几何问题的处理方法.ppt

29.1 几何问题的处理方法,哥白尼,地球是运动的,缺乏依据,无法证明,想一想：,在公理的基础上，我们以证得了许多与平行线、三角形有关的图形的属性，并将这些图形的属性均作为进一步推理的依据，于是又进一步证明等腰三角形、平行四边形的性质与判定定理。,例如，有了“边角边”公理，我们以证明了等腰三角形的性质定理“等腰三角形的底角相等”、“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）”。,等腰三角形性质定理 等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）,我们还可以用逻辑推理的方法得到等腰三角形的性质：,1.证明等腰三角形的性质定理,等腰三角形两底角什么关系？怎样证明？,2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）,在ABC中 AB=AC B=C,在ABC中,AB=AC,以等腰三角形为条件时的常用辅助线:如图：若AB=AC作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DC若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBC作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=2.,对一般三角形能用（SSA）判定两个三角形全等吗？为什么？,探索与证明,我们曾经通过画图、比较，发现：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的RTHL定理,已知：如图，在ABC和ABC中，ACBACB90,ABAB，ACAC 求证：ABCABC,探索与证明,已知：如图，在ABC和ABC中,ACB=ACB=90 AB=AB,AC=AC.求证：ABCABC 把 ABC和ABC拼在一起，使相等的直角边AB和AB重全在一起，并使点C和C在AB.的两旁，C、B（B）、C在一条直线上。,证明；如图,把ABC和ABC拼在一起,因为ABC=ABC=90(已知)所以 CBC=180（等式的性质）即点C、B、C在同一条直线上。在ACC中，因为AC=AC=AC（已知）所以 C=C（等边对等角）在ABC和ABC中。因为ABC=ABC（已知）C=C（已证）AC=AC（已知）所以ABCABC（）,1.证明等腰三角形的判定方法,证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,已知：在ABC中，BC，求证：ABAC,在ABC中B=CAB=AC,我们知道等腰三角形的识别方法是:,如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.,已知：如图,在ABC中,B=C.求证:AB=AC,A,B,C,D,证明:,作ADBC于点D,在BAD和CAD中,B=C(已知),ADB=ADC=90(作图),AD=AD(公共边),BADCAD(.),BA=CA(全等三角形对应边相等),如图。按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形。,探索,步骤1：画两条平行线；步骤2：在两条线上分别取点A和点B，连结AB；步骤3：沿着水平方向平移AB到DC，就得到ABCD。,A,B,A,B,D,C,如图。用剪刀把ABCD从方格纸上剪下，再在一张纸上沿ABCD的边沿，画出一个四边形，记为四边形EFGH。则四边形EFGH和四边形ABCD完全一样，也为平行四边形。它们的对应边、对应角都相等。,在ABCD中连结AC、BD，它们的交点记为O。用一枚图钉在点O穿过，将ABCD绕点O旋转1800，观察旋转后的ABCD和纸上所画的EFGH是否重合。,旋转1800之后两个平行四边形完全重合。即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心。由此得到：,你能从中得出ABCD的一些边角关系吗？,ADBC，ABDC,A C；B D,即平行四边形的对边相等、对角相等。,如图，四边形ABCD是平行四边形。求证：ABCD，BCDA。,例2,证明：连结AC。四边形ABCD是平行四边形（已知）ABCD（平行四边形的定义）。BACDCA（两直线平行，内错角相等）同理BCADAC在ABC和CDA中，BACDCA（已证），ACCA（公共边），BCADAC（已证），ABCCDA（）,ABCD，BCDA（全等三角形的对应边相等）,由ABCCDA，还可得：B D，同理也可得出:BA D=DCB.平行四边形的对边相等，对角相等。,平行四边形的性质,定理:平行四边形的对边相等.,四边形ABCD是平行四边形.AB=CD,BC=DA.,定理:平行四边形的对角相等.,四边形ABCD是平行四边形.A=C,B=D.,定理:平行四边形的对角线互相平分.,四边形ABCD是平行四边形.CO=AO,BO=DO.,推论:夹在两条平行线间的平行线段相等.,MNPQ,ABCD,AB=CD.,平行四边形的性质：,边,平行四边形的对边平行,平行四边形的对边相等,角,平行四边形的对角相等,平行四边形的邻角互补,对角线,平行四边形的对角线 互相平分,温故知新,例3：,同样，我们可以证明：平行四边形的对角线互相各平分。,有了平行四边形的性质，还可以证明矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质。例如要证明菱形的对角线互相垂直，可以先证明菱形的四条边相等。这是因为菱形的对边相等，且有一组邻边相等，故四条边都相等。,如图，四边形ABCD是菱形。,求证：ACBD，且AC平分BAD。,证明：设AC与BD相交于O。