刚体之细棒和球壳的转动惯量.ppt

范例4.2 细棒和球壳的转动惯量,(2)一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。转动惯量与半径比R0/R的关系是什么？,(1)一匀质细棒的质量为M，长为L，求以下三种情况下细棒对给定转轴的转动惯量。(a)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(b)转轴通过棒的一端并与棒垂直；(c)转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直。转动惯量与距离D的关系是什么？,解析(1)棒的质量线密度为=M/L，,如图所示，转动轴O通过棒的中心。,整个棒绕轴的转动惯量为,在棒上离轴x处取一线元dx，其质量为dm=dx，转动惯量为dJC=x2dm=x2dx。,范例4.2 细棒和球壳的转动惯量,(1)一匀质细棒的质量为M，长为L，求以下三种情况下细棒对给定转轴的转动惯量。(a)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(b)转轴通过棒的一端并与棒垂直；(c)转轴通过棒上离中心为D的一点并与棒垂直。转动惯量与距离D的关系是什么？,当转动轴移到棒的左端时，只是积分范围发生改变，转动惯量为,绕中心轴和绕端点轴的转动惯量都有ML2，只是系数有所不同。,不过利用平行轴定理立即可得,当转动轴距离中心的转轴为D时，积分下限是-(L/2-D)，积分下限是(L/2+D)，也可求出转动惯量。,当D=0时，J就是绕中心轴的转动惯量；当D=L/2时，J就是绕端点轴的转动惯量。,细棒的转动惯量随中心转轴的距离增加而增加。,细棒绕中心轴的转动惯量系数为1/12，绕端点轴的转动惯量系数为1/3。,范例4.2 细棒和球壳的转动惯量,(2)一匀质球壳的质量为M，内半径为R0，外半径为R，求球壳对通过球心的转轴的转动惯量。转动惯量与半径比R0/R的关系是什么？,解析(2)球壳的体积为,质量体密度为,如图所示，在球壳中取一体积元，,其质量为dm=dv=r2sinddrd，,到转动轴z的距离为D=rsin，,转动惯量为dJ=D2dm=dsin3dr4dr，,球壳的转动惯量为,其体积为dv=r2sinddrd，,当R0=0时，球壳变成球体，球体的转动惯量为,当R0R时，球壳演变成球面，将分子和分母分别展开或利用罗必塔法则，可得球面的转动惯量,比较同一质量和半径的球体和球面，由于球面质量的分布离轴更远，其转动惯量更大。,范例4.2 细棒和球壳的转动惯量,球壳的转动惯量为,当球壳的质量和外半径一定时，球壳的转动惯量随厚度的减小而增加。,球体绕半径轴的转动惯量系数为2/5，球面绕半径轴的转动惯量系数为2/3。,