函数连续性概念复习.ppt

一元函数连续性概念（复习）,3 二元函数的连续性,问题:,1.一元函数,在点,连续的三个条件.,2.一元函数的间断分类.,设y=f(x)在x0邻域有定义。,若,则称f(x)在x0连续，,否则称f(x)在x0间断。,令,则,若f(x)在区间 I 的每一点连续，则称f(x)在区间 I 连续。其图象为一条连续的曲线.,间断分类,第一类间断点,可去间断点：,跳跃间断点：,存在,但与f(x0)不等。,f(x)在x0的左右极限存在，但不相等。,第二类间断点：f(x)在x0的左、右极限至少有一个不存在。,一、二元函数的连续性,问题:,3.二元函数,在点,连续定义中,对,有何要求?是否要求其为D的聚点?,4.能否将二元函数,在点,连续定义表为:,设D为平面点集，,f(P)为定义在D上的二元函数,P0D.,若,则称f(P)关于集合D在点P0连续。,5.命题判断:若,为二元函数,的孤立点,则,在点,连续.,6.连续二元函数的图象,是否一定是连续的曲面?,1、定义,设D为平面点集，,f(P)为定义在D上的二元函数,若对于任给的0,相应存在,0,只要 PU(P0;)D,就有,|f(P)f(P0)|,则称f(P)关于集合D在点P0连续。,否则称P0是f(P)的不连续点,（间断点）.,P0D.,若f(P)在D上的每一点都连续,则称f(P)在D连续.,例1,设f(x,y)=2,(x,y)D，D=(x,y)|x=1/n,y=1/m,m,n=1,2,10,f(x,y)在D是否连续？,例2,设,f(x,y)关于直线 y=mx在(0,0)上是否连续。,例1,设f(x,y)=2,(x,y)D，D=(x,y)|x=1/n,y=1/m,m,n=1,2,10,f(x,y)在D是否连续？,例2,设,f(x,y)关于直线 y=mx在(0,0)是否连续。,例3,设,f(x,y)关于,在(0,0)是否连续。,例1,设f(x,y)=2,(x,y)D，D=(x,y)|x=n/10,y=m/10,m,n=1,2,10,f(x,y)在D是否连续？,解：,任意P0D，,则P0为D的弧立点。,存在0,使,U0(P0;)D=,故对于任给的0,取上述0，,只要 PU(P0;)D,就有,|f(P)f(P0)|,（因为此时P=P0）,所以，f(x,y)在D连续。,f(x,y)的图象是否为D上连续的曲面?,命题 当P0为D的弧立点时，f(P)在P0连续。,关于连续性的讨论，以后只考虑聚点的情形。,设P0为D聚点.f(P)在P0连续,（在不引起误会时，常作为连续定义）,例2,设,f(x,y)关于直线 y=mx在(0,0)是否连续。,解:,f(x,y)的定义域为,且为D的聚点,又,所以f(x,y)关于直线 y=mx在(0,0)连续。,例3,设,f(x,y)关于,在(0,0)是否连续。,解:,f(x,y)的定义域为,且为D的聚点,因,不存在,所以f(x,y)关于D在(0,0)不连续。,f(P)的连续性与其定义域D有关。（同一个函数表达式，相对不同点集，其连续性结论可能不同）.,间断分类.,问题:,7.二元函数,在点,连续的条件?,8.二元函数间断点分为几类?依据是什么?,f(x,y)在(x0,y0)，必须同时具备三个条件:,1)f(x,y)在(x0,y0)有定义；,存在;,可去间断点:,存在，但不等于f(x0,y0),或f(x,y)在(x0,y0)无定义.,不可去间断点:,不存在.,2、连续函数的性质,问题:,9.连续函数的局部有界性?,10.连续函数的局部保号性?,11.连续函数的四则运算性质?,12.连续函数的复合运算性质?,局部有界性：,若f(P)在P0连续，则存在U(P0),使f(P)在U(P0)有界。,局部保号性：,若f(P)在P0连续，且f(P0)0),则存在U(P0),当PU(P0)时，f(P)0.,四则运算法则：,若f(P),g(P)都在P0连续，则,在P0连续,其中c为常数；,当,时,在P0连续.,定理16.7（复合函数的连续性）,若,1),和,在P0(x0,y0)的邻域内有定义，并在,P0连续；,2),在uv平面的Q0(u0,v0)的邻域内有定义，并在Q0连续；,3),则，复合函数,在P0(x0,y0)连续。,证明分析:,估计,因 f(u,v)在(u0,v0)连续，,所以当,很小时,很小.,又,和,在P0(x0,y0)连续,所以当,很小时,能使,很小.,定理16.7（复合函数的连续性）,若,1),和,在P0(x0,y0)的邻域内有定义，并在,P0连续；,2),在uv平面的Q0(u0,v0)的邻域内有定义，并在Q0连续；,3),则，复合函数,在P0(x0,y0)连续。