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极限和连续,1.数列极限2.函数极限3.连续函数,数列的极限,授课计划,学时：2学时（1次课）内容：1.数列极限的定义 2.数列极限的性质 3.数列收敛的判定定理,数列极限的概念,例1：我国古代哲学著作庄子“天下篇”中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”它描述了截取过程中棒长剩余量的变化情况，用数学描述其过程，可得如下数列,数列极限的概念,例2：我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆的面积的方法割圆术，用数学描述其过程，可得如下数列,数列极限的概念,数列极限的概念,如果当n越来越大时，an和某个常数A靠得越来越近，就说数列an 极限是A，记为,数列极限的概念,但是考察下面的数列，你会发现，当n越来越大时，an和某个常数A“靠得不是越来越近”,数列极限的概念,为什么会出现上述情况呢？原因在于“越来越大”和“越来越近”比较含糊，需要给出确切的含义.,数列极限的概念,定义：设an 为一数列，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得对于nN时的一切an，不等式|an-A|都成立，则称数列an 收敛于A，A称为数列an的极限.记作,不收敛的数列称为发散数列.,数列极限的概念,注：的任意性 N 的不唯一性和依赖性 定义的数学记号表示法,几何解释如下：,数列极限的概念,例题：,收敛数列极限的性质,定理2.1（唯一性）收敛数列的极限是唯一的.定理2.2（有界性）收敛数列是有界的.定理2.3（保号性）如果数列an的极限A0，则存在NN，使得当nN时的一切an都与A同号.,收敛数列极限的性质,定理2.4（四则运算法则）,收敛数列极限的性质,定理2.5（保序性）设数列an的极限为A，数列bn的极限为B，若存在NN，当nN时an bn，则A B.,数列收敛性的判定准则,定理2.6（夹逼原理）设数列an的极限和数列bn的极限均为A，若存在NN，当nN时an cn bn，则cnA.,数列收敛性的判定准则,数列收敛性的判定准则,定理2.7（单调有界原理）单调有界数列必有极限.另外的描述：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛.,数列收敛性的判定准则,定理2.8（Cauchy收敛准则）略,练习,课本P23例题和P27习题1.2,函数的极限,授课计划,学时：6学时（3次课）内容：1.函数极限的定义 2.无穷小和无穷大 3.性质和判定定理 4.两个重要极限 5.无穷小阶的比较,函数极限的概念,若记anf(n)，易见数列是一种特殊的函数，仿照数列极限的定义，下面我们给出函数yf(x)当x时收敛的概念,函数f(x)当x+时的极限,定义1：设yf(x)为一函数，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数X，使得对于适合xX的一切x，都有不等式|f(x)A|+时的极限.记作,函数极限的概念,例题：证明,函数f(x)当x时的极限,定义2：设yf(x)为一函数，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数X，使得对于适合x-时的极限.记作,函数极限的概念,例题：证明,函数f(x)当x时的极限,定义3：设yf(x)为一函数，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数X，使得对于适合|x|X的一切x 都有不等式|f(x)A|时的极限.记作,函数极限的概念,几何解释:,函数极限的概念,可以证明,水平渐近线：,函数极限的概念,在很多实际问题中还需要研究当自变量x趋于有限值x0时函数yf(x)的极限问题。,函数f(x)当x x0时的极限,定义4：设函数yf(x)在x0的某去心邻域内有定义，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合0 x0时的极限.记作,函数极限的概念,几何解释:,函数极限的概念,函数极限的概念,定义5：设函数yf(x)在x0的左侧某个邻域内有定义，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合x0 x0时的 左极限.记作,函数极限的概念,定义6：设函数yf(x)在x0的右侧某个邻域内有定义，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合x0 x0时的 右极限.