭达到特征速度 所应具备的质量比,如果火箭在真空中且处于均匀重力场内,沿铅直方向向上运动,称为齐奥尔科夫斯基第二类问题,与第一问题的区别是有均匀重力作用,运动微分方程（63）在铅直方向上的投影为,（f）,设初始时刻t=0时,且 为常量,将式（f）积分得,（g）,例 62,单级火箭具有重大的缺欠,任何时候火箭的反推力不仅要使有效载荷产生加速度,二级火箭及多级火箭,而且也要使庞大的壳体产生同样的加速度,这就限制火箭速度的提高,多级火箭可以克服这一缺欠,那就是燃料装得越多其壳体也就越大,当前一级火箭燃料燃烧终了时,连同其壳体一起抛弃,后一级火箭开始工作,二级火箭由3部分组成,第一级火箭,第二级火箭和载荷,设第一级火箭总质量为,其内携带燃料的质量为,且,第二级火箭总质量为,其内携带燃料的质量为,载荷的质量为,方向与火箭速度方向相反,每秒喷出的燃料质量也为常数,火箭由静止开始运动,略去重力,由例6.1式（b）可得,第一级火箭的燃料全部喷射完时火箭的速度为,（a）,当第二级火箭的燃料也全部喷射完时 速度为,（b）,如果取,则由式（a）及（b）可得,如果用单级火箭,仍采用上面的参数,所求得的速度就要低的多,设二级火箭的总质量（不含载荷质量）,为常量,则 的不同分配将影响火箭的速度,将式（a）代入式（b）,记,则 是 的函数,为求 的最大值,将其对 求导,并令,化简并只取M/P幂级数展开的首项,得,（d）,满足式（c）的 将使 达到最大值,将式（c）代入式（a）（b）,略去 及 的高次项,可得,（d）,如果取,则,如果仍用,则由式（d）可得,这显然比 时的 要大得多,下面讨论多级火箭,设各级火箭的质量分别为,各级火箭内的燃料质量为,载荷质量为,各级火箭喷射气体的相对速度方向都与火箭速度方向相反,大小分别为,不计重力,则由例61式（b）可以求得,第i级火箭在燃料喷射完毕时所增加的速度,令,（e）,则得第n级火箭燃料燃烧完毕时的速度,（f）,利用拉格朗日乘子法,可以求得满足下式的 将使火箭的总质量为最小值,（g）,式中为拉格朗日乘子,将式（g）代入式（f）,设 皆为已知,则可以求得,再将求得的代入式（g）,即可得,如果有,则用上面方法可以求得,（h）,（i）,式（i）表明,欲使火箭总质量为最小,火箭中每一级火箭燃烧完毕所增加的速度 值应相同,即欲使火箭达到给定的最终速度,使火箭总质量为最小值的条件是,火箭中每一级燃料燃烧完毕时所增加的速度必须相同,满足这一条件时总质量为,（j）,利用 相等这一条件,可以求得多级火箭中各级火箭之间的质量分配,例如二级火箭（n=2）,三级火箭（n=3）,如图所示,横坐标n代表火箭级数,纵坐标 代表火箭总质量 与载荷质量 之比,欲将人造地球卫星送入轨道,火箭的最终速度应达到,设,按上面公式可以求得火箭总质量的最小值：,一级火箭（n=1）,（即不可能达到7.8km/s）,二级火箭（n=2）,三级火箭（n=3）,四级火箭（n=4）,五级火箭（n=5）,n级火箭（n）,62 变质量质点的运动学普遍定理,研究变质量质点的动量,动量矩及动能的变化规律所使用的动量定理、动量矩定理,及动能定理统称变质量质点的动力学普遍定理,1.变质量质点的动量定理,（69）,将式（62）（63）代入式（69）得,（610）,记并入（或放出）质量的绝对速度为,即,则式（610）可写为,（611）,记,（612）,称 为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力,将其代入式（611）得,（613）,式（613）称为变质量质点动量定理的微分形式：,变质量质点的动量对时间的导数,等于作用其上的外力与由于并入（或放出）,质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和,将式（613）积分,设t=0时质点质量为,速度为,得,（614）,式（614）称为变质量质点动量定理的积分形式,如果并入或放出质量的绝对速度,则式（613）成为,此式与不变质量质点的动量定理形式相同,但其m=m(t)是变量,将其积分有,显然,即使,也不是常量,2.变质量质点的动量矩定理,变质量质点对任一点O的动量矩为,（615）,式中 为从点O指向该质点的矢径,点O为定点,将变质量质点动量定理的微分形式（613）代入可得,（616）,式（616）称变质量质点的动量矩定理：,变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数,等于作用于质点上外力的合力对,该点之矩与由于并入（或放出）,质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和,3.变质量质点的动量定理,变质量质点动量定理的微分形式（613）可以写成,（617）,将上式各项点乘,得,由于,因此上式可写为,（618）,或,（619）,式（618）或（619）称变质量质点的动能定理：,变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于,其牵连速度而具有的动能的代数和,等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）,质量的绝对速度引起的反推力所作的元功之和,由于,即,因此式（618）也可以写成为,（620）,因此变质量质点的动能定理也可以这样叙述：,变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量,由于牵连运动而具有的动能之差,等于作用于质点上外力的合力与反推力所作的元功之和,例 63,图为传送砂子的装置,然后流出斜面,设砂子以流量q=常数（kg/s）从大漏斗中流下,斜面上砂子是定常流动,砂子从漏斗铅直流下,其质量保持不变,不计摩擦,求倾角应为多少,以速度 流下倾角为的传送带上并沿斜面下滑l长度,若使砂子在斜面上的速度 为常数,解：,研究传送带上的砂子,由变质量质点的动能定理式（618）,有,式中 为漏斗流入到传送带上的砂子质量元,为从传送带上流出的砂子质量元,为 流出时的绝对速度,有,常数,将这些关系式代入前式得,式中s为砂子沿传送带方向的位移,由于流量q,质量m及斜面长度l之间有关系：,或,因此有,即,得,例 64,设小方块长度极短,初始静止,小方块最外端在桌边,总长度为l的一排方块放在图所示水平桌面上,求在如下两种情况下,当小方块已经有一半离开桌面时,总质量为,数量很多,相邻的小方块互相接触而不连接,如图加一水平的常力,留在桌面上的小方块的速度,（1）忽略桌面上的摩擦力,（2）桌面与小方块间的动滑动摩擦因数为f,解：,研究仍在桌面上的一群小方块,并将其视为变质量质点,小方块离开桌面瞬时,选坐标Ox,（1）由于,且无摩擦,将动量定理式（610）投影到轴Ox上,有,式中,化简后分离变量得,将上式积分,利用初始条件x=l 时v0,当x=l/2时,有,（2）当有摩擦时,式（610）成为,化简后得到,将上式分离变量并积分,利用初始条件x=l 时v0,利用x=l/2时,有,