,证：,f(u,v)在(u0,v0)连续：,又和在点P0连续，,对上述,有,故当,有,故 g(x,y)在(x0,y0)连续。,初等函数在其定义上连续。,对于初等函数，在有定义处极限运算就是函数值的计算。,关于极限的计算，侧重在无定义处或分段函数分段点处的极限。,3、连续定义的增量形式,设f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域有定义。,记,称为f(x,y)在P0的全增量.,称为f(x,y)在P0关于x的偏增量.,称为f(x,y)在P0关于y的偏增量.,f(x,y)在(x0,y0)连续,3、连续定义的增量形式,设f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域有定义。,记,称为f(x,y)在P0的全增量.,称为f(x,y)在P0关于x的偏增量.,称为f(x,y)在P0关于y的偏增量.,f(x,y)在(x0,y0)连续,命题 若 f(x,y)在(x0,y0)连续，则f(x,y0)在 x0连续，f(x0,y)在y0连续。,反之不然!,命题 若 f(x,y)在(x0,y0)连续，则f(x,y0)在 x0连续，f(x0,y)在y0连续。,反之不然!,例5,设,一元函数:,在x=0连续.,一元函数:,在y=0连续.,但f(x,y)在(0,0)不连续.,问题:,13.闭区间上(一元)连续函数的性质?,14.你能否相应写出闭区域上二元连续函数性质?,二、有界闭域上连续函数性质,15.小结闭区域上二元连续函数必有界的证明思路.,16.小结闭区域上二元连续函数必必取到最大(小)的证明思路.,一元函数情形：,若f(x)在I=a,b 上连续，则,1）f(x)在 I 上有界，且取到最大值和最小值；,2）f(x)在 I 上一致连续；,3）对于介于minf(I)与maxf(I)之间的Q,在a,b中存在一点c,使 f(c)=Q.,设二元函数f(P)在区域D连续。,3.介值定理,则对满足,定理16.10,若P1，P2为D中两点，,必在D中存在上点P0，使,且f(P1)f(P2),f(P1)f(P2)的，,f(P0)=.,二元函数有完全类似的结果。,1.有界性与最大、最小值定理,定理16.8,若二元函数f(x,y)在有界闭域D上连续，则f(x,y)在D上有界，且能取得最大值和最小值。,2.一致连续性定理,定理16.9,若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一致连续。,对于D中任意的P、Q，,即对任意0，,就有,只要(P,Q),|f(P)f(Q)|,存在0,定理16.8,若二元函数f(x,y)在有界闭域D上连续，则f(x,y)在D上有界，且能取得最大值和最小值。,证:有界性（反证法）,设f(P)在D无界,对任意自然数n，在D中有Pn,使|f(Pn)|n.,在D中构造出点列Pn(有界，有无穷个不同的项）.,由聚点定理的推论，Pn有收敛的子列.,不妨设Pn就是收敛的点列,因D为闭域，故P0在D中.,而f(P)在有界闭区域D上连续，则f(P)在P0连续。,进而有,与矛盾！,矛盾！,定理16.8,若二元函数f(x,y)在有界闭域D上连续，则f(x,y)在D上有界，且能取得最大值和最小值。,证:(取得最大值、最小值),设f(P)在D有界.,可设M=supf(D).,若D中的任意Q，都有Mf(Q)0,作函数,F(P)在D连续，进而F(P)在D有界,而因M=supf(D),在D中，可使Mf(P)任意小,故F(P)在D无界,矛盾！,与矛盾！,则对D中的任意Q，有Mf(Q)0,定理16.9,若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上一致连续。,对于D中任意的P、Q，,即对任意0，,就有,只要(P,Q),|f(P)f(Q)|,存在0,证:,（反证法）,设f(P)在D有不一致收敛.,对某个00,及任意的自然数n,相应总有D中的Pn和Qn.,尽管(Pn,Qn)1/n,但|f(Pn)f(Qn)|0,因Pn在D中，故有界（因D为有界闭域）,进而Pn有收敛的子列，不妨设Pn为收敛的子列,再由f(P)在P0连续，得,设,与矛盾！,则由(Pn,Qn)1/n,得,（因D为闭域，故P0在D中）,矛盾！,