动力气象学第三章.ppt

第三章 尺度分析与基本方程组的简化（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS）,为什么要简化基本方程组？,数学上：方程组是高度非线性的，求解上异常困难物理上：影响大气运动的因子很多，重点不突出,原因：描述大气运动的基本方程组非常复杂,因此：需要简化,数学上：略去方程中相对较小的项，保留大项，使方程简单，容易求解物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握现象本质；,最终结果：,使简化的方程反映的物理规律更加清晰，求解起来更加方便。,具体来说，大气中存在各种不同尺度的运动，虽然它们都用同一个基本方程组来描述，但由于运动的尺度不同，使其运动性质不一样。当我们研究某一特定尺度运动时，只有抓住决定该尺度运动的主要因子，忽略那些次要因子，才能把握该运动的基本特性。,途径：尺度分析,一般，采用尺度分析方法。它是一种对物理方程进行分析和简化的有效方法。这一方法是恰尼（1948年）首先倡导的。以后经伯格（Burger,1958年）、菲利普斯（1963）等人进一步发展完善，现在大气动力学和数值天气预报的研究中得到广泛的应用。,本章的主要内容：1、尺度概念和大气运动的尺度分类2、尺度分析方法3、运动方程的尺度分析4、基本方程组的简化与运动的基本性质5、无量纲方程与无量纲参数,一、尺度的概念,由实际观测资料可知，任一物理量都有一定的变动范围，我们可以用各物理量场具有代表意义的量值来表示它的基本特征。各物理量具有代表意义的量值称为该物理量的特征值。这一特征值就是尺度。一般是用它的数量级来表征它的大小。,例如，在天气图上常见的天气系统中（中低层大气），水平风速大致在5到25ms-1 之间，故可取10ms-1 作为它的尺度。若水平速度尺度（特征值）记作V，实际水平速度可以写为：u=Vu*v=Vv*，u*、v*为一无量纲量，其量值在之间。,将任一物理量写作：,其中：Q特征量，表示该物理量的一般大小；常量；有量纲,无量纲量，量级在 100左右，表示物理量的具体大小；是变量；没有量纲,这里的q是广义的，不仅包括气象要素，还包括方程各项。比较物理量的大小，可以比较特征量Q的大小（即“尺度”）。如：已知：,则：,二、“尺度分析”概念,依据表征某类运动系统各场变量的特征值，来估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。根据尺度分析的结果，结合物理上的考虑，略去小项，保留大项，以得到突出某类运动特征的简化方程。,“尺度分析”的步骤：,明确要分析的运动系统，即（大、中、小）尺度运动；了解该尺度运动中各基本物理量的特征量的量级大小；将q=Qq*代入方程，写出方程中各项的特征量；计算各项特征量的量级；比较大小，保留大项，略去小项。,大、中、小尺度运动的基本尺度,基本方程组的尺度分析,待定尺度,基本方程组的尺度分析,在中高纬度大尺度大气运动中，各物理量的特征量为：,10-4 10-4 10-5 10-3 10-6 10-3 10-12 ms-2,其中：,三、运动方程的尺度分析,10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-12 ms-2,10-7 10-7 10-8 101 101 10-3 10-15 ms-2,分子粘性力可以忽略不考虑分子粘性和湍流粘性“自由大气”,对短期天气过程来说，分子粘性很小，即日常天气过程可以不计；对气候学来说，分子粘性累积起来就很大了，所以不能忽略！,讨论：,取“零级近似”，即只保留量级最大项，得到的简化方程为：,水平方向上：,水平气压梯度力水平科氏力0,地转平衡,“零级近似”的特点：,这表明“大尺度”运动中水平气压梯度力与科氏力基本相平衡的，运动是准地转的。,矢量形式：,(Geostrophic balance),地转平衡关系的重要性：,揭示了风场与气压场之间最简单，最基本的联系。大尺度运动处于准地转平衡状态，这是大尺度运动一个重要性质。,The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems.,地转平衡运动的特征：动力学特征：水平压力梯度力与科氏力相平衡运动学特征：风沿等压线吹；背风而立，高压在右，低压在左（南半球相反）。,地转风的表达式：,南半球：,在南半球：高压反气旋逆时针,垂直方向上：,静力平衡,上式表示：在垂直方向上气压梯度力与重力基本平衡，在大尺度运动中，任何一点的气压相当精确地等于该点以上单位截面积的重量。注意：这不意味没有垂直运动，只是近似平衡。