分析力学基础第一章4-6节.ppt

1-4 第二类拉格朗日方程,1-4 第二类拉格朗日方程,设：具有完整理想约束的非自由质点系有k个自由度，系统的广义坐标为：,对上式两边求变分，有：,注意：,代入动力学普遍方程：,有：,1-4 第二类拉格朗日方程,对于完整约束系统，广义坐标相互独立，有,第二项与广义力对应，称为广义惯性力,做两个变换（证明略）：,有：,1-4 第二类拉格朗日方程,得第二类拉格朗日方程：,1-4 第二类拉格朗日方程,例：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程,解：1、系统的自由度为k=3,2、系统的广义坐标：x,y,z,3、系统的动能：,4、系统的广义力：,1-4 第二类拉格朗日方程,1-4 第二类拉格朗日方程,例：长为l，质量为m的匀质杆绕水平轴B转动，求其动力学方程,解：1、系统的自由度为k=1,2、系统的广义坐标：,3、系统的动能：,4、系统的广义力：,1-4 第二类拉格朗日方程,第二类拉格朗日方程的几种形式,1、当主动力均为有势力时,设：L=T-V(拉格朗日函数 动势),1-4 第二类拉格朗日方程,例：长为l，质量为m的匀质杆绕水平轴B转动，求其动力学方程,解：1、系统的自由度为k=1,2、系统的广义坐标：,3、系统的动能：,4、系统的势能：,5、拉格朗日函数：,1-4 第二类拉格朗日方程,2、当主动力包括非有势力时,设：L=T-V(拉格朗日函数),应用拉格朗日方程建立系统动力学的基本步骤：,1、确定系统的自由度和广义坐标,2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能,3、给出系统的拉格朗日函数,4、确定系统的广义力,1-4 第二类拉格朗日方程,例：图示机构在铅垂面内运动，匀质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统的运动微分方程。AB=2l,解：1、系统的自由度 k=2，,系统的广义坐标,2、系统的动能和势能,1-4 第二类拉格朗日方程,3、求非有势力的广义力,4、建立系统运动微分方程,1-4 第二类拉格朗日方程,4、建立系统运动微分方程,1-5 拉格朗日方程的初积分,一、能量积分,设：系统主动力为有势力,如果保守系统，且所受约束均为定常约束，拉格朗日方程中不显含时间t,即,这就是保守系统的机械能守恒定律，也称为拉格朗日方程的广义能量积分,对,两端乘以，并对k求和，得,1-5 拉格朗日方程的初积分,二、循环积分,设：系统主动力为有势力,循环坐标：拉格朗日方程中不显含的广义坐标qk(k=1,N),拉格朗日函数：,则,该式称为循环积分,pk 称为对应于广义坐标qk(k=1,N)的广义动量,pk 可以是动量、也可以是动量矩,1-5 拉格朗日方程的初积分,例：给出拉格朗日方程的初积分,解：系统的主动力为有势力,系统的动能和势能分别为：,拉格朗日函数,不显含广义坐标 x 和时间 t,1-5 拉格朗日方程的初积分,循环积分系统的水平动量守恒,能量积分机械能守恒,1-6 第一类拉格朗日方程,1-6 第一类拉格朗日方程,设描述系统的位形坐标：,系统的约束方程为：,对上式取变分：,引入拉格朗日乘子,对k求和,1-6 第一类拉格朗日方程,系统的约束方程为：,交换求和顺序,比较动力学普遍方程,两式相减，有：,1-6 第一类拉格朗日方程,对于完整约束系统，选取合适的乘子，使,带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，即第一类拉格朗日方程,1-6 第一类拉格朗日方程,解：1、系统的约束方程,2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：,例：质量为m的质点被约束在光滑的水平轴y上运动，用第一类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,1-6 第一类拉格朗日方程,2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：,1-6 第一类拉格朗日方程,2、约束方程对各质点坐标的梯度项为：,3、主动力：,4、惯性力：,对 求 二阶导数，有：,1-6 第一类拉格朗日方程,第一章 分析力学基础,广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数,自由度：广义坐标的数目即 在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目,广义虚位移：为广义坐标 的变分，称为广义虚位移,第一章 分析力学基础,求广义力的方法：,法一：解析法,法二：几何法,法三：保守系统,动力学普遍方程,第一章 分析力学基础,第二类拉格朗日方程,1、当主动力均为有势力时,2、当主动力均为非有势力时,当系统为保守系统时，有：1、若系统存在循环坐标q，则：2、若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：,第一章 分析力学基础,第一类拉格朗日方程,