分离变量法的精神和解题要领.ppt

,习题一：判定下列二阶方程的类型及化简,答案：,答案：,答案：,习题二：长为l的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零，另一端有恒定热量q进入（即单位时间由通过单位截面积流入的热量为q），杆的初始温度分布是,，试写出相应的定解问题。,答案：,建立方程解题思路：设其热传导系数为k，比热为c，线密度为。求杆内温度变化的规律。建立坐标：设杆长方向为x轴，考虑杆上从x到x+dx的一段(代表)，其质量为dm=dx，热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向，强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则,由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut=-qx 由热传导定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut=k uxxut=a2 uxx,x,u,解题方法：1建立方程，2定解条件：边界条件，初始条件 3定解问题,分离变量法的精神和解题要领,1分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开，如，令从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解2分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特征值问题和其它常微分方程。（2）求解特征值问题（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如）。（4）叠加（如）用初始条件和齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。,特征值问题,在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。常涉及到的几种特征值问题：,（1）特征值，特征函数（2）特征值，特征函数（3）特征值，特征值函数（4）特征值为，特征值函数,有界弦的自由振动,特征值问题同热导相同,形式不变,有界杆上的热传导,形式不变,特征值问题同振动方程相同,波动与热导对比,本征值问题,X(x)：,T(t)：,T(t)：,波动,热导,