,四边形ABCD是菱形，,BODO（平行四边形的对角线互相平分）ABAD（菱形的四条边相等）,ACBD，且AC平分BAD（等腰三角形三线合一）,矩形的性质,定理:矩形的四个角都是直角.,已知:如图,四边形ABCD是矩形.,分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.,证明:,四边形ABCD是矩形,A=900,四边形ABCD是平行四边形.,C=A=900,B=1800-A=900,D=1800-A=900.,求证:A=B=C=D=900.,四边形ABCD是矩形.,想一想:正方形的四个角都是直角吗?,矩形的性质,定理:矩形的两条对角线相等.,已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.,求证:AC=BD.,证明:,四边形ABCD是矩形,AB=DC,ABC=DCB=900.,分析:根据矩形的性质性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.,BC=CB,ABCDCB(SAS).,AC=DB.,菱形的性质,定理:菱形的四条边都相等.,已知:如图,四边形ABCD是菱形.,分析:由菱形的定义,利用平行四边形性质可使问题得证.,证明:,四边形ABCD是菱形,AB=AD,四边形ABCD是平行四边形.,AB=CD,AD=BC.,求证:AB=BC=CD=DA.,AB=BC=CD=AD.,菱形的性质,定理:菱形的两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.,已知:如图,AC,BD是菱形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O.,求证:(1).ACBD;(2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,证明:(1),四边形ABCD是菱形,AD=CD,AO=CO.,分析:根据平行四边形对角线互相平分和等腰三角形“三线合一”来证明.,DO=DO,AODCOD(SSS).,AOD=COD=900.,ACBD.,(2)AD=AB,DA=DC,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,正方形的性质,定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.,求证:(1)A=B=C=D=900.(2)AB=BC=CD=DA.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是矩形,也是菱形.,A=B=C=D=900,AB=BC=CD=DA.,四边形ABCD是正方形,已知:四边形ABCD是正方形.,正方形的性质,定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.,求证:(1).AC=BD,ACBD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.,AO=CO,BO=DO;,AC=BD;,四边形ABCD是正方形,ACBD;,AC平分BAD和BCD,BD平分ADC和ABC.,已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.,等腰梯形的性质定理,1.等腰梯形在同一底上的两个角相等.,2.等腰梯形的两条对角线相等.,对上述定理分别作出证明：,定理等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等1.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC求证：ABCDCB，BADCDA分析可以过点D作DEAB，交BC于E请你写出完整的证明过程,演示,证明：过D作DEAB，交BC于E，因为ADBC，所以ABED是平行四边形.所以 AB=DE.又因为 AB=DC，则 DE=DC,所以DEC是等腰三角形,可得DEC=C.因为 DEAB，所以 ABC=DEC(两直线平行同位角相等)所以 ABC=DCB.同理可证：BAD=CDA.,定理等腰梯形的两条对角线相等2.已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABDC求证：ACBD分析可以通过证明ABCDCB得出结论请你写出完整的证明过程,3.已知：如图，ABCD是等腰梯形.求证：AC=BD.分析：可通过平移对角线将等腰梯形转化成平行四边形和等腰梯形，再利用有关知识证得结论.证明：过D作DEAC，交BC延长线于E.(以下学生自己完成),在第20章中，我们证明了平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定方法。,由此可知，由给出的公理，以及与等式、不等式有关的性质出发，是能够通过逻辑推理的方法证明我们已经探索研究过的所有几何图形属性的。,平行四边形的判定,定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.,定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.,定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.,定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.,AB=CD,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形.,ABCD,AB=CD,四边形ABCD是平行四边形.,AO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形.,A=C,B=D.