记作,函数极限的概念,可以证明,函数极限的概念,无穷小,定义7：当xx0(x)时，以零为极限的函数(x)称为当xx0(x)时的无穷小量，简称为无穷小.,无穷小的等价定理,定理1：其中(x)是当xx0(x)时的无穷小量.,无穷小性质,定理2：无穷小量的性质：（1）有限个无穷小的代数和是无穷小.（2）有限个无穷小的乘积是无穷小.（3）无穷小与有界函数的乘积是无穷小.,无穷大,定义8：如果对于任意给定的M0，总存在0(或X0)，使得对于适合 0 X)的一切x,都有不等式|f(x)|M 成立，则称函数f(x)在xx0(或x)时为无穷大.记作,无穷大,注1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.注2.函数为无穷大,必定无界.反之不真!,无穷大,定理3：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0，则1/f(x)为无穷大,函数极限的性质,定理4(唯一性):若存在必唯一.定理5(局部有界性):若存在则必局部有界.定理6(局部保号性):函数和极限值有相同符号.定理7(局部保序性):函数大的,极限不小.,函数极限的四则运算法则,定理8(四则运算法则):,夹逼原理,定理9：如果 h(x)f(x)g(x),且h(x)和g(x)的极限均为A，则 f(x)的极限也为A.,一些例题,例题：,两个重要极限,第一个,两个重要极限,第二个,两个重要极限,一些例题,无穷小的比较,定义10：设(x)，(x)是同一个自变量变化过程中的无穷小，（1）若，则称(x)是比(x)高阶的无穷小，记作(x)o(x)（2）若，则称(x)与(x)是同阶无穷小（3）若，则称(x)与(x)是等价无穷小，记作(x)(x),无穷小的比较,一些例题和常用结论,无穷小替换法,定理（无穷小替换法）：设 都是同一个极限过程的无穷小，若 并且 存在，则,无穷小替换法,定理使用中注意的事情例题,连续函数,1.连续函数的定义2.连续函数的性质3.函数的间断点4.闭区间上连续函数,授课计划,学时：4学时（2次课）内容：1.函数连续的定义和性质 2.初等函数的连续性 3.间断点 4.闭区间上连续函数的性质,引子和增量,引子：物理现象（物体长度随温度变化，运动的距离随时间变化）这种连续不断的变化现象如何用数学描述？,增量：如果变量x从它的一个初值x1变到终值x2，称差x2 x1为变量x的增量，记为x x2 x1 函数的增量yf(x0+x)f(x0),函数连续性的定义,定义1：设函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量x的增量 x x x0趋于零时，对应的函数的增量 yf(x0+x)f(x0)也趋于零，则称函数yf(x)在点x0连续。,请用数学式子表示上面的文字描述！,左连续和右连续,左连续和右连续,函数在开区间(a,b)内连续函数在闭区间a,b上连续,几个基本初等函数的连续性,例题1：正整数幂函数yxn例题2：三角函数ysinx ycosx 例题3：指数函数yex,连续函数的性质,性质1：（四则运算）ytanx ycotx yx2sinx ycos2x yexsinx性质2：（单调反函数的连续性）y arcsinx y arctanx y lnx,连续函数的性质,性质3：（复合函数的连续性）：设函数u(x)满足，且函数yf(u)在ua连续，则有,请换个数学式子表示上面的极限！,连续函数的性质,结论：（1）基本初等函数在他们的定义域内是连续的。（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。由此可见：求连续函数在连续点的极限等于求该点的函数值。,函数的间断点及其分类,定义2：函数yf(x)的不连续点称为间断点。,间断点类型：第一类（左右极限都存在的间断点）和第二类（第一类以外的间断点）。,请用数学式子表述一下,函数的间断点及其分类,有可去间断点,有跳跃间断点,函数的间断点及其分类,有振荡间断点,有无穷间断点,函数的间断点及其分类,较难例题：确定a和b的值，使下列函数有无穷间断点x0和可去间断点x1,闭区间上连续函数的性质,定理1：（最大最小值定理）定理2：（有界性定理）定理3：（零点存在定理）（最常用）定理4：（介值定理）（次常用）,闭区间上连续函数的性质,例1：证明方程x3-4x2+10至少有一个小于1的正根。例2：证明一元三次方程至少有一个实根例3：设f(x)C0,2a,且f(0)f(2a)，证明：在0,a上至少存在一点，使f()f(+a),第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,第一章作业中的问题,怪问题,“怪事”,