分析力学基础第一章1-3节.ppt

第一章 分析力学基础,分析力学基础,分析力学 从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系 特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析,分析力学基础,分析力学的两个基本原理达朗贝尔原理利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时问题虚位移原理利用虚位移原理处理静力学的问题在此基础上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗日第二类方程,分析力学基础,实际中遇到的问题：汽车减震问题,结构设计的CAD,分析力学基础,航天器飞行的姿态动力学问题,分析力学基础,结构特点-研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）-结构复杂 运动特点-刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动 实验手段的特点-不仅有物理实验还有计算机仿真实验 研究方法的特点-多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）,1-1 自由度和广义坐标,广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数,自 由 度：广义坐标的数目 在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目,N自由度数,S完整约束数,坐标：用来表示某个点的空间位置,1-1 自由度和广义坐标,确定系统的自由度数,两个约束方程：,1-1 自由度和广义坐标,1-1 自由度和广义坐标,确定系统的自由度数,1-1 自由度和广义坐标,考虑由n个质点组成的系统受s个完整双侧约束,为系统的一组广义坐标,各质点坐标表示为：,由等时变分运算确定第 i 个质点的虚位移：,广义虚位移：为广义坐标 的变分，称为广义虚位移,坐标数：2*2=4个,自由度数：1个,广义坐标，可选为,完整约束数：3个,坐标数：2*2=4个,自由度数：1个,广义坐标，可选为,完整约束数：3个,思考：OA杆不垂直,自由度数：1个,广义坐标，可选为,完整约束数：3个,则：,思考：最多可以选取多少个普通坐标描述系统位置，坐标的数量和选取方法不同是否影响广义坐标的数量和形式？,自由度数：1个,广义坐标，可选为,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,主动力所作虚功的和为：,变换求和顺序,考虑功是力与位移的乘积，因此称Qk为对应于广义坐标qk的广义力。Qk的量纲,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,根据虚功原理：对于具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，主动力系在质点系的任意虚位移中所作虚功之和等于零。,具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，对应于每个广义坐标的广义力都等于零。,结 论,系统所受约束越多，广义坐标数越少，求解方便。,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,求广义力的方法：,法一：解析法,将主动力系的各力Fi的作用点的坐标xi，yi，zi写成广义坐标qk（k=1，2，N）的函数，对qk求偏导数后代入上式，即可求得广义力，这种方法即解析法。,求广义力的方法：,法二：几何法,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,可单一求某个广义力，如Q1，给质点系一组特殊的虚位移，其中只令广义坐标中Q1变更，而其余的广义坐标保持不变，即令 这样就可以求出所有主动力相应于广义虚位移 所作的虚功之和，,用同样的方法可求出,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,例：匀质杆OA和AB用铰链A连接，铰链O固定。两杆的长度分别为l1和l2，重量为P1和P2，在杆的AB的B端受一水平力F作用，求平衡时两杆与铅垂直线所成的夹角和。OA=l1AB=l2,解：本系统有两个自由度，选角 和 为广义坐标。,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,解：本系统有两个自由度，选角 和 为广义坐标。,（1）解析法：,OA=l1AB=l2,对上面三式取变分：,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,将它们代入下式并整理：,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,由,可见，对应于广义坐标 和 的广义力为,由用广义力表示的质点系的平衡条件可知：,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,解析法的另一解法：,求出上式各项，并令Q Q等于零，得：,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,用几何法求解：,求广义力QB：,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,求广义力Q：,得：,作业：习题1-1，1-3,广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数,自 由 度：广义坐标的数目,各质点坐标表示为：,由等时变分运算确定第 i 个质点的虚位移：,广义虚位移：为广义坐标 的变分，称为广义虚位移,作业：习题1-1，1-3,考虑功是力与位移的乘积，因此称Qk为对应于广义坐标qk的广义力。,求广义力的方法：,法一：解析法,法二：几何法,作业：习题1-1，1-3,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,例：匀质杆AB长为l，重为P，被约束在一固定光滑的圆柱容器中，在铅直面内平衡，设圆柱的半径为R，求平衡位置。,解一：系统只有一个自由度。取杆质心纵坐标yC为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：,但，故必须,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,因为，故必须，得：,即杆在水平位置保持平衡。当，即杆在下水平位置时，稳定平衡当，即杆在上水平位置时，不稳定平衡,思考:是广义虚位移吗？P 是广义力吗？,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,解二：系统只有一个自由度。取 为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：,即,因为，故必须，得：,必须,得,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,保守系的平衡条件,质点在有势力作用下，当由一位置 M 经任意轨迹运动到某一选定位置（M0）时，该有势力所作的功称为质点在 M 处的势能，即,在微小的实位移dr中，势能的微小增量为,因为是保守系统，实位移是虚位移中的一个，将实位移换成虚位移，得,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,对于由n个质点所组成的保守系统，,而,结论：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。,系统平衡,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,保守系统,而,因系统的势能V仅与质点系的各质点的位置有关，是位置的函数，若用广义坐标 描述,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,其变分有,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,对于保守系统，其广义力等于质点系的势能对应于广义坐标的一次偏导数冠以负号。,在保守系统情形下，质点系平衡的充分必要条件Qj=0等价于,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡势能极小 势能不变 势能极大,一个自由度系统,平衡时,可求出平衡位置,为极小值，平衡是稳定的,为极大值，平衡是不稳定的,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,例：一个倒置的摆，摆锤重为P，摆杆长度为l，在摆杆的点A连有一刚度系数为k的水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形。设OA=a，摆杆重量不计，试确定摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,解：系统为一个自由度系统，摆角 为广义坐标。,势能零点：摆的铅垂位置（重力和弹性力）,系统的平衡位置为,1-2 用广义力表示的质点系平衡条件,判断系统是否处于稳定的平衡位置,对于稳定的平衡位置,1-3 动力学普遍方程,设：质点系第i个质点的质量为mi，作用在其上的主动力Fi，约束力为FNi，质点的惯性力FIi，,应用达朗贝尔原理：,若质点系所受约束为理想约束,动力学普遍方程,1-3 动力学普遍方程,受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主动力和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。,动力学普遍方程的直角坐标形式：,1-3 动力学普遍方程,动力学普遍方程,1-3 动力学普遍方程,动力学普遍方程,用动力学普遍方程求解问题的基本步骤,受力分析 主动力分析，惯性力分析(惯性力系的简化)与计算,运动分析 系统的自由度分析，加速度和角加速度分析和计算,虚功计算 虚位移分析，主动力、惯性力和元功的计算,例：图示系统在铅垂面内运动，各物体的质量为m，圆盘的半径为R，圆盘在地面上做纯滚动，若板上作用在一个力F，求板的加速度。,受力分析,虚位移分析,动力学普遍方程,解：运动分析，系统自由度N=1,1-3 动力学普遍方程,F,R,例：图示系统在铅垂面内运动，各物体质量为m，圆盘半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C的角加速度。,解：运动分析，系统自由度N=2,受力分析,1-3 动力学普遍方程,A,C,B,x,虚位移分析,1-3 动力学普遍方程,动力学普遍方程,1-3 动力学普遍方程,例：已知OA=l，绕O轴以匀角速度转动，AB=2l，求系统在图示位置时，力偶矩M的大小和方向（不计摩擦）。,1-3 动力学普遍方程,解：运动分析,受力分析,1-3 动力学普遍方程,虚位移分析,可求得M,1-3 动力学普遍方程,例：两个质量相同的均质圆盘和均质杆用铰链连接，并由绳索AB悬挂于天花板上，在图示位置平衡，已知圆盘半径为R，杆长为l，若绳索被剪断的瞬时与地面间不会产生滑动，求圆盘和杆的角加速度。,1-3 动力学普遍方程,解：加速度分析，添加惯性力建立动力学普遍方程,1-3 动力学普遍方程,设：圆盘和杆的虚位移为,