四边形ABCD是平行四边形.,边,角,对角线,两组对边分别平行,两组对边分别相等,两组对角分别相等,对角线互相平分,的四边形是平行四边形,一组对边平行且相等,矩形的判定,定理:有三个角是直角的四边形是矩形.,定理:对角线相等且互相平分四边形是矩形.,A=B=C=900,四边形ABCD是矩形.,AC,BD是ABCD的两条对角线,且AC=DB.,四边形ABCD是矩形.,定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.,矩形的判定,定理:有三个角是直角的四边形是矩形.,已知:如图,在四边形ABCD中,A=B=C=900.,分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.,证明:,A=B=C=900,A+B=1800,B+C=1800.,ADBC,ABCD.,求证:四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是矩形.,矩形的判定,定理:对角线相等的平行四边形是矩形.,已知:如图,在ABCD中,对角线AC=BD.,求证:四边形ABCD是矩形.,分析:要证明ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.,证明:,AB=CD,ABCD.,AC=DB,BC=CB,ABCDCB.,ABC=DCB.,四边形ABCD是平行四边形.,ABC+DCB=1800.,ABC=900.,四边形ABCD是矩形.,直角三角形的判定,定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,求证:ABC是直角三角形,已知:CD是ABC边AB上的中线,且,分析:要证明ABC是直角三角形,可以点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.,证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.,四边形ACBE是平行四边形.,AB=2CD,CE=2CD,AB=CE.,四边形ACBE是矩形.,AD=BD,CD=ED,ACB=900.,ABC是直角三角形.,菱形的判定,定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,已知:如图,在ABCD中,对角线ACBD.,求证:四边形ABCD是菱形.,分析:要证明ABCD是菱形,就要证明有一组邻边相等即可.,证明:,AO=CO.,ACBD,DA=DC.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是菱形.,正方形的判定,定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.,证明:,ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.,ACBD,四边形ABCD是菱形.,ABC=900.,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.,正方形的判定,定理:有一个角是直角的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.,证明:,AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.,A=B=C=900.,四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,A=900.,正方形的判定,定理:对角线相等的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.,证明:,AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.,AC=BD,四边形ABCD是矩形.,AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.,正方形的判定,定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.,证明:,ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.,ACBD,四边形ABCD是菱形.,ABC=900.,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.,等腰梯形的判定,定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC,A=D或B=C,AB=DC.,定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.,在梯形ABCD中,ADBC,AC=DB.AB=DC.,证明后的结论,以后可以直接运用.,探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形,1.定理同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC求证：四边形ABCD是等腰梯形证明过点D作DEAB，交BC于E，则BDEC（两直线平行，同位角相等）因为BC，所以DECC，DEDC（等角对等边）因为ADBC，DEAB，所以四边形ABED是平行四边形（平行四边形的定义），所以ABDE（平行四边形的对边相等）因此 ABDC，即四边形ABCD是等腰梯形,探索对角线相等的梯形是等腰梯形.2.定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形已知：如图，在梯形ABCD中.AC=BD.求证：ABCD是等腰梯形.证明：过D作DEAC，交BC延长线于E.(由学生完成证明),演示,举例 在平行四边形ABCD中,已知点E和点F分别在AD和BC上,且AE=CF,连结CE和AF,试说明四边形AFCE是平行四边形.,A,B,C,D,E,F,解:由于平行四边形对边平行,可得,ADBC,即 AECF,又 AE=CF,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,所以,四边形AFCE是平行四边形,再见,