分布式算法习题解答.ppt
算法设计与分析分布式部分习题解答,2013.1.5,1.分析在同步和异步模型下汇集算法的复杂性。,解：与广播算法分析时间复杂性的步骤一致，一两句的说明不是分析。同步模型 引理：在汇集算法的每个容许执行里，树中每个高为 t 子树根结点在第 t 轮里收到所有孩子的msg。归纳证明。定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 同步汇集算法。异步模型 引理：在汇集算法的每个容许的执行里，树中每个高为 t 的子树根结点在时刻 t 收到所有孩子的msg。归纳证明。定理：当生成树高为 d 时，存在一个时间复杂度为O(d)的 异步汇集算法。,2.证明在引理2.6中，一个处理器在图G中是从Pr可达的，当且仅当它的parent变量曾被赋过值。,解：引理2.6：在异步模型的每个容许执行中，算法2.2构造一棵以pr为根的生成树。两个方向证明题目：依据是算法2.2和题目条件（异步模型的每个容许执行中），不是空口讨论。方法不一，原则是有理有据，逻辑清楚。=pr可达，（因为图G是由parent与children确定的静止图）收到m才会加入图中，所以可达结点收到过m，执行了alg2.2第5行。由于是容许执行，第7行，即parent：=j也会执行。也就是被赋值。=当第7行执行过，由于是容许执行，第5行也执行过，即收到过m，而m是由pr发出的，所以可达。,3.证明Alg2.3构造一颗以Pr为根的DFS树。,解：类似引理2.6的证明过程。先证连通，再证无环（反证），再证DFS树。依据是算法2.3与DFS的定义。可以证明：在有子结点与兄弟结点未访问时，子结点总是先加入树中。根据alg2.3 的xxx步证明这一点。,4.证明Alg2.3时间复杂度为O(m)。,解：同步模型：每一轮中，根据算法，有且只有一个消息(M or Parent or Reject)在传输，从算法的第6、14、16、20、25行发送消息的语句中可以发现：消息只发往一个处理器结点，除根结点外，所有的处理器都是收到消息后才被激活，所以，不存在多个处理器在同一轮发送消息的情况，所以时间复杂度与消息复杂度一致。异步模型：在一个时刻内至多有一个消息在传输，因 此，时间复杂度也与消息复杂度一致。消息复杂度：对任一边，可能传输的消息最多有4个，即2个M，2个相应M的消息（Parent or Reject），所以消息复杂度为O(m)。综上，该算法的时间复杂度为O(m)。,5.修改Alg2.3，使其时间复杂度为O(n)。,解：两种考虑方式：在每个处理器中维护一本地变量，同时添加一消息类型，在处理器Pi转发M时，发送消息N通知其余的未访问过的邻居，这样其邻居在转发M时便不会向Pi转发。在消息M和中维护一发送数组，记录已经转发过M的处理器名称。两种方式都是避免向已转发过M的处理器发送消息M，这样DFS树外的边不再耗时，时间复杂度也降为O(n)。,证明同步环上不存在匿名的、一致性的Leader选举算法。,解：由Lemma3.1可得。假设R是大小为n1的环（非均匀），A是其上的一个匿名算法，它选中某处理器为leader。因为环是同步的且只有一种初始配置，故在R上A只有唯一的合法执行。Lemma3.1：在环R上算法A的容许执行里，对于每轮k，所有处理器的状态在第k轮结束时是相同的。Note：每个处理器同时宣布自己是Leader！,7.证明异步环系统中不存在匿名的Leader选举算法。,解：每个处理器的初始状态相同，状态机相同，接收的消息序列也相同（只有接收消息的时间可能不同），故最终处理器的状态一致。由于处理一条消息的至多需要1时间单位，若某时刻某个处理器宣布自己是Leader（接收到m条消息），则在有限时间内（m时间单位）其他处理器也会宣布自己是Leader。所以。Note：每个处理器陆续宣布自己是Leader！,8.若将环Rrev划分为长度为j（j为2的幂）的连续片段，则所有这些片段是次序等价的。,解：。,附1：“表面上，1-time复杂性至少等于时间复杂性，因为T2假定下的最坏时间不会高于O2假定下的时间。但事实并非如此，而往往O1和O2假定之下的1-time复杂性是前一种时间复杂性的一个下界。”为什么one-time复杂性是时间复杂性的下界呢？,解：考虑运行在环上的分布式算法的1-time时间复杂性和时间复杂性。1-time时间复杂性：满足条件O2：发送和接收一个msg之间的时间恰好是一个时间单位，每个阶段节点转发消息都是同步进行，从而1-time时间复杂度仅与环直径相关，为O(D)。时间复杂度：满足条件T2：一个msg的发送和接收之间的时间至多为一个时间单位，即为O(1)。节点转发消息并非同步进行，消息转发轨迹可能呈链状结构，时间复杂性与环节点个数相关，为O(n)。,例如：echo协议，即应答协议，主要用于调试和检测中，是路由也是网络中最常用的数据包，可以通过发送echo包知道当前的连接节点有哪些些路径，并且通过往返时间能得出路径长度。echo算法的实现，如果转发消息同步进行，则对应1-time时间复杂性，为O(D)；如果不同步转发消息，网络路径可能呈链状结构，即对应时间复杂度O(N)。Note：考虑时间复杂度，任一节点可以在O(d)时间内将询问包发送到网络上的其它节点，但却可能需要O(N)的时间接收其它节点发来的响应包。,附2：算法3.2（同步Leader选举算法）为何非唤醒msg要延迟2i-1轮？如何修改算法3.2来改善时间复杂性？,解：降低消息复杂度（Id最小的节点被选举为Leader，Leader节点消息的转发速度最快）。方案1：添加Relay变量，保证消息在转发节点不延迟，时间复杂度由O(n*2i)降为O(N*2i+n-N)，N为自发唤醒的节点数。方案2：原算法延迟函数为f(id)=2id，时间复杂度为O（n*2i）。通过重新定义延迟函数来降低时间复杂度，如f(id)=c*id等。消息复杂度提高？Note：思考方案2中消息复杂度和时间复杂度的关系！,祝大家考试顺利谢谢！,