,Hydrostatic equilibrium,静力平衡关系的重要性：,给出了瞬时气压场、密度场、温度场之间的关系。,大尺度运动经常处于准静力平衡状态，这是大尺度运动又一重要性质。,运动方程的零级近似式中不含有气象要素的时间导数项，称其为诊断方程。不能对速度场作确定，因此不能作为预报方程。,注意：,四、连续方程的零级简化形式：,水平无辐散,连续方程的零级简化说明大尺度运动是准水平无幅散的。,小结：,“零级近似”得到的平衡方程：,这组方程中不含有时间偏导数项，所以称之为“平衡简化方程组”。这组方程中不含有热力学方程,由此可见，中高纬度大尺度大气运动的主要特征是：准地转平衡、准静力平衡、准水平无辐散、准水平、准定常。,五、一级简化方程,一级简化方程组可称为“非平衡简化方程组”。在这一方程组中，运动方程是不含有W项。由于垂直运动对于大气变化有重要影响，虽在运动方程中一般对流项比其它项要小，但作为预报方程，一般还应保留对流项。一级简化方程组中的连续方程不含时间导数项，这表明密度场基本上是定常的，可作为预报方程有时也保留时间导数项。,此外，热力学方程此时常采用绝热形式：,由尺度分析可以证明，气压的全导数几乎由垂直运动决定。对于中纬度大尺度运动,尺度分析得：,略去小项有：,由此得到热力学一级简化方程：,其中，,上式改写为：,静力平衡关系,这说明大尺度运动中温度的局地变化主要是由温度平流和垂直运动决定的。一级简化方程与原方程组最大的差异在于垂直运动方程采用了静力平衡关系，这样简化了数学处理，它能滤去声波。,六、无量纲动力学参数,在动力气象学中，经常利用特征尺度，引进无量纲变量，将动力学方程无量纲化，并由此得到一些由基本尺度 和环境参数 组成的无量纲参数，这些无量纲参数都具有明确的物理意义。无量纲方程和无量纲参数在对大气运动进行动力分析时十分有用。,方程无量纲化的步骤：,1）把方程各项写作“特征量无量纲量”的形式。,2）化为“无量纲方程”：用方程中某一项的特征量同除方程的每一项（量纲齐次性原理）无量纲方程各项前面的系数无量纲（数）体现各项的相对重要性。,例：,两边同除以科氏力的特征量,以水平运动方程的“一级近似”为例,其中：,（Rossy数）,（所以可以通过Rossy数判断是否准地转运动）,上式即无量纲方程,特征无量纲参数,又：,R0=1时，非线性平流项不能忽略，因此，方程式非线性的，相对涡度大于或等于牵连涡度，运动的平流时间小于或等于惯性运动时间，这样的运动过程称为快过程。,a)中纬度大尺度运动：,准地转,Rossby数的应用：,b)中纬度中小尺度运动：,非地转,c)热带大尺度运动：,非地转,七、地转参数的简化、及平面近似,现对地转参数来进行分析。将f在纬度0处展开成泰勒级数，则有：,若令L代表运动的径向水平尺度，则（）式前两项之比为：,因此，在中纬度地区，若运动的经向水平尺度远小于地球半径时，可以取 既把f作为常数处理，这种近似称为 近似。取这种近似相当于完全没有考虑地球球面性所引起的f随纬度的变化。高一级近似是所谓 平面近似，其主要内容是：（一）当f处于系数地位不被微商时，取：；（二）当f处于对y求导时，取 为常数。即：f=f0+y,局地直角坐标系中，垂直坐标轴Z是以长度（米）为单位来度量，描述大气运动方程组的物理意义比较清楚。在这种坐标系中运动方程中（如气压梯度力）与连续方程中均含有密度项。,八、P坐标,But：“密度”一般不是常规测量的物理量，这样分析对比不同高度处气压梯度力时很不方便。,于是，在气象学中常采用气压P作为垂直坐标，在这种坐标系中，气压梯度力已不含密度的因子，用起来较方便，所以在实际工作中也进行等压面图的分析。,1、P坐标系的概念,用气压P替换z坐标系中的垂直坐标就可得到P坐标系。水平坐标x,y不变。把z坐标转换为P坐标的基本关系是静力平衡方程:它与z的坐标方向相反。,2.垂直坐标系转换（Z P）,任一气象要素FF(x,y,z,t)=F(x,y,z(x,y,p,t),t)=F(x,y,p,t),两种坐标中偏导数转换关系如下：,3.P坐标系的运动方程组,4、P坐标系的优缺点,优点：1、P坐标系使大气运动方程组中减少了密度这一变量。它的影响隐含在等压面位势变化之中。气压梯度力项变成了线性项，形式简单。2、连续方程具有较简单的形式，成为一个诊断方程；3、日常业务工作常采用等压面分析，便于利用P坐标系进行诊断计算与分析；4、由于等压面相对于水平面坡度较小，它上面的分析近似地反映了等高面上分析直观形象。,缺点：1、大气下边界不是坐标面，P随时间和空间而变化，在地形起伏地区，不仅与地形相截形成许多“空间”，而且这些空间范围随时间变化，而且很难正确地给出边界条件；2、对于一些中小尺度运动，不满足静力平衡关系，不能使用P坐标系。如要使用常带来较大误差。,