初等模型-拟合比例类比.ppt

第二章 初等模型,2.2 拟合、比例方法及类比法,汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：,后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；,建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(9米),车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,假 设 与 建 模,1.刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和,2.反应距离 d1与车速 v成正比,3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;,F d2=m v2/2,F m,t1为反应时间,且F与车的质量m成正比,反应时间 t1的经验估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒准则”应修正为“t 秒准则”,模 型,动物的身长和体重,问题的提出：四足动物的躯干的长度(不含头尾)与它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的有使用价值的模型这里我们仅在十分粗赂的假设基础上，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。,1、问题的分析与假设,把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面面积s如下图所示。将这种圆柱体的躯干类比作根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。,2、模型的建立：,原理：动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的最大弯曲，根据对弹性粱的研究，有：,进一步分析b/l的意义,3、生物学角度分析b/l,b/l生理学意义：b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。生物学进化角度：经过长期进化，对每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值，即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数。,4、结论,（1）关系式：（前面分析）（2）另一些比例关系：（3）最终结论：,即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。,作业,问题：人在雨中从一处向另一处行走，当雨的速度已知时，问人行走的速度多大时才能使淋雨量最小？,分析（建模）：人身体的表面非常复杂，为了简化问题，将人看作是一长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c,选择适当的直角坐标系，使人的行走速度为(u,0,0),设雨的速度为(vx,vy.vz),人的行走距离为L，则行走时间为L/u。,在上述分析下，由高数曲面积分中通量的概念，显然单位时间内的淋雨量正比于,补充：设某向量场由A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k给出，其中P，Q，R具有一阶连续偏导数，是场内的一片有向曲面，n是在点(x,y,z)处的单位法向量，则 叫做向量场A通过曲面向着指定侧的 通量。,从而总淋雨量正比于,显然a0,则,于是原问题抽象成如下数学问题：在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值。,在L，vx，a，已知的情况下，求R(u)的最小值，其中,求解模型:,由于这个模型的特殊性，用图解法求解方便些，分以下几种情况讨论：,当v xa时，可以大体做出R(u)的图像，,由图知，当v x=u时，R（u）取得最小值，且Rmin=La/vx,当v xa时，仍可以大体做出R(u)的图像，由图知，当u尽可能大时，R（u）才会尽可能小（接近于L）。,仍可以大体做出R(u)的图像，由图知，当u尽可能大时，R（u）才会尽可能小。,(3).当vx=a及vx=0，分别为上述情况(1)，(2)的特例。,综上，当vxa0时，只要u=vx就可使淋雨量最小，其他情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小。这显然符合生活常识。,