函数的连续和间断.ppt

1,三、函数的间断点,一、函数连续性,第七节,函数的连续与间断,四、闭区间上连续函数的性质,二、初等函数的连续性,2,设变量,从,就称为变量,的增量，通常用符号,表示，,其值可正可负,函数的增量:,3,注：函数,在点,一、函数的连续性,定义1:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,是函数的改变量。,定义2:若,则称函数,若,4,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,5,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该,区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,如果区间包括端点，,在左端点是右连续。,那么函数在右端点是左连续，,continue,6,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,例如,7,解：,例1：问函数,8,使函数,解：,例2：确定,9,例3.设,则,时 为连续函数.,解:,10,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,11,例4 求,的连续区间，,并求,解,因为所给函数是初等函数，,其连续区间就是定义域：,又因为,是定义域中的一点,12,例5 求下列函数的极限,13,在,在,三、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,14,15,16,17,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,18,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,19,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,20,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,答案:x=1 是第一类可去间断点,例6.讨论函数,解,为间断点,21,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,四、闭区间上的连续函数的性质,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,最大值和最小值.,在该区间上一定有,或在闭区间内有间断点,1、最值定理,22,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,23,推论.,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,2、介值定理,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,24,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,25,例7.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,是方程,的根。,26,例8,至少有一个不超过 4 的,证：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根.,27,使,该问题可转换为证明方程,则,存在一个,在,上至少有一实根。令,由零点定理可证,例9.设,证,证明至少,有,28,内容小结,左连续,右连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.,基本初等函数在定义区间内连续,说明:,2、,29,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4）当,时,使,必存在,上有界;,在,在,4、,30,P64 1（1、3、5）2（3）,3,5,